DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE ONZIÈME

y avoir que le mininuim; mais il faudra de plus que l’on ait la condition

savoir,

( l + i ! + rf’)(i+l! , + D a ) — wr-t- rfD)» ÿ O,

Or c'est ce qui a lieu, quelles que soient les valeurs de b , </, 11, I) ; car la condition précédente peut se mettre sous cette forme

Comme les équations en r et r sont linéaires, la détermination de ces quantités n'a aucune difficulté; nous ne nous y arrêterons pas, d’autant que ce problème est susceptible d’une solution géométrique fort élégante.

54. On peut encore, dans la recherche des maxima et mininia «les fonctions de plusieurs indéterminées, considérer toutes les variables à la fois; ce qui est plus direct et plus lumineux. Soit, en effet, f (x, y, z, u...) la .fonction proposée; si l'on suppose que les quantités x, y, z, u, etc., aient déjà les valeurs convenables pour le maximum ou minimum, il faudra qu'én substituant .r -h p, y -+- q, z -t-r, u ■+■ s, etc., à la place de’X, y, z, «, etc.; dans la fonction dont il s'agit, sa valeur devienne toujours plus petite dans le cas du maximum, et toujours plus grande dans le cas du minimum, «pielles que soient les. valeurs de p, q, r, s, etc.., et quelque petites quelles soient; c’est ce qui résulte de la nature même du maximum ou minimum .

Développons la fonction f (x -y p, y -4- «jfc, ; -+- r, «-h x ) , sui-

vant les puissances et les produits des quantités q, r, r, etc. , par les formules du théorème général* (n° 78, première partie), et arrêtonsnous aux premiers termes de ce développement.

Si l'on désigne simplement (ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici) par f'(x), f '( j), f'(z), f'(«), etc., les fonctions primes de la fonction f (x, y, z, u...), prises relativement à x, y, z, u, etc., considérés séparément, et que l’on désigne de plus par f"(x), f ff (x, y), f "(/),

aG6

z), f "(/, z), f"(z), etc., les fonctions secondes de la lonction

• f (x fyj, y “I - tyfi " “f - u ■+■

prises relativement k x seul, à x et y, à y seul, à x et z, à y et z, et ainsi de suite, on aura

— f ( x , y, z, u...) -y- pî'{x) -y- qf'(y) -+- rf'(z) -y '(«) -I- ....

+ {//f» + P qV'{x,y) -y- \<fï"(y) - y - pr{'(x, z) -y |r’f"(z)

-y yrt*(y, z) -y....

Le coefficient à désigne un nombre indéterminé compris entre o et r , et qui sera le, même dans la même fonction, mais pourra être différent dans les différentes fonctions.

Donc il faudra que la quantité

• pf’(x) -y qf'(y) -y- rf'(z) -f- jf'(u) -y...

•+->’*» -y P qf'(x,y) + ■+■ ....

soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, en donnant à p, q, r, etc., des valeurs quelconques aussi petites que l’on voudra. IVoù l’on conclura d’abord, par un raisonnement analogue k celui du n° 25, que cette condition ne pourra être remplie, k moins que les termes multipliés par les premières puissances de p, q, r, etc., ne soient nuis chacun en particulier, ce qui donnera les équations

f'(x) = o, f'(jr)==o, f'(z)=o, f'(u) = o, etc.,

qui sont communes au maximum et au minimum, et qui, étant en même nombre que les indéterminées x, y,'z, u, etc., serviront à déterminer leurs valeurs.

55. Mais pour que ces valeurs donnent, en eflét, un maximum on un minimum, il faudra encore que la quantité restante

■ lp't'\x) -+- pqf”{x, y) -t- {q* ("{y) -f- prf"{x, z)

+ qr{'(y,z)-y.{rH”(z) -y....