TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME

les formules précédentes, que l’on peut étendre à autant de vitesses que l’on aura à composer.

Nous remarquerons encore que si l'on nomme A l’angle des deux lignes A et B partant d’un même point, le carré de la ligne qui les joindra sera exprimé, comme l’on sait, par

A’ — 2 AB cos A -4- B*.

D’un autre côté, en considérant les projections de ces lignes, il est aisé de voir que ce même carré sera exprimé par

(A cos a. — B eosA)’-+- (A cos jî — B cos /u) 1 -+- (A cos y — Beos»)’ = A’ 4 - B 1 tr- 2 AB ( cos a, cos A cos fi cos u -+- cos y cos ») ;

d’oii l’on tire, par la comparaison,

cos A = cos a cos A H- cos fi cos ,u -+- cos y cos v,

équation qui donne la relation entre l’angle A de deux lignes et les angles a, (3, y et A', /u, » que ces lignes font avec trois axes perpendiculaires entre eux. Cette relation est connue dans la trigonométrie sphérique; mais, comme nous aurons occasion d’en faire usage dans la suite, nous avons été bien aise de la démontrer par la méthode des projections .

9. I -1 considération des mouvements uniformes nous a donné la composition ef la décomposition des vitesses; celle des mouvements uniformément accélérés nous donnera de même la composition et la décomposition des forces.

En effet, supposons que les trois mouvements rectilignes suivant les axes des coordonnées x, y, z soient uniformément accélérés et produits par des forces accélératrices g - , h, k, on aura (n°6)

X=\gt*y y = \ht', Z=±l\kt*.

L’élimination de lionne

THÉORIK DF.S FONCTIONS.

ce gui fait voir que la ligne décrite en vertu de ces mouvements est aussi une droite passant par l’origine des coordonnées, la partie de cette droite qui répond aux coordonnées x, y , z sera donc aussi

\fx' +/ + I 1 = -+- h 1 -4- A* j

ce sera l’espace parcouru par le mouvement composé, pendant le

temps t : d’où l’on voit que ce mouvement sera aussi uniformément

accéléré, et dû à une force accélératrice égale à \j g* ■+■ h * -+- A*.

Et comme les lignes jgt*, i ht 1 , |At 3 sont les projections de la ligne

\Jg* -+- A 1 A 3 sur les trois axes, les rapports ,

V § ^ "4“ fi

* -- seront les cosinus des angles que la direc-

tion du mouvement composé fera avec les mêmes axes.

On voit par là que la composition des mouvements uniformément accélérés suit les mêmes règles que celle des mouvements uniformes, et que, par conséquent, la composition et décomposition des forces se fait de la même manière que celle des vitesses ; de sorte que les formules trouvées dans le numéro précédent s’appliqueront également aux (brces accélératrices, en sulrstituant simplement les forces aux vitesses.

Ainsi, si un mobile est sollicité à la fois par deux forces G et H, suivant des directions données, dont les angles avec trois axes perpendiculaires entre eux soient respectivement <*, fi, y et A, u, », il en résultera, suivant les directions des trois axes, les forces composées

G eos a. -h H cos A, G cos fi -h H cos u, G cos y -h H cosv;

et si K est la force unique résultante de celle-ci, en nommant 7r, p, a les angles que sa direction fera avec les mêmes axes, on aura les équations

K cos tt — G cos a -H H cos A,

K cos p = G cos (3 -t- H cos n,

R cos tr — G cos y -+- H cos ».

Cette manière de considérer la composition des vitesses et celle des forces comme des résultats de la composition des espaces parcourus