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ait toujours une valeur négative pour le maximum, et une valeur positive pour le minimum, quelque valeur que l’on domie à la fonction », et aussi petite que cette valeur puisse être, en prenant cette fonction primitive de manière qu’elle soit nidle lorsque x — a, et y faisant ensuite x = b. ' " . - • •

Or, sans connaître la quantité », on peut prouver qu’il est toujours

possible de la prendre assez petite pour que la fonction primitive de la partie qui 11e contient que les premières dimensions de », »', »" , etc. , ait une valeur plus grande, positive ou négative, que la fonction primitive de l’autre partie. Car, en substituant ùt à la place de », et étant une quantité variable quelconque, et i un coefficient constant, la première partie se trouvera toute multipliée par i, et la seconde le sera par / 3 . et leurs fonctions primitives seront aussi multipliées par i et par * * ; et il est visible que l'on pourra toujours donner à i une valeur assez petite pour que la première de ces fonctions surpasse la seconde, du moins tant qu’elle ne sera pas nulle.* D’où l’on conclura que l’on pourra toujours prendre la quantité » assez petite pour que la valeut totale de la fonction primitive dont il s’agit soit nécessairement positive ou négative, suivant que celle de la première partie de cette fonction le sera. Mais il est visible que celle-ci doit changer de signe, en changeant le signe de la quantité ». Donc il sera impossible que la fonction totale soit constamment positive ou négative, indépendamment delà valeur de », à moins que la fonction primitive de la partie qui ne contient que les premières dimensions de », »', »", etc. , ne soit nulle, quelle que soit la valeur de ». Donc le maximum ou minimum ne pourra avoir lieu, à moins que la fonction primitive de la fonction

ne soit nulle, quelle que soit la valeur de ».

Cette fonction étant nulle, il faudra alors que la fonction primitive de l’autre partie

soit positive pour le minimum, et négative pour le maximum, en donnant à » une valeur quelconque aussi petite que l’on voudra.

62. Pour satisfaire à la première de cas conditions de la manière la plus générale, nous remarquerons que, puisque la quantité » doit demeurer indéterminée, la fonction primitive de la fonction

»f'(/) -H «'f'(j') -+- »"f'(jr") -+- ...