DEUXIEME PARTIE. *— CHAPITRE TROISIEME

11 est plus nécessaire ici, et se trouve remplacée par l’équatiou P'f„) ^4 f» = < 0 , qui en est une suite. Donc, si l’on réduit

d abord les deux premières en une seiile par l'élimination de //, il ne s agira plus que de prendre l'équation prime de celle-ci relativement à a seul, et d’éliminer eiîsuite a par lè moyen de ces* deux: le résultat sera nécessairement le même qti auparavant.

Si donc 011 tire de l'équation <p (a, bf— ordonnée par les conditions dû problème entre les éléments du contact a, b , hrvaleur de b en a y, et que l’on suppose b = •>£«*( 4 Çtaut aussi la caractéristique d une fonction , que l’on substitue cette valeur dans l'équation , F (x\ y, a'yb) =='o de la courlie du contact, qu'emmiteTon prenne la fonction prime de F (x, j, «, ■J.a), relativement à n^seul, fonction que nous désignerons par n'F'(a, -xj-ft),. «’ étant la fonction prime de a regardé comme fonction de^x, on aura ces deux équations

F «v4 a ' = « - et F'(a, -Ja) =* o,

d’où il faudra éliminer a;. et il est visible que le résultat. ne sera autre

chose que l’équation primitive'*singulière de l’équation du premier .

ordre, dont F (x, r, «, 4 a ) — ° sero l’équation primitive complète (n“ 60, première partie).

La courbe représentée par cette équation singulière sera propre- . * *V **»*?* *

ment celle qui résout le problème, et qui aura la propriété d’être toucliéedans chaque point p'âfr «ne des courbes représentées par l'équation . î* .

F te,' >, a, 4«) — o, • ; y ;

« étant constant pour la même courbe, mais variable d’une courbe à l’autre.

19. f«i manière dont nous sommes parvenus à cette dernière; solution est la plus directe, analytiquement parlant ; mais on y peut parvenir plus simplement par la considération suivante. Puisque le problème ’\ -• * \

consiste a trouver la courbe qui aura, dans cliaque point, un contact . t S^Ê" É * du premier ordre avec la courbe représentée par l’équation ’ • .

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- ; • ^Digit6Qdj|Æsbôgk.*'. '■

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o étant un paramètre indéterminé,' il s’ensuit (n" 10) que l’équation de la courbe cherchée doit donner pour y et pour y' des fonctions de x de la même fonne que cejles qui résultent des équations

F (.r, y; a, -Ja) =: o et F {x, y, a, 4 Û )' =? °>

en désignant par F (x,y, a;‘^a)' la fonction prime de F (x,ys «, 4") relative à f et y. Or, a étant une quantité indéterminée, on peut la supposer telle que la courbe cherchée soit représentée par ,1a même équation

pourvu que l’équation prime de celle-ci soit aussi de la même forme *

• ' * * «' * - fc ■* ;

Mais si a est une. quantité variable, la fonction prime complète de F fr, y, a, 4«) *era, comme nous l’avons vu ci-dessus,

F'(.r,y,fi,4a)'-ha'F , (a,4a)-

Donc la condition dont il s’agit sera remplie si I on détermine a par l’équation

:> ce rpii donnera la dernière solution que nous venons de trouver

'• * Imite ('quation entre x , y et un paramètre indéterminé a, que nouS

■ •• dénoterons, pour plus de simplicité, par f(jr, y, a) = o, représente,

j., ^ ' » -, * en donnant successivement à a toutes les valeurs possibles, nue famille

i- ‘ / • - ’ d une infinité de courbes <pii varient de Ibrme ou de position, ou de

une et de l’autre à la fois, à raison des variations du paramètre: et " y’» ; . .**■ * si I on élimine ce paramètre par le moyen des fonctions primes, Ije-

'.#**’ • , y quation résultante du premier ordre appartiendra à toute cette famille

\ V *■ À* ’ de courbes; elle appartiendra <lonc aussi à la courbe formée par toutes

ces courbes, et qui les enveloppera,' ayant avec chacune d'elles un js • . •« t. -?[. contact du premier ordre. La même équation f(x, v, a) = o, ainsi

4 ' ' : .Æ . V que son équation prime f {x, y. a)' = o, prise relativement à x et y

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