deuxième partie. — chapitre dixième

/>, c et x, y, 2, on aura une équation du premier ordre en .r, y, z, z 1 et 2,, qu’on pourra traiter par la méthode générale du n° 92 de la première partie.

Mais si l’équation dont il s'agit n’était qu’entre les trois quantités a, b , c, b solution du problème serait beaucoup plus simple. En effet, il est clair que l'on peut alors supposer que les quantités a, b, c soient

constantes; et dans ce cas, l’équation

> ™ {x, yi z) = o

sera l’équation primitive de l'équation du premier ordre donnée par les conditions du problème, en y substituant pour yne des trois constantes o, b, c, sa valeur tirée de l’équation donnée ; on aura ainsi une équation primitive qui 11e sera que particulière ; mais, comme elle renferme deux constantes arbitraires, on pourra, par la méthode du n" 85 de la première partie, trouver l’équation primitive générale qui donnera la solution complète du problème.

On fera donc, suivant cette méthode, b = ça, si n et b sont les deux «Distantes arbitraires; et l’on éliminera a au moyen de l'équation F (x, y, z) — o et de son équation prime, prise relativement à la seule quantité a, équation représentée par

en dénotant par F' (a) et F' (b) les fonctions primes de F (.r, y, z), relativement aux variables isolées a et b.

48 . Pour voircomment le système de ces deux équations satisfait au problème, on observera d’abord que l'équation F(.r, r, 2) = o représente la courbe donnée avec laquelle la proposée doit avoir un contact du premier ordre; ainsi cette équation résout le problème, quelles que soient les constantes arbitraires a et b. Mais comme le contact demandé par le problème exige seulement que les valeurs de 2 et de ses deux fonctions primes z et 2, soient les mêmes pour les deux courbes, il s’ensuit qu’il aura également lieu en supposant a et b \ variables, pourvu que ces fonctions primes soient encore les mêmes.

aC6 théokik des ponciions.

Or, c’est précisément ce <|ui résulte du système des deux équations dont il s'agit, comme on peut s’en convaincre par le numéro cité.

tfous observerons ensuite cpie la surface représentée par le système de ces équations ne sera autre chose que la surface lbrmée par l 'intersection continuelle des surfaces représentées par la même équation K (%vV> z) = o, en y faisant varier le paramètre «; de manière que cette surface touchera ou enveloppera à ln fois toutes ces différentes surlaces particulières. En effet, si l’on représente, ce qui est permis,

cette surface enveloppante par l'équation

dans laquelle a soit une quantité variable quelconque, et que l’on cherche à déterminer cette* quantité de manière que la même surface touche successivement toutes les surfaces données, il faudra satisfaire à l'équation

pour que les valeurs de z 1 et z f soient les mêmes que celles des surfaces enveloppées. Ceci répond à ce qu'on a trouvé plus haut

(n° 19), relativement aux lignes courbes.-

• - -ÿV „ • rt * : * ; *

49. Puisque l'équation F (x, /, z) = o renferme les trois arbitraires n, b, c qui doivent être déterminées par la combinaison de cette équation avec ses deux équations primes prises relativement à j et/, en regardant ci, b, c comme constantes ( n° 47 )$ si l’on regarde maintenant ces quantités comme des fonctions de x et /, il est clair qu’on aura aussi séparément les deux équations primes de la même équation relativement à ces quantités. Ainsi, ^cn, désignait par F' (a), F/ (6), F'(c) les fonctions primes de la fotiution F (x, )\ T Z j. prises relativement aux seules quantités n, L, c considérées séparément, ort aura encore ces deux équations primes' ‘ j , .*

. a, F ' (fl) b t F'.(è) ■+• c,F' (c) = o .

Soit c = f(«, b) l équation qui exprime la relation donnée entre