DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE ONZIEME

ensuite z n < o pour le maximum, et > o pour le minimum. Si donc on substitue dans z la valeur de .y tirée de l’équation z f — o, cette quantité z deviendra une simple fonction de x, et sera déjà un maximum ou minimum relativement à y. Il n’y aura donc qu’à la rendre encore un maximum ou minimum relativement à la quantité x qui avait été supposée constante ; or, y devant maintenant être regardée comme une fonction de x donnée par l’équation z r — o, il est clair que la fonction prime de z relativement à x ne sera pas simplement z', mais z'h-j'z,; et sa fonction seconde, relative aussi à x, sent z" -+- ay'z' -t- y'*z n H- y"z l , en désignant toujours par y' et y" les fonctions primes et secondes de / relativement à x. % On aura donc

et comme on a déjà z f — o, cette seconde équation se réduira à z' — of De sorte qu’on aura, pour la détermination de x et y, les deux conditions z' 6 , S t = o, comme plus hauf.

Maintenant, ilfaudra de plus que l’onaitz' , '-+- ayV pour le maximum, et >0 pour le minimum; mais, comme y doit être déterminée par. l’équation z, = o, y' le sera par son équation prime

laquelle donne

Ainsi l’on aura, pour le maximum,

„rr

et pour le minimum,

ou bien, puisque z n doit être aussi < o dans le premier cas, et > o dans le second, il faudra que l’on ait, tant pour le maximum que pour le minimum , . - , . " 4 , > .

rr

tt t ^ m

D’où l’on peut conclure que les valeurs de x et y, tirées des équations

z’ = o et z, = o, donneront un maximum ou un minimum, suivant que l'on aura z ff < ou >o, pourvu que l’on ait en même temps

ce qui emporte, comme l’on voit, la condition que z" et z n soient de même signe.

Donc, si z"z ff — z ’ = ou < o, il n’yaura ni maximum ni minimum, à moins que les fonctions tierces ne disparaissent aussi, auquel cas le jugement dépendra des fonctions quartes, et ainsi de suite.

Il ne suffit donc pas, pour l’existence du maximum ou minimum, que l’on ait z" < o et z„<o, ou z"> o et z„>o, commê on pourrait le conclure du chap. XI de la seconde partie du Calcul différentiel d’Euler.

ü2. 11 est facile d’appliquer la méthode précédente aux fonctions de trois variables. Supposons que »soit fonction des variables .r, y, z ; regardant d’abord .1 et y comme constantes, et z seul comme variable, on aura, suivant la notation déjà adoptée (n° 92, première partie), ( « = o pour la condition du maximum ou minimum, et ensuite „u<o pour le maximum, et H u > o pour le minimum. L’équation t u == o donnera la valeur de z en x et y, qu’on substituera et qu’on supposera substituée dans la fonction «, moyennant quoi cette fonction, ne contenant plus que les deux variables x et y , retombera dans le cas que nous venons de résoudre.

Pour construire des formules générales, on remarquera que si u n’était qu’une fonction de x et y, on aurait, pour le maximum et le minimum, les conditions u' — o et u / = o\ ensuite pour le maximum, u n < o , et pour le minimum, u f >o, et enfin u"u — u ’>o pour les deux cas. Mais, puisque « contient de plus z, qui est elle-même une fonction de x et y, les valeurs des fonctions désignées par u', u f , u ", etc. , ne seront pas simplement exprimées par ces quantités ; mais il faudra y ajouter les termes qui doivent provenir de la quantité z, regardée comme fonction de x et y. Ainsi, en prenant les fonctions primes et secondes de u, on trouvera que la quantité u'

l’REMIÈHF. PARTIE. — CHAPITRE ONZIÈME. af>3

devient u' -t- ,«z', que la quantité u r devient u- 4- «,z, , que la quantité 1/ devient u" -f- a ,u'z' ■+■ ,uz" -+- ff uz'% que la quantité «„ devient u n -+- ^,u,z l +',uz g -f- „«* î , et que la quantité u devient u -f- l u l z' t u' z, -t- ,uz -t- „uz'z i;

Donc on aura d’abord, pour Je maximum ou minimum, les deux conditions . ;• . , • v . ' .

de sorte qu’à cause de ,« = o, on aura ces trois équations u' — o, «,= o et ,u = o;

c’est-à-dire les trois fonctions primes de u relatives à x, y , z, chacune égale à zéro.

Ensuite, à cause de t u—o, on aura u„-h a,«,z, -1- ^uz* <0 pour le maximum, et >0 pour le minimum; et pour l’un et l’autre,

{u” -yifi'z' -y ,uz*) («„-3-a,u,z,+/tz*)> (u’ -t-,«,z'-i-X z,H- Jr nz , z > )’.

Mais, comme la valeur de z en x et y dépend de l’équation ,« *=; o, on prendra ses deux équations primes suivant x et y, pour avoir les valeurs de z et de z f ; on aura donc .

d’où l’on tire

-H = o et ff az, = o;

On substituera donc ceï valeurs, et comme l’on a déjà trouvé r u <0 pour le maximum, et > o pour le minimum, en multipliant la première condition par n u, on aura une quantité qui devra toujours être > o. Donc les conditions pour le maximum ou minimum se réduiront à ces trois-ci : • ,

„« < o pour le maximum et >0 pour le minimum,

et r (/««* — y)

THÉORIE DES PONCTIONS.

aG4

On voit, par la inarche de cette méthode, comment elle peut s'étendre à un plus grand nombre de variables, et on en peut d’abord conclure, en général, que l’on aura les équations du maximum ou minimum d’une fonction quelconque de plusieurs variables, en égalant à zéro les fonctions primes de cette fonction, prises relativement à chacune de ces variables ; ce qui donnera autant d’équations que de variables. A l'égard des autres conditions nécessaires pour l’existence du maximum, ou minimum, on les trouvera successivement parles principes et les formules que nous venons d’exposer.

53. Pour donner un exemple de la méthode de maximis et minimis, supposons qii’on demande la plus courte distance entre deux lignes droites données de position dans l'espace. Soit pour l’une des droites l’abscisse .r, ses deux ordonnées seront de la forme a 4 - bx

et c -t- dx; soit pareillement pour l’autre droite l’abscisse y prise sur le même axe, les deux ordonnées rapportées aussi aux mêmes axes cpie celles de la première droite, seront de la forme A 4- Br et C 4 - Dy; donc, le carré de la distance entre les deux points qui répondent aux

abscisses x et y sera exprimé par cette formule

( x — y)* -t- (a'— A bx — B/)* -+- (ç — C -h dx — Dy) 1 .,

que lious ferons, pour plps /le simplicité, égale à iz.

En prenant les fonctions dérivées, on aura

z' — x — y b [a — A 4- bx Jîy) -h d(c — C -h dx — Dr), z, — — fa— y) t- B (a — A bx — Bj) — D (e 5- C 4 - dx — Dr), z” = 14-^4-d 1 , 1 4 - B’-t-D 5 , - 1 — bK-dl).

Donc, 1 *. on aura, pour la détermination des deux inconnues .r ' et y, les équation ?

x — y -h b-(a — A -h bx — B/) 4 - d (c — C 4 - dx — Dj) = o, x — y 4- B (a — A4 - bx — Bj) 4- D (e 4 - C 4- dx — Dj) = o.

2 0 . Puisque la valeur de z" est nécessairement positive, il He pourra