TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE SIXIEME

86. Maintenant, si les- -corps tlu système a’ éprouvent d’autres actions que ceHes qui peuvent résulter de leur liaison mutuelle, les équations du mouvement relatives- aux coordonnées x, y, % x «, etc-, seront de cette forme ( n°* 26 et 50): 1 *

M.r" = nF' (x) - 4 - «M»' (x) -4- ... ;

Mj" = II F'(j ) Hh 4V( y) '

M?" = ftF'(Ç) + W(Ç) Hh ...;

. ^ Ms" = nF'(«) -(- H- ...; etc.

Donc, si l’on ajoute la seconde de ces équations multipliée par x, la quatrième multipliée par £, et ainsi de suite, et que l’on en retranche la première multipliée par y, la troisième multipliée par w, etc., on aura, en vertu des équations de condition trouvées ci-dessus, l’équation

M (x y" — J* # ) 4 - N (gu" - ) -+- ... = o,

qui çst.aüs^L, comme l’on vnit, indépendante des conditions du système. .

En prenant son équation primitive, on aura

-M (-rr'-yx') 4- N (g*' - .g') 4- ... = C,

C étant une constante arbitraire. Ainsi l’on a tout de suite une équatioiv du premier ordre entre les coordonnées, x, y, g, r, etc. , des différents corps. ’

Or xy T — yx'

yx' est la lonc-

-*sera la fonction prime delà d*® uence du triangle et de l airp

dont noûs parlons ; et il est facile de voir que cette différence est, en générai, égale à l’espace compris entré la courjie dont x etj sont les coqrdbnnées, et la droite menée de l’origine de <fs coordonnées à la

'JjS' A- THEORIE DES I^OCTIONS. *• .

coorbe, c’est-à-dire à l'aire du secteur décrit par cette, même droite que l’on nomme rayon vecteur.- .

Ainsi, pommant A cette aire, on aura ••

* *y't -s - yx = aA'; » •

et nommant de même a l’aire décrite par le rayon vecteur mené à la courbe dont £ et * sont les coordonnées, on aura pareillement

et ainsi des autres. De cette manière, l’équation précédente deviendra

aMA'-t-.aNV-f. ... = G;

el comme les fonctions primes se rapportent ici au temps t, on aura cette équation primitive

MA -+- Na + 7* =*[ct - D,

D étant une constante arbitraire, qui sera nulle si Ton fait copnnencer les aires A, *, etc., nu commencement du temps t. Alors la somme des aires multipliées chacune par la masse correspondante sera proportionnelle au temps.

Il peut arriver, suivant la formé de la courbe dont x et y sont les coordonnées, que l’aife décrite par le rayon vecteur soit, au contraire,

la différence de l’aire de la courbe et de celle du triangle, auquel cas

nn ait?*» • *

on aura

1 mW 1

r .'«Sfr'-A > a. * '..ai A.

mais il est facile de se convaincre que. dans ce cas, l aire sera décrite dans un sens opposé. Donc, en général, la somme dès produits îles masses par les aires sera proportionnelle au temps, en prenant positivement les aires tracées dans le même sens, et négativement celles qui seraient tracées dans un sens opposé. C’est une remarque essentielle, et sons laquelle le théorème dont il s’agit ne serait pas vrai en général. Cette loi des aires aura donc lieu dans le mouvement de tout système