PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE HUITIÈME

niitive en x et z; mais la proposée, par la substitution de z au lieu de y', devient

éliminant donc 2 de ces deux équations, on aura une équation en x et y 4 qui sera l’équation primitive de l’équation proposée.

^ Le second cas est celui de l’équation

y' -f- Mj J + N =5 O,

M et N étant des fofictions de x. Ici je fais y = ^ , ce qui donne

'.Ms Ms’

substituant ces valeurs et multipliant par Mz, l’équation devient

r -^f + MN2 = o,

qui est, comme l’on voit, du second ordre, mais linéaire par rapport

Supposons que l’on ait trouvé d’une manière quelconque deux valeurs particulières de y en x , ©’est-à-dire sans constante arbitraire,

que nous dénoterons par p et q. Pour la valeqr p, on aura j ~=p,

d’où I on tire z — e r , en dénotant par P la fonction primitive de ywM; on aura de même pour la valeur q, z = e®, Q étant la fonction primitive de qM . Ayant ainsi deux valeurs particulières de z, on aura la valeur complète (n° 53)

z = ae v -f- Ae*?,

a et b étant deux constantes arbitraires; donc, puisque y = et

que P' = y»Rt, Q' = yM, on aura cette valeur complète de j,

a pe v +bqe { i

,r «e l ’-t-Ae9 ’ ” '

yo THÉORIE DES FONCTIONS.

c'est-à-dire, en faisant - = r,

p+cqeQ~ p ^

i -I- cc^~ v

où c est la constante arbitraire.

Par exemple, si N = — mM, m étant une constante, il est aisé de

voir que l’on satisfera à la proposée en j, en faisant y = \Jm -, et, à cause de l’ambiguité du radical, on aura

donc, nommant L la fonction primitive de M, on aura P = L \fïn, Q= — L \jm, et la valeur complète de y sera

(l — cc jLv '"') \jm

Au reste, dans ce cas, l’équation proposée peut se mettre sous la (orme

où les variables .r et y sont séparées, et dont on peut trouver l’équation primitive, comme nous l’avons montré plus haut.

57. Lorsque l’équation proposée n’cstpaslinéaireen j,j', y", etc., ou qu’elle n’est pas comprise sous la forme précédente, je ne connais aucune méthode générale pour compléter les valeurs particulières de y que l’on aurait trouvées; mais on y peut toujours parvenir par le moyen des séries.

Supposons, en effet, que pour une équation du premier ordre en r, jet y', la valeur complète de jsoit f(.r, «), a étant la constante arbitraire. En donnant à a une valeur particulière A, la quantité f (x, a) deviendra une valeur particulière de j, que nous nommerons p, et