CHAPITRE DEUXIÈME

Fonctions dérivées; leur notation et leur algorithme.

8 . Nous avons vu que le développement de f(x - 4 - i) donne naissance à différentes autres fonctions p, <y , r, etc., toutes dérivées de la fonction principale fr , et nous avons donné la manière de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais pour établir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la loi générale de leur dérivation.

Pour cela, reprenons la formule générale

f (a; - 4 - *') = fx - 4 - pi -f- qp -+ -ri* -4- .. . ,

et supposons que l’indéterminée x devienne x-t-o, o étant une quantité quelconque indéterminée et indépendante de <; il est visible que f(x -f- 1 ) deviendra f (x- -4- i -+■ o), et l’on voit en même temps que l’on aurait le même résultat en mettant simplement i -4- o à la place de i dans f (x - 4 - t). Donc aussi, le résultat doit être le même, soit qu’on mette, dans la série £r 4 - pi - 4 - qp - 4 - ri' - 4 - . . . , i+o à la place de 4 , soit qu’on y mette x -4- o au lieu de x.

La première substitution donnera

fx -H /> ( * -4- o) y ( i - 4 - o) 1 -4- r (i -4- o) s -4- ... ;

savoir, en développant les puissances de i -4- o, et n’écrivant, pour plus de simplicité, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffira pour les déterminations dont nous avons besoin,

fx* -4- pi -4- qP -4~ rP -4- sP -4- ...

-4 -po-+- : iqio ■+■ 3 rPo ■+■ 4 sPo -4-

3' éd. 3

Pour faire l’autre substitution , soient fx-4-f ^.o-t- p -h p'o -\- . . . ,

<7 rj'o r r'o ■+■ . . ce que deviennent les fonctions £r, p,

y, r, etc., en y mettant x -t -a pour .r, et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de o, il est clair que la même formule deviendra

fc -+- pi- 1 - qP -+- ri* -+- si' . . .

-+- f'.r.o pin -f- q'î*o -+- r'i*o -+- —

Comme ces deux résultats iloivent être identiques, quelles que soient les valeurs de i et de o, on aura, en comparant les termes affectés de o, de in, de i*o, etc.,

p—fx, 27 =/»', 3 r = 7', 4 ^ =

Maintenant, de même que Cx est la première fonction dérivée de fr, il est clair que p' est la première fonction dérivée de p, que 7' est la première fonction dérivée de 7, r’ la première fonction dérivée de r, et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et d’uniformité, on dénote par f'.r la première fonction dérivée de f.r, par f"x la première fonction dérivée de {'x, par f m x la première fonction dérivée de f ,, .i\ et ainsi de suite, on aura

donc

p = fx,

et de là

donc

et de là

donc

et de là

et ainsi de suite.

Donc, substituant ces valeurs dans le développement de la fonction f (x i ) , 011 aura