CHAPITRE NEUVIÈME

Des valeurs singulières qui ne sont pas comprises dans les équations primitives complètes. Des équations primitives singulières .

£»8. La méthode que nous venons d’exposer pour trouver l'équation primitive par le moyen des séries est fondée sur fa supposition que toute fonction F (x, y) de deux variables .r, y, puisse toujours, par la substitution de p -+- qi ri* -f- à la place de y, se développer en une série ascendante, suivant les puissances entières de /; mais, comme cette série résulte du développement d’une fonction de y -+- o, en faisant o —qi-y ri 1 -I- ..., et donnant à y une valeut particulière p , il s’ensuit de la théorie que nous avons donnée dans le chapitre V, que ce développement pourrait contenir des puissances fractionnaires ou négatives de o, auquel cas la série dont il s’agit contiendrait nécessairement de pareilles puissances de i. Alors la série qui doit représenter la valeur de y pourra ne plus avoir la même forme ; mais comme y = f (.r, a ) , et que l’on suppose a = A-hietp=f (.r, A) , le premier terme sera toujours p, et le second pourra encore être supposé de la forme qi ; car, s’il était de la forme qi ", n étant un ex-

posant quelconque, il n’y aurait qu’à substituer i" à la place de i, et

supposer que a devienne h -+- i", ce qui est indifférent, puisque l'on regarde i comme une constante arbitraire ; mais les termes suivants pourront être de la forme ri” -4- si" ■+■ . . . , où m devra être > i , n > m, etc., par hypothèse.

Substituant donc , dans F ( x , y ) , pour y, la série

- p -4- qi -h ri n -f- si" -4-

et développant suivant les puissances ascendantes de i, on aura une série de cette forme

F (x, p) - 4 - Pt' H- Qi’ - 4 - . v ,-

u étant différent de l'unité, t > ju, etc., et P, Q étant des fonctions données de r. Donc l’équation y' = F (x, y) deviendra, par ces substitutions ,