PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE ONZIEME

Pour la déterminer ^soit m fa valeur de y lorsque x — o, on aura dans ce cas, par. les équations q-dèssus,

x' = ^A, y' = ÆT B/w -+- C/n* .-h D« 3 -l- Em*;

je fais cette dernière quantité égale à n, pour abréger.

Ainsi, pupqoe />=.r-%éy, q on aura, lorsque x = o,

■ta - ><

p' = sJ~A q' — — n.

Faisant ces substitutions dans l'équation que l’on vient de trouver, on

p — m, q — — rn ,

a = {'t A . +n } ' __ Dm — E/n J ,

où l’on voit que, puisque m est une quantité indéterminée, la constante a demeure aussi indéterminée ; mais les déterminations précédentes seraient utiles si, par d’autres combinaisons, on trouvait de no lifefeiles équations primitives avec des constantes arbitraires...

Nous avcÜfe donc l’équation ’■} «7 <

équation

q v/a -+- Dp -+-

■i.- /dr»-.

qui, quoique du premier ordre, peut néanmoins donner tout de suite l'équation primitive en x et y de la proposée, puisque la valeur de //. qui est x' +/, est déjà connue en x et ÿ... En effet, substituant les valeurs de p, q et //, on aura .

^A + Bj+ Cx* -|- Dx’ - 4 - Ex* -4- \J A 4- lij -f- Cj’-+- Dr*

= (x *-ÿ) \j a -4- D (x -y y) -h E fft -4- y)*, où n est la 1*6 ns tante arbitraire.

Cette équation en x et y est, comme l’on voit, sous mie forme assez, simple, et la méthode par laquelle nous y sommes pany^ftift est fort remarquable ; mais cette équation n’est pas la seule iju^l’on puisse obtenir par les formules que nous venons de trouver.

En effet, si l’on substitue la valeur précédente de p' dans l’équa- 3' <m. tS

tion trouvée plus haut, qui donne la valeur de p'g', on en tirera

> K+Cr +mW +<!')+ F- ( P'+ P?)

\!a + Dp -h E p'

Ici remettant pour p et q leurs valeurs x -+- y et x — y, et pour q sa valeur ’•’■* ' ’ .

r’ — >■ ' = y/ A-h B r -(-Cr 1 -+- D.r’ -t- Ex’ — \/A-4-lV--l-Qt J -t-t>r-l-Er\

ou aura une nouvelle équation en a: et r avec la constante arbitraire a , qui sera également l’équation primitive de la proposée, mais qui ne sera qu'une transformée de l’équation précédente.

68. L’équation du premier ordre dont nous venons de trouver l'équation primitive peut toujours, par des transformations convenables, se réduire à la forme

/S B co» ü

z étant ici une fonction de a. Comme cette équation, traitée directement de la même manière, est susceptible d’une analyse beaucoup plus simple et plus élégante, J’ai cru qu'on ne serait pas fiché de la trouver

ici, * .

On regardera u et s- comme fonctions d’une autre variable t ; et après avoir substitué, en ccniséquence, à la place de s ’ (n° oO), on fera ces deux équations séparées.

u ~ -t- B cos u, z’ = -+- Beos z;

•après lés avoir carrées, on en prendra les fonctions primes, on aura, en divisant l’une par u' et l’autre par z’, ces deux-ci du second ordre:

a u" — — Bsin u, a z" = — B sin z.

Soient maintenants -t- u= 2 p, z — u—aq; lés deux équations précédentes, ajoutées et retranchées, deviendront, par les théorèmes connus.

a p" = — Bsin/>cosijr, ay" = — B cos y; sin q .