TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE SIXIÈME

Donc on aura nécessairement l'équation du premier ordre

On trouvera, de la même manière,

^'(x) -+- 4>'(f) + ...=Oi

et ainsi de suite. ‘ • C

Or, si le système n’est soumis à d'autres forces que celles qui peuvent résulter de l’action mutuelle des corps, les équations du mouvement relatives aux coordonnées x, £, etc., seront de la formé ( n" 15 )

Mx* = nF'(x) -+- y<t>'(x) -t- ...,

Nr = nF<£)-+^'<Ç)+ ...,

etc.

Donc, ajoutant ces équations ensemble, on aura simplement

iVLr" ... = o,

équation indépendante des conditions du système.

Cette équation a l’équation primitive -V

Mx* -4- Nf' -H

et celle-ci a encore l’équation primitive

. Mx q- N? = nt -f- b,

« et b étant des constantes arbitraires.

Ainsi, on a tout de suite, dans ce cas, une relation entre les différentes abscisses x, Ç, etc. „

11 est facile de voir que le cas dont il s’agit aura lieu dans tout système entièrement libre de se mouvoir' dans la direction de l’axe des abscisses, quelle que soit l’action que les corps peuvent exercer les uns sur les autres : car alors, relativement à cet axe,’ les conditions du système ne pourront dépendre que de la position respective des corps, et nullement de leur position par rapport à l’origine des abscisses; par eonsé-

<|uent, les équations qui exprimeront ces conditions ne pourront contenir que les différences x — etc. , des abscisses. F.t si les corps exercent les uns sur les autres des attractions ou des répulsions mutuelles, comme les fonctions F (x, y, z, §...), dues à ces forces, ne dépendent que des distances <J{x — — s) 1 -!- (z — £)’, etc.,

ces fonctions auront aussi la même propriété.

Donc, lorsque le mouvement du système sera tout à fait libre suivant la direction de l’axe des x, de quelque manière que les corps agissent les uns sur les autres, soit par des forces quelconques de résistance, ou par des force» d’attraction ou de répulsion mutuelle, l’équation précédente entre les abscisses x, £, etc., des différents corps aura toujours lieu.

Si l’on prend dans le système un point qui réponde à l’abscisse X, telle que l'on ait

on aura

X" — o et de là X’ — a, X = àt,

en supposant que l’espace x sort nul au commencement du temps. Ainsi, le mouvement, de ce point suivant la direction de l'axe des x sera uniforme avec la vitesse constante a.

32. Si, dans le même système, on suppose que les corps M, N, etc. , soient, de plus, animés par des forces quelconques P, Q, etc. , dirigées suivant l’axe des a 1 et tendant à augmenter les x, £, etc., il faudra, dans ce cas, ajouter respectivement les quantités P, Q, etc., aux valeurs de M.r", etc.; ce qui donnera les équations

Mx" = P + ilF'(x) -H fl>V) +

Ng" = Q-b nF'(Ç) -+- Wflf) -tetc., *

dont la sommé sera

Mx" -+- NÇ" +... = P+Q+...;,