PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE HUITIÈME

Je substitue maintenant les valeurs de y, y ' , y” et y" dans l’équation proposée, il est visible que par la nature des quantités p, q, r,4e s termes qui contiendront a, b, c se détruiront, et il ne restera que l’équation *,

qui, étant combinée avec les deux équations supposées •

servira à déterminer les trois quantités a, b’, c', les quantités/?, q, r et leurs fonctions primes et secondes étant connues, ainsi que hi quantité X. - ï

Supposons donc que l’on ait trouvé a' = P, b 1 = Q, c’ = R, ces quantités P, Q, R étant des fonctions connues de x, il n’y aura qu’à les regarder oomme des fonctions primes et en cheroher les fonctions primitives, qui contiendront chacune une constante arbitraire qui pourra lui être ajoutée. On aura ainsi les valeurs des inconnues a, b , c, qOe l’on substituera ensuite dans l’expression de» ) .'

55. Lorsque l’équation n’est que du premier ordre, on n’a besoin que. d’une valeur p, et l’on peut toujours la trouver, car on a alors l’équation A y -+- p' — o, à laquelle satisfait cette valeur p = e~ M , M étant la fonction primitive de A, de manière que M' = A, et c dénotant -toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité; en effet, on aura, en prenant les fonctions primes,

Pour les équations d’un ordre sûpérieur au premier, il n’y a pas de méthode générale pour trouver les valeurs de p, q, etc., à moins que les coefficients A, B, C, etc., ne soient constants. Mais, dans ce cas, il est aisé de les trouver, car il n’y a qu’à supposer p = e’"' r , m étant une constante indéterminée; on aura

= me

= rn‘e

etc.;

donc l’équation

A/j 4- B// • -+- Cp* -h T)p m - 4 - ... = o

deviehdra'

Bi/ï —f- - C/n* 4" D/w 1 -4- .. . « o, r ' ■ \

laquelle sera, généralement parlant, d un degré égal à l’ordre de l’équation proposée. Elle aura donc autant de racines qu'il y a d'unités dans ce degré; et si l’on désigne ees racines par ni, n, etc. , on aura

P = e mx , q = e nx , etc. ; .

de sorte que, dans ce cas, la difliculté est réduite à la résolution des équations. *

56. On peut souvent rendre linéaires des équations qui ne le sont pas, par le moyen des substitutions; et comme cette transformation est toujours avantageuse»- voici deux cas très-étendus on elle réussit :

Le premier est celui de l'équation

y — xfy' -+- F 'y', . .

qui est plus générale que celle que nous avons traitée ci-dessus (n° 54); j’en prends d’abord les fonctions primes, j’«i

/ = xy'Vÿ - 4 - (y' + y'F'y'-,

je fais y' — z, et par conséquent y" — z', j’ai

z — xz'f’z - 4 - fs -f- z'F'z,

équation du premier ordre en x et z, où z est censé fonction de x.

Maintenant je regarde x comme une fonction de *; il faudra mettre

-t à la place de z' (n“ 50), et il viendra l’équation

xt'z - 4 - (fs — z) x' -f- F 'z = o,

qui est, comme l’on voit, du premier ordre, et linéaire en x. On pourra donc, par la méthode précédente, en trouver l’équation pri-