DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE NEUVIEME. U4}l

Ainsi, il ne reste qu’à satisfaire à l’équation précédente, laquelle, à cause de j — b -f- z, (z — c) = o, se réduit à celle-ci :

Si donc on sulwtitue dans cette équation la valeur de c trouvée cidessus (numéro cité), on en pourra tirer la valeur de c/, et Ton aura

,f f 1 -hr'*-K *'+/*.)'] J' -M‘’+ .

**+ar'*.'+ /**,. J . À '<

Connaissant ainsi le r^yon il de la . sphère osculatrice, on aura, par les

formules du même numéro, les valeurs des coordonnées n, b, c du

centre. .. . , .„ .»

4,‘j. l.a quantité y' x qui entre dans les expressions précédentes, dépend de la courbe qui est la projection de celle que I on, suppose tracée sur la surface. Cette courbe étant arbitraire, on peut chercher celle dans laquelle le rayon de courbure d sera un maximum ou minimum; et pour cela, il n’y aura qu’à égaler à zéro la fonction prime de l’expression de d, regardée comme fonction de y' (n° 26). .Mais, pour simplifier le calcul, nous observerons que, puisque d — (z — e) y/i + z'* - 4 - z’, le maximum ou minimum de d, relativement à y', répondra au maximum ou minimum de c; ainsi il n’y aura qu’à prendre l’-équation prime de la dernière équation ci-dessus entre c et y / , en supposant mille la fonction prime fie c , c’est-à-dire en ne regardant (pie y' comme variable. On ,'iura de cette manière l’équation

qui, étant combinée avec la même équation, servira à déterminer y' et c.

Si l’on multiplie cette équation par y* et qu'a# la retranche de l’équation dont il s’agit, on aura celle-ci plus simple,

i -+- s"’ -+- y'zz, 4- (z" +y'z ) (z — = o,

que l’ôn combinera avec la précédente.

a5o THEORIE DES FONCTIONS.

Par l'élimination de z — c, on aura une équation en y 1 de cette forme Ay ,a *- B/' — C = o, en faisant, pour abréger,

a =.(i+vK-A>,

C=(i-t - z'*\z — z'zy-,

et la résolution de cette équation donnera

3 ~ aA ’

équation du premier ordre eu a:, y et y', puisque z étant, parla nature de la surface, une fonction donnée de x et y, les quantités A , B, C seront aussi des fonctions données de x et .y. Donc l'équation primitive en.x et y renfermera unç constante arbitraire, et représentera une infinité de courbes qui seront les projections des lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface proposée.

Si l'on combine les deux équations ci-dessus de manière à faire disparaître les termes où y' et z — c se trouvent ensemble, on en tirera

Drgic, substituant la valeur de y , et faisant, de plus,

on aura

!-t de là

E±y B«-|-4ÀC a (***,— *. ’)

■ * âT*'*.—

d’où l’on voit que les deux valeurs du radical donnent, l’une le maximum, et l'autre le minimum du rayon d.

Il y a donc, à chaque point de le surface, deux branches qui se cou-