Or* 4- i>r’ -t-Ar* g

^A-+- Bx + Cx* ■+■ Br* + Ex* ’

.. » ^ | i|> ' * -• — •!. "* ' C . "*V ^ Vj

en la divisant par le radical en y, on aurait une équation où les variables x et y seraient séparées ; mais il serait impossible d’obtenir ainsi l’équation primitive, parce que les deux membres ne sont point réductibles eft particulier à des fonctions primes.

Voici néanmoins comment on peut y parvenir par le moyen des fonctions dérivées.

Je suppose d'abord que x et y soient fonctions d'une autre va-

viable t, il faudra, pour cela, substituer A à la place de y' (n° SOj;

x' et y' seront alors les ."fonctions primes de x et y, regardées comme fonctions de t. En supposant que x soit une fonction quelconque de t, l équation donnera pour y une fonction déterminée de t ; ainsi je puis supposer que x soit une telle fonction de t, que l’on ait l'équation

l'équation précédente, ou l’on a mis •*—, pourr', donnera pareillement

y’ = -\J\ -+- B) 4 - Cy* - 4 - Dj* 4- Er’-

Qne l’on fasse disparaître les radicaux dans ces deux équations, qu’ensuite l’on prenne les fonctions primes, on aura, après avoir div isé l’une par .r\ l’autre par y',

: xx " = B 4- ’aC.r 4- 3 D.r’ -+- 4 E.t J ,

. * a y*. B -+- aÇy - 4 - 3 Dr’ 4- 4Ej’.

Faisons x 4- y — p, x — y — q, ce qui donne

les deux équations précédentes, ajoutées et retranchées, donneront

/ = B4 Ç p+™{p' 4- </’) 4- ?(/>*• 4- 3 \pq'), q" = C q 4- ~pq 4- ? (3 \p'q 4 - 7 *).

De plus, comme p’q’ — x '* — y'*, si l’on substitue les valeurs dé .»•' et de y', tirées des premières équations, on aura

PY = % -+- C P'l + ■+■ 9 ‘) + P?)-

Maintenant je fais cette combinaison :

qp" — p'q’ = ^q' + Epq’;

multipliant les deux membres par ^ > ils deviennent les fonctions

primes de et de Dp 4- F/j 5 , de sorte que j’aurai d’abord cette équation primitive du premier ordre -,

où a est une constante arbitraire.