CHAPITRE YECVILME

la rendent identiquement nulle. Ce sera donc l'équation primitive singulière.

Kn effet, suivant la théorie du n” 61 , on aura, dans le cas présent, F (.r, y) = , X ■ j ■ ji et n = \J b 2 — .r’ ;

donc, en prenant les fonctions primes relativement à y seul, on trou-

[ — r + VT’ + l' — î>‘ j y.r’ -H > ' — b'

quantitc qui devient infinie, comme l’on voit, par la supposition de

(»•">. Supposons maintenant que l’on ait l'équation du premier ordre )•'= Fy, et que la fonction Fj de » soit telle, qu’elle devienne nulle lorsque y est égal à une constante donnée b ; il est visible que cette valeur de y satisfera à l’équation; car y = b donne aussi y' = o. ( >n demande si cette valeur de y est une valeur particulière comprise dans la valeur complète, ou bien si ce n’est qu* une valeur singulière. On prendra la fonction prime de Fy, et si FV devient infini lorsque y = b , la valeur b ne sera qu’une valeur singulière, sinon elle sera une valeur particulière.

Soit Fy — K (y — b) m , /«étant > o et K une constante, on aura

F ' y = mh ( y — é)"”'.,

quantité qui devient infinie lorsque /// < i ; donc. Ip valeur y = b sera une valeur singulière, si m > o t,'ef une simple valeur

particulière, si rn = ou > t. En effet, l'équation y' = K ( y — b) m étant divisée par (y — b)” et mise sous la forme

a pour équation primitive

IOO

a étant la constant? arbitraire; d’où l’on tire

Donc, pour que l'on ait y — h, il faudra que la quantité (a -+- K.r) ' * devienne nulle. Or, si m > o et < i , l'exposant sera positif;

par conséquent, il sera impossible de donner à a mie valeur qui fasse évanouir la quantité dont il s’agit. Mais si m > i , alors l'expo-

i , . ' ■ * ~îr~

sant ] m devenant négatif, la quantité (a -+• K.r) ’ " deviendra nulle

lorsque a sera infinie; car, faisant « = * » cette quantité deviendra

(H-Kcr)™-'

laquelle devient zéro lorsque <• — o.

T,a même chose a lieu lorsque m = i; alors l’cquatiou primitive contient des logarithmes ou des exponentielles, car ou a

et, divisant par r — /*, *

.ÿl ( y — b) — K.r = In,

e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et a la constante arbitraire. Ici il est évident qu’en faisant a égal à zéro, on aura y = b.

Supposons encore Fr = \/Y, Y étant une fonction de y qui devienne nulle lorsque .y = b, on aura

F > = —si