TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIEME

d'où, éliminant l, on aura deux équations en x, y , z, qui détermineront la ligne à double courbure décrite par le corps.

Supposons d’abord que les trois mouvements relatifs aux axes des x, y, z soient uniformes, on aura

x = at, y — ht, z = et,

a, b , c étant les vitesses de ces mouvements. Éliminant t, on aura

bx . ex

Y = — et z = — ,

deux équations qui appartiennent à une ligne droite passant par l'origine des coordonnées, et dont les projections sur les plans des x, y,

et des x, z font, avec l’axe des x, des angles dont - et - sont les tan-

gentes. La partie de cette droite qui répond aux coordonnées x, y, z sera donc

ce sera l'espace décrit pendant le temps t, en vertu des trois mouvements uniformes. Ce mouvement composé sera donc aussi rectiligne et uniforme, avec une vitesse égale à y/a’ -+- b* -t- c’. A l’égard de sa direction, il est plus simple de la rapporter aux trois axes des coordonnées x, y, z, et il est visible que, puisque at, bt, et sont les projections de la ligne t y/a’ -4- b* 4- c’ sur les trois axes, les rapports

c - — — t seront les cosinus des angles

Va* -4- h' -f. c* y^rt* -4-i’ -4- c’ Va* -4- b'-^-c* que cette direction fait avec les mêmes axes. La somme des carrés de ces cosinus est, comme l’on voit, égale à l’unité, ce qui est la propriété connue des angles qu’une même droite fait avec trois autres droites perpendiculaires entre elles.

8. Nommons A la vitesse du mouvement composé, et a, f, y les angles que la direction de ce mouvement fait avec les trois axes, on aura

A = y/fl’ -4- />’ -4- c’,

et *

= cos a, -£ = cosp, = cos y;

d’où l’on tire

o = A cos a, b = A cos fi, c=Acosy.

On voit par là comment la vitesse A d’un mouvement uniforme, suivant une direction donnée, peut se décomposer dans trois vitesses a, b, c suivant des directions perpendiculaires entre elles.

Si donc un corps avait à la fois deux vitesses A et B suivant des directions données, faisant, avec trois axes perpendiculaires entre eux, les angles respectifs a, fi, y et A, u, v, il en résulterait, suivant ces mêmes a\es, les vitesses composées

A cos a 4 - B cos A, A cos fi -f- Beos u, A cos y -+- B cos v ;

et ces vitesses donneraient une vitesse unique C, avec une direction qui ferait, avec les mêmes axes, les angles t, p, a-, de manière que l'on aurait

C cos 7t = A cos «+ Il cos A,

C cos p = A cos fi -+- B cos u, •

C cos s- = A cos y -+~ B cos v.

Comme les lignes A cos a, A cos fi, A cos y sont les projections sur

les trois axes de la ligne A prise sur la direction de la vitesse A, et

ainsi des autres quantités semblables’, il est facile de conclure des équations précédentes que, si f on place les deux lignes A et B l’une au bout de l’autre, suivant leurs propres directions, la ligne C joindra ces lignes, de sorte que A, B, C seront les trois côtés d’un triangle; et si, sur les deux lignes A et B partant d’un même point, on construit un parallélogramme, la ligne C en sera la diagonale. De cette manière, la composition et décomposition des vitesses se réduit à une considération géométrique très-simple; mais, pour le calcul, il est plus simple encore de tout rapporter à tr ois axes perpendiculaires entre eux par