CHAPITRE NEUVIEME

De là on tire cette conclusion, que la valeur particulière p ne pourra pas être contenue dans l’expression complète de y, si cette valeur

rend la fonction F'(jy) infinie, c’est-à-dire la fonction nulle. Réciproquement donc, l’équation ^ — o donnera toutes les

valeurs de y, qui, pouvant satisfaire à l’équation, y' = F (.r, y) comme valeurs particulières, ne seront pas renfermées dans la valeur complète. On pourra appeler ces valeurs, valeurs singulières, pour les distinguer des autres ; et, en général, l’on pourra appeler équation primitive singulière, toute équation en .r et y qui satisfera à une équation du premier ordre entre x, y et y', ou à une équation d’un ordre supérieur, et qui ne sera pas comprise dans l’équation primitive complète, c’est-à-dire qui ne sera pas un cas particulier de cette équation.

60. Nous venons de voir qu’il y a une espèce -d'équations qui peuvent satisfaire à des équations d’un ordre supérieur, et qui ne satisfont pas aux équations d’où celles-ci peuvent être dérivées, parce qu’elles ne sont pas renfermées dans les équations complètes d’un ordre inférieur à celles-ci. Ces équations ne forment pas une exception à la théorie générale exposée plus haut - (n° 46) ; mais elles résultent d’une considération particulière dans la manière dont les équations d’un ordre supérieur sont dérivées par l’élimination des constantes. En effet, on y a vu que les deux équations F (x, y) = o et F (or, y)'— o donnent, par l’élimination d’une constante a, une équation dérivée du premier ordre entre x, y et y', dont F(.r, .r) = o sera l’équation primitive.

Or il est évident que le résultat de cette élimination serait le même si la quantité a r au lieu d’être constante, était une fonction quelconque de x\ mais, dans ce cas , la fonction prime de F (.r, y) ne serait plus simplement F (x,yY, elle contiendrait de plus une partie provenant de la variation de a ; et si l’on désigne par F» la fonction prime de F (ar, y), prise relativement à la variable a, on aura a'F'(n) pour la partie dont il s’agit, a' étant la fonction prime de a regardé comme fonction de ar. 4

Ainsi, dans le cas où a serait fonction de x, l’équation prime de F (x, y) = o serait F (jf, >■)' -+- a' F' (a) = o; donc, pour qu’elle se réduise à F (x, y) 1 .— ci, comme dans le cas de a constant, il faudra que l’on ait F , (a) = o, équation qui servira à déterminer lavaient- «le a, et qifi n’est autre chose, comme l’on voit, que l’équation prime de l’équation" primitive, prise relativement à a. D r où il s’ensuit que si l’on substitue cette valeur de a dans l’équation primitive F(.r,j-)=o, on aura une équation eji x et y, qui satisfera également à l’éqiation • lu premier ordre, et qui ne sera pas renfermée dans l’équation primitive où « est la constante arbitraire.

On pourra appliquer la même théorie aux équations des ordres supérieurs, et en déduire des conclusions semblables.

(il. Pour voir maintenant si l’équation qui résulte de cette considération est la même que l’équation primitive singulière, déduite de l’analyse précédente, supposons, comme plus haut (n° 58), que l’équation du premier ordrp soit réduite à la forme y' — F (x, y), et que son équation primitive complète soit y = f (x, â),yi étant la constante arbitraire. Pour en déduire l’équation primitive où a est variable, on prendra l’équation prime relativement à a seul; et si l’on désigne par (x, o) la fonction prime de f (x, a), prise relativement à o, on aura tp (je, a) = o; d’où l’on tirera a, que l’on substituera dans f(x, a), et l’on aura une valeur particulière de y, qui satisfera aussi à la proposée «iu premier ordre. Nous appellerons /> <iette valeur particulière, comme dans le numéro cité.

Maintenant, puisque la valeur complète f (x, a) de y’doit satisfaire à l’équation y'— F (x, y ) , quelle que, soit la constante a , il s'ensuit qu’en faisant la substitution, l’équation résultante f' (x, a)= F£x, f(x, o)] devra avoir lieu, quelle «pie soit ta valeur de a. Par conséquent, son équation prime, prise relativement à a regardé comme seule variable, devra avoir lieu aussi, quelle que soit la valeur de a (n° 17).

Puisque f'(x, a) est la fonction prime de f(x, a), prise relativement à x, la fonction prime de celle-ci, prise relativement à a, sera donc la fonction seconde de f (x, a), prise d’abord relativement à x,

•première partie. — chapitre neuvième. 97

et ensuite relativement à a, la<|uelle est la même chose, comme nous •le ilémontrerons plus bas, que la fonction seconde de f (x, a), prise d'abord relativement à a, et ensuite relativement à x. Ainsi, ayant désigné par $ (,r, a) la fonction prime de F (x, n) par rapport à a, on aura <p' {.r, a) pour la fonction prime de f'(.r, n ) , prise également par rapport à a , les traits appliqués aux caractéristiques f et p ne se rapportant qu’à la variable x.

A l'égard de la fonction F [x, f (x, a)|, comme elle résulte de la substitution de f(x, a) à la place de y dans P(x, y), sa fonction prime, relativement à a, sera exprimée par F'( y) . 0 (x, a) ( n" lti), puisque nous avons désigné paç F ' ( y) la fonction prime de F(x,y) relativement à y; et par <p (x, «) la fonction prime de f (x, a) ou y, relativement à a.

Donc l’équation prime de l’équation f' (x, n) — F (x, y), prise relativement à a, sera

d’où l’on tire

ip'(x, a) = F' (y) . <p (x, «);

a ) ■ ï(jc, a)

Or nous venons de trouver que, pour avoir la valeur particulière/», il faut substituer dans f(x, a) la valeur de a, tirée de l’équation 0 (x, a) = o. Dénotons par X cette valeur de <t, qui sera une fonction de x, la fonction 0 (x, -a) aura cette forme >

m étant > o, et V étant une fonction de x, qüi ne deviendra ni nulle ni infinie lorsque a — X; on tirera de là

<p' (x, «) = V ' (X - a j" -K mV X' (X - ■ '

Donc on aura j.

, V' mX'

Mais y devient p lorsque à — X; donc F'(j') deviendra infini 3* èd. f 3

lorsque y = p, comme dans le cas du n® 59. Ainsi les deux méthodes des n“ 58 et 60 conduisent aux mêmes résultats, et donnent lesmêmes valeurs singulières; mais la seconde a l'avantage d’être plus directe et de donner la vraie métaphysique de cette espèce de paradoxe.

62. Supposons, pour donner un exemple,* que l'équation primitive soit

x* — 2 ay — a 1 — = o;

en prenant les fonctions primes, on aura l’équation prime

x — ay' == o;

éliminant a par le moyen de l’équation primitive, on aura l’équation du premier ordre

i — [-J + \Jx* -+- X 7 ~ = o,

dont celle-là sera l'équation primitive complète, « étant la constante arbitraire.

Maintenant, si l’on prend la fonction prime de la même équation r* — ïay — a * — b? — o, relativement à Ta quantité a regardée comme une fonction de .V, on aura

ce qui donne - * * «

y-tr.a = 6, a — — y,

et, substituant cette valeur dans la même équation primitive, on aura x 7 -+- y*. — b 1 = o.

C.ette équation satisfera, par conséquent, aussi à la même équation du premier ordre, ce qui est aisé à vérifier; car elle donne

. y* — b 1 — .r*. et yy' — — .r,

valeurs qui, étant substituées dans la quantité

x -y yy’ — y'^x' ^-ÿ*. — b 1 .