DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISIÈME

prenant ensuite l’équation prime, on aura

PV(P) + QViQ) = a,

eu (Jénotaut par tp'( P) et <p'(Q) les fonctions primes de ipi P, Q) prises relativement à P et Q isolés; ilone, mettant pour P' et Q' les expressions ci-dessus, cette dèrnièce équation deviendra

•■V|M^P)VNV(QH r p, V

laquelle se décompose naturellement en ces deux-ci : «„

V'= o et M®'(P) it- N®'(Q) ±=t>. ‘ ’

l-a première Y = o sera'du second ordre et aura pour equatio’n primitive Complète,

Digitizeci®^oogIe

P’ (.r, y, a, b)=o, F (*, r, «,&)'— d, ${a,b)= o et

Or, en regardant a et b comme des fonctions de .r et a — P, b — Q , résultant des deux premières, donnent ces tli lions primes:

c’est-à-dire l’équation même de la courbe du contact', dans laquelle une seule des deux constantes «et h sera arbitraire, l’autre étant déterminée par l’équation même du problème <p («, b) = o.

L’autre équation Vlp'(P) -t- NV(Q) E o‘ ne sera que du premier «ordre et sans constante arbitraire; mais, étant combinée avec l’équation ®(P,Q) = o, elle donnera, par l'élimination de y' , une équation entre .r et r qui sera l'équation primitive singulière de cette dernière

Cette équation sera donc le résultat de l'élimination des b et p' entre les quatre équations

JTÇr*

de sorte que la dernière équation se réduira à celle-ci :

*vN- é -m

tir

Li •"/ '

Mry . . . j r s ■*— T < VJ

< 1 1 1 1 n’est autre chose que l'éqiiation prime île 0 11/, h) = o, divisée par a . D'un autre côté, dahs la supposition dt^o et b variables il est évident que la fonction jîrinie de F (x, r, a, b ) n’est pas simplement F (x, -y, a, b)'*, mais qy’il y finit ajouter les termes dus à la variation dé « et b, qui sont . a' F’(«) -t- b ’ F’(&) , en désignant par F '(o) et F'(/>) les fonctions primes de F (x, r, a, b) prises relativement à a et à b regardés comme seules vnriahles. Donc, prenant les fonctions primes de l’équation F (.r, v, «, b ) ±= 0 , on aura

mais on a déjii l’équation ^

F (x, jr, a, b\ = o: »

on aura donc nécessairement dans la supposition de a et b variables, l'équation t *

o'F>) 2 )- //l-Vi = o,

d’oii l'on tire ' " ♦

. - , ■ - “ c’est la valeur de ^ , que I on peut trouver directement de cette manière, et que l’on voit clairement ne pouvoir être une fonction du premier ordre, puisqu’elle ne contient que les quantités j\y et a , b. Donc, l’équation dont il s’agit sera, en dernière analyse, le résultat

de l’élimination de a, b, et — , entre les quatre équations

dont les deux dernières sont les fonctions primes des deux premières, prises relativement à a et/>, et divisées par o'; l’équation F(x, y, a,b)=o

i-. Jv s * *'■ -i

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