Q OU

qui est exacte jusqu’aux quantités du troisième ordre. En y substituant la valeur de S du numéro précédent, qui est exacte, jusqu’aux quantités du second ordre, on aura, au quatrième ordre près.

• Ro= Si,' 1 «li±ÿ)*: -H (f*±!E£ - ) 0 .,

-iir \ axi ou i

savoir,

Rir So’ = ±22?’

a ii’ ou*

d’où l'on tire, par la comparaison des ternies,

*«&£#, s = HilpP't.

.Ofl*

Substituant dans la seconde équation la valeur de «’ tirée de la première, et qui est la même que l’on avait trouvée plus liant, on en déduira

C’est la valeur que Newton a donnée ensuite dans la seconde édition de ses Principes (liv. Il, probl. III), et l’on voit qu’en mettant dans

cette valeur — • - • — ^ à la place de Q , R , S, comme dans le

v-VT+T* , , ,

u" 10, elle devient — • — te ^ e que nous l’avons trouvée au

2ô. Si l’on voulait suivre la première marche de Newton, mais en prenant pour la (lèche qui répond au temps très-petit 9, l'expression

plus exacte ^ — n ~ «pie nous venons de trouver, on aurait pour la

moisi èmk partie. — chapitre quatrième. 353

flèche qui i-épond au temps, — T, -f substituant pour T

sa valeur en 8, 8 — —, elle deviendrait * ’ — '-'J- , et la différence

des deux flèches serait alors qu’il faudrait prendre pour les

valeurs de y et p seraient également, aux 8" près, , et I’oh

aurait, par la substitution,

xà 3 /’

donc

r 3 nà

Prenant maintenant, comme Newton, * — « wT-h Q’, y ^ R<f* , J sss v.So’, on aurait le résultat exact

/■ hs A±\ÿ s~ 4R* '

Comme Newton n’est parvenu à ce second résultat qu’en suivant une marche analogue à celle du calcul différentiel, et en considérant deux tangentes successives, ou deux côtés successifs de la courbe, au lieu que, dans la première solution, il n’avait considéré qu’une seule tangente prolongée de part et d’autre du point de contact, nous avons cru devoir montrer comment, sans s'écarter de l’esprit de cette solution, mais en la rectifiant par la méthode des séries, on pouvait aussi arriver à un résultat exact. En effet, on peut toujours trouver, par cette méthode, les premiers termes de l'ordonnée en série d'une courbe, ou, en général, du développement d’une fonction, lesquels satisfassent aux conditions mécaniques ou géométriques du problème proposé ; et la loi de ces termes donnera l’équation du problème. C'est en quoi consiste la méthode que l’on peut appeler, d’après Newton, méthode des séries, pour la distinguer de la méthode des différences ou des fonctions dérivées, par laquelle on arrive directement à cette équation sans le circuit des séries et sans employer d’autres termes que ceux qui doivent y entrer, comme on le voit par l 'analyse du n" 18.

24 . Il est à remarquer, au reste, que la construction employée par

3' éd. 45

THHORIE DES FONCTIONS.

Newton dans sa seconde solution mène à une formule semblable à celle de la première que nous avons représentée par - = ^ » et que

nous avons vu n’être pas exacte, mais avec cette différence que la quantité S, au lieu d’exprimer, comme dans la première solution, la différence des flèches qui répondent à des portions égales de la même tangente, prises de part et d’autre du point de contact, et dont les parties correspondantes de l’axe des x sont o et — o, doit exprimer, au contraire, la différence des flèches de deux tangentes consécutives, prises du même côté et répondantes à des parties de l’axe égales à o. Pour avoir ces flèches, Newton représente l’ordonnée qui répond à l’abscisse x -p o , par la série P -p Q o -p Ro 3 -f- So 3 -p mais il les détermine par la méthode différentielle, en prenant la différence d’une ordonnée intermédiaire et de la demi-somme des deux ordonnées adjacentes. Ainsi, en considérant les trois ordonnées qui répondent aux abscisses x — o, x, x-p o, il a la flèche Ro 3 , et les ordonnées qui répondent aux abscisses x, x-po, x-p 20 donnent la flèche Ro 3 -P 3So 3 , et la différence des deux flèches est 3So 3 . Cette valeur étant prise pour S, et faisant, comme dans la première solution (n° 19) , « — 0 ^ 1

Ro 3 , on a

r SSy'i-

expression exacte, comme on l’a vu plus haut.

Suivant nos dénominations, lorsque x devient x-p o, y devient

y -P or -P P -^y 1 etc. La partie de la tangente qui répond à o

est o \] 1 -p y' 1 ; c’est la valeur de a. La partie interceptée entre la tangente et la courbe, ou la flèche, est -p , etc.; c’est la valeur «le y. Ainsi l’on a, dans les deux solutions,

4 / “ ~ô<y' ir :

A l'égard de <$, dans la première solution, c’est la différence des flèches