DEUXIÈME PARTIE. — GHAPITBE HUITIÈME. a3ç

a, b, c étant les trois constantes qui déterminent lit position du plan.

D’abord, pour que le plan ait avec la surface un point commun; il faut que son équation subsiste, en supposant que lés coordonnées p, i/,' r deviennent F, y, s; ce qui donnera cétte première équation,

= a+ k + efi

Considérons maintenant un autre point de la surface répondant aux coordonnée» r-H i t y -+- o, l’ordonnée perpendiculaire z deviendra f (x -h i,y 4- o). Faisons aussi, dans l’équation du plan,

l’ordonnée perpendiculaire r deviendra

et la distance entre les points corrèspondants de la surface et du. plan sera exprimée par 4 • t « ,

f ( x -H *» y ■+■ o) — a — b {ji ■+■ i) — c { y 4- o).

La fonction f (x -t- i, y H- o) peut se développer dans cette série (n° 73, première partie)

f (*» X) d- i{ ' X) + o (J? , y) -h~f9{x,y)- ' -f- iof' (x, y) -f- £ f, (x,'y) -+- .

donc, à cause de . . . '

f (a;, y) = z s= a -+- bt 4- cy, .

la distance dont il s’agit, que nous désignerons par D, sera exprimée ainsi :

-t- wf' [x,tf -t- ^ f„\x,y) -4- ...,

où l’on voit d’abord que les quantités i et o demeurant indéterminées.

^40 j THEORIE DES FONCTIONS.

la valeur de D deviendra la plus petite, si l’on détermine les quantités b etc de manière que les ternies multipliés par i et o disparaissent, ce qui donnera (n° 77, première partie) -» • , - , ■

et ecyrtnie on a déjà trouvé

• ' ' ... a bx ^hcy — z, •

on dura les valeurs des trois constantes a, .A, c de l’équation du plan en fonctions de x, y, z. Ces valeurs seront donc

a — z — xz —yz,,

et la position du plan sera entièrement déterminée^

Par l’évanouissement des termes multipliés par les quantités i et o, J’expreSskm «le la distance 1) ne contiendra plus que des termes multipliés par des puissances ou des produits de ces mêmes quantités. Si l’on faisait passer un autre plan par le même point qui répond aux coordonnées x" et jp, on trouverait pour la distance que je nommerai A, entre les points de la surface et du nouveau plan correspondants aux coordonnées X -+- i, et y o, une expression semblable à celle de D, mais où les termes multipliés par i et par 'o ne se détruiraient plus. Or il est facile de vqir que l’on peut prendre les quantités i et o assez petites pour que les termes multipliés par les premières puissances de i ou de o deviennent plus grands que les autres termes multipliés par des puissances ou des produits de plusieurs dimensions; ce qui porterait d’abord à conclure que Ton peut toujours donner à i et o des valeurs assez petites pour que la distance A surpasse la distance D; en sorte qu’il soit impossible que le dernier plan passe entre le premier et la surface.

39. Mais cette conséquence, qui serait légitime si les expressions de D et A n’étaient composées que d’un nombre déterminé de termes, pourrait souffrir des difficultés à raison des suites infinies qui entrent dans ces expressions. On peut néanmoins les éviter en employant le