V -4- i m r' -f- t'V -i- ... = Pt" Q i

laquelle devra se vérifier indépendamment de la valeur de t.

Donc, si (Ji > i , on pourra faire q' = b, m = p et r' = P, ensuite n = v, s' — Q, etc. Ainsi, on aura d’abord q égal à une constante, ou plus simplement q = i ; ensuite, comme P ne dépend que de q et de x, on trouvera la valeur.de r en prenant la fonction primitive de P; et ainsi de suite.

59. Mais si /u < i, alors il sera impossible de satisfaire à l'équation, de manière que t demeure une constante arbitraire, et l’on devra en conclure que la valeur particulière/?, ne pouvant pas être complétée ainsi, ne saurait être contenue dans l’expression générale f (x, a) qui représente la valeur complète de y.

Maintenant il est visible que quel que puisse être le premier terme Pi du développement de F (x,y) par la substitution de/? -4- qi -f- ri m - 1 - . . . , à la place de y, il ne peut venir que des termes p -t- qi, de sorte qu’il sera le même que si l’on substituait simplement p H- qik la place de r- Donc le développement de F {x, y) par la substitution de p H- o à la

place de j sera F(x,p) -f- 5îî

donc, puisque la série résultante

de ce développement contient un terme affecté de o", où /u. est > o et < i , il s’ensuit de la théorie donnée au n° 29, que la fonction prime F' (j) devra devenir infinie, lorsque y = p.