DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE NEUVIEME

pent et qui répondent, l'une à une ligne de plus grande, et l’autre à une ligne de moindre courbure; et l’angle sous lequel elles se coupent, dépend de la double valeur de la quantité y', qui est égale à la tangente de l’angle formé par la tangente de la courl>e de projection sur le plan des x et y avec l’axe fixe des x. Or, comme la position de ce plan est arbitraire, on peut la prendre de manière qu'il coïncide avec le plan tangent de la surface, alors la projection de la courbe se confondra avec la courbe même, et les deux valeurs de y' deviendront les tangentes des angles que les tangentes des deux branches de plus grande et de moindre courbure feront avec une même ligne; par conséquent, la différence de ces angles sera l’angle cherché sous lequel ces branches se coupent ; donc, nommant a et j3 les deux valeurs dey', la tangente de cet angle sera, par les formules connues,

g— (3 y'U’-MAC i+«|j A — C

Mais il est facile de voir, par les formules dta n° 38, que, pour que le plan tangent d’une surface coïncide avec le plan des x èt y, if faut que les valeurs de z' et z, soient nulles. Faisant donc dans les expressions de A, B, C,

on aura

ce qui donne

Ainsi la tangente de l’angle dont' il s’agit sera infinie, jet, par conséquent, l’angle sera droit. D’où l’on doit conclure, en général, queJes lignes de plus grande et de moindre courbure d’une surface quelconque sé coupent toujours à angles droits. , .

46. La propriété du maximum et du minimum n’est pas la seule qui caractérise ces lignes, elles sont encore distinguées par rapport à leurs développées. En effet, si l’on cherche les conditions nécessaires pour que le rayon de. courbure soit partout tangent à la courbe des centres, on trouvera, par des considérations semblables à celles du

n" 55, appliquées aux expressions des coordonnées a, b, c de cette courbe (n° 42), que ces conditions se réduisent à ce que les valeurs des fonctions primes b', c soient les mêmes, soit que lu quantité d soit seule variable, ou que les quantités x,y, z varient en même temps que il. Ainsi, si l’on prend les équations primes des trois équations

d'où résultent les valeurs de a, b , c, il faudra que la partie due à la seule variation de x, y, z. soit nulle. Or il est visible que la seconde et la troisième équation rendent nulle cette partie dans l’équation prime de la première équation ; donc il suffira de prendre les équations primes des équations

x — a -+- z'(z — c) = o, y — b -fc z,(z — c) = o,

en regardant a, b et c comme constantes. Ces équations seront donc, en Regardant, comme ci-dessus (n" 44) , y comme fonction de x, et ; comme fonction de x et y.

i -I- 2'* -t -y'z’z,-h (z" -h y’ z ) (z — c) = o, y'-hzÿ'- 1- y y (z +y\) (z — c) = o;

et si on les compare aux deux équations du numéro précédent, qui déterminent le maximum et le miqimum de d, on voit quelles sont identiquement les mêmes; d’où il suit que les lignes suivant lesquelles le rayon de courbure sera tangent dé la courbe des centres $unt les mêmes que celles de la plus grande ou de la moindre courbure,

.Mais les expressions de a, b, c du n° 42 donnent, en ne faisant varier que d, * * * . .

DBUX1EMF. PARTIE. — CHAPITRE NEUVIEME.

d’où l’on tire

et par conséquent

d’où l’on conclura (n° 37 ) que la quantité d sera égale à l’arc de la courbe dont a, b, c sont les coordonnées. Ainsi cette courbe sera la véritable développée des lignes de plus grande et de moindre courbure; et réciproquement il n’y aura, sur une surface quelconque, que ces lignes qui puissent avoir une développée formée par les rayons de courbure.

Ces propriétés des surfaces sont très-curieuses, et méritent toute l’attention des géomètres ; elles donnent lieu surtout à des applications importantes pour les grts. ( Voyez les Mémoires de Berlin pour l’année 1 760, les tomes IX et X des Mémoires présentés à l’Académie des Sciences, et Y Application de l’ Analyse à la Géométrie, par M. Monge.) ‘ , r

Au reste, pour traduire ces formules en calcul différentiel, il n’y

,, . ; n dr d'y , V . dz dz

aura qu a changer y , y en ^ et 2 , z„ s , z , en ^ ^ >

dx ’ ’ d,vdy ’ <ly ’ .