DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DIXIÈME. 25y

tes quantités a, b, c, en prenant de même les deux équations primes, on aura

c' — a'f'ia) -t- b'f'ib),

f ' (a) et f ' (b) étant les deux fonctions primes de f (a, b) prises relativement à « et A isolées. Substituant ces valeurs de c'et c, dans les deux équations précédentes, on aura

d’où l’on tire cette équation

• a ' b, - ta * b' a t = o,

où la fonction désignée par la caractéristique f n’entre plus.

Si dortc on substitue dans cette équation a'b t — b'a f = o les valeurs de a, b en x, y, z et z t , on aura une équation du second ordre, dont l’équation primitive du premier ordre sera

la fonction désignée par f étant arbitraire; et l’équation primitive de celle-ci, entre x, y, z, sera le système de l’équation

et de son équation prime prise relativement à a , après ÿ avoir substitué f (a, b) poure, et ça pour b , la fonction ça étant la seconde fonction arbitraire. Ainsi on pourra, de cette manière, trouver l’équation primitive de toute équation du second ordre rédnctible-à la forme

les quantités a, b étant déduites d’une équation quelconque

3 * éd.

THEORIE DES PONCTIONS.

entre les quantités x, y, z, a, b, c, et de ses deux équations primes prises dans l’hypothèse de a , b, c constantes ; ce qui fournit une méthode importante pour les progrès de l’analyse inverse des fonctions de deux variables.

50. Appliquons la théorie précédente aux plans tangents. Nous avons trouvé plus haut que les éléments a, b, c du contact d'un plan représenté par l’équation

f = a -h bp -+- cq,

sont exprimés ainsi : *’ ... »

a = z — xz' — yz t , b = z', c = z r

Donc, si l’on a une équation quelconque entre ces trois quantités, laquelle donne, par exemple,

l'équation primitive de cette équation du premier ordre sera représentée par le système de ces deux équations

2 = a -h xça ■+■ yf(a, ça), i -f- xç'a yf (a)' = o,

en dénotant par ç'a et f (a)' les fonctions primes de ça et de f (a, ça) relatives à a. La quantité a devra être éliminée pour avoir une équation en x, y, z ; et la fonction ça sera la fonction arbitraire.

Cette équation sera donc celle de la surface formée par l’intersection continuelle de tous les plans représentés par l’équation

z = a -h xça ■+■ yf (a, ça) ,

en faisant varier successivement le paramètre a; ce sera, par conséquent, une surface développable, puisqu’on peut concevoir que le même plan tangent, supposé flexible et inextensible, s’applique et se plie sur la surface sans dupUcature ni solution de continuité; et réciproquement, que la surface s’applique et se développe sur le même plan sans se briser ou se replier.