J- f* (*.'*•" *î> 7 -4 Ao

Pour tout autre -plan représenté. par l’équation

et ayant Je même point commun avec le premier plan et lasurfape,

cette distance, que j’appellerai A, contiendrait, outre les termes précédents, encore ceux-ci du premier ordre ' i " • .

'[ f V> fi T i 5 ]4-o[CKj) — >jî ■ ' „ -

d’où il est facile de conclure que l’on pourra toujours prendre i et o assez petits pour que cette distancer surpasse la distance D. Donc il sera impossible que ce dernier plan puisse passer entre la surface et Je plan représenté par l’équation

/■ == a -H bp -+- cq ;

par conséquent, celüi-ci sera tangent de la surface donnée, en' faisant, comme ci-dessus, r . >

a=z — xz'—yz„ fc = z', c — z r

D'où l’on voit que la position du plan tangent dépend des deux fonctions primes z' et z r

24a • , THÉORIE DES FONCTIONS.

F.n effet, il est facile de trouver, d’après l’équation

. r ='«-+- bp -+-cq,

que sU’on nomme « l'inclinaison dû plan représenté par cette équation .sur le plan des coordonnées p et q,, et JS l’inclinaison de la ligne d’intersection de ces deux plans à l’axe des abscisses p, on aura

- * b = sin|3 tanga, c = cos^ Jang «,

d’où l’on tire -, * *

tanga = \lbl -fc- c 1 et tang =

Donc, puisque les axes des coordonnées -r, y, ~ sont les mêmes que «•eux dès coordonnées p, q, r, les angles « et ë, relativement au plan

tangent, seront pareillement déterminés par ces formules

tang « = \ z 4 -ff zf , • tang^ = —•

40. En général, z=*f(.r ,y) étant l’équation de la surface proposée, et|ç= F ( p , q ) celle d’upe surface donnée, si l’on veut (pie ces deux surfaces aient uii point commun qui Téponde aux coordonnées z, il faudra que l’équation r F (p, q) ait lieu aussi en faisant p = x, q — y, r = z, . ce qui donnera

- = F.(j; fa j).

Ensuite, si l’on considère les points des deux surfaces qui répondent aux mêmes coordonnées x -f- i et y -+- o, et que l’on nomme D la distance entre l’un et l’autre, c’est-à-dire la partie de l’ordonnée qui se trouvera comprise entre les deux surfaces, il est visible que l’on 'aura t « ■

Développons ces deux fonctions par les formules du n° 78, première partie, en nous arrêtant d’abord aux termes du premier ordre ; nous aurons, en mettant z, z' et z, à la place de f (#, y),