Il suit de là que (’équatjpn

ar)-[f'(r')j'+ff'(j")]" «

contient le caractère par fetpiel on peut reconnaître si la fonction f(x, y, y', y"---) est qu non une fonction prime. '

On trouvera de la même manière que les deux équations

renferment le caractère par lequel on ]>ourra reconnaître si la fonction f (.r, y, y' ... z, z':..) est ou non une fonction prime, les quantités y et z étant indépendantes.

Mais si la quantité z -dépendait de l’éqnation .

' • . «Pii-*-, j, y... z, z[...) = o,

"iôo ' THÉORIE l>ES FONCTIOSS.

on aurait, comme au n° 71,

cl l'équation ' résultante de l'élimination de l’indéterminée A contiendraitlç caractère qui furait reconnaître si la fonction l’(:r, y, y' ...)

cst d eUft-niémc, ou non, une fonction prime.

Puisque la fohclion primitive de la quantité

est représentée (n° 62) par

' . . ufi -4- cJ y -4- a" S

en omettant, eu. qui est permis, la cohstante arbitraire a, on trouvera, de la même manière, que le caractère par lequel on pourra reconnaître ai cette fonction primitive est ^elle-même iuie fonction prime, sera renfermé dans l’équation

laquelle, en substituant pour fi, y, S, etc. , leurs valeurs ( n° 63), devient . • ’*

H/) - 9.[C(y")}'+ ■nn.nr - ••• = o.

Ainsi, le système de cette équation et de l’équation trouvée cidessus, renfermera le caractère par lequel on pdurra juger si la fonction f (.r, y, y\ y ’- • •) est d’ elle-même, ou.non, la fonction seconde d’une fonction de x, ) , r', y", etc.; et ainsi de suite. . .

76. ües différentes équations répondent à celles que, dans le calcul différentiel , on nomme conditions ^d’ intcgrabiUté, et dont on j’est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Nous nous contenterons icî d’avoir établi, jd’une manière directe et rigoureuse, le principe de