PREMIERE PARTIE. — CHaPITRK ONZIEME

si l’on prend les fonctions primes, en regardant z comme fonction de «, èt m, M comme constantes, on aura

( cos M cos * si n - — sin - cos

cosMsin-cos- — cos 1 sin - cl- o;

substituons à la place de cos M sa valeur tirée de la même équation, il viendra celle-ci :

cos - cos — — cos “ cos - cos — — cos a a 2 . a. a a

1 ' S ‘ + — *"TÏ =»•

* sin - sin -

Maintenant, si dans le même triangle sphérique, dont -, -, “ sont

les trois côtés, et M l’angle opposé au côté ™> on désigne par V et Z les angles opposés aux côtés ^ et ^ , on aura également

u z m ir » z * ni »

cos - = cos - cos — h cos V sin - sin — ,

z u ni r» • u • ni

cos - = cos - cos cos L sin - sin - ;

je donne à cos Z le signe —, parce que je suppose l'angle Z obtus. Donc, faisant ces substitutions, et divisant toute l’équation par sin - , elle deviendra

z cos V — cos Z == o, d’où z' — - 0 **.

cos\

Mais par la propriété générale des triangles sphériques, on a

V sin V sinZ sinM

sin - sm - sin -

donc

et de là

eos

sinV = «sin-, sin Z = *t sin - , a a

v = y/> — ^’(^sin“y, cosZ=y/ 1 — At’^sin

i 20 , THÉORIE DES FONCTIONS.

substituant ces valeurs, on aura la même équation du premier ordre eu u et z. ,

Si l'angle Z, que nous avons supposé obtus, était aigu, ainsi que

l’angle V, alors, an lieu de l'équation z' — > on aurait celle-ci

z[ -+- = o, qui ne diffère que par le signe de t' , et dont l'équa-

tion primitif sera la même.

70. Voici encore une considération essentielle sur ces sortes d e-

quations: l'équation du n° 08 étant mise sous cette forme

y A -t- B cos Z y'A -+- b Cosu

supposons que Ut soit la fonction primitive de 7= = - ■ == =- ; fz seia

pareillement la fonction primitive de -====n z étant regardé

comme une fonction de « dont z' est la fonction prime. Ainsi, en repassant aux fonctions primitives, on aura sur-le-champ cette équation primitive

fz = tu -4- /-,

k étant la constante arbitraire. *

Cette équation devra donc coïncider avec l’équation primitive que nous avons trouvée au n° 68, et où la constante arbitraire est m . par conséquent, sa constante arbitraire ne pourra être qu’une fonction de la constante arbitraire m. Soit X = F/n, on aura

fz = f« -t-.F m.

Mais m est la valeur de z lorsque u — o; supposant donc, pour plus de simplicité, que la fonction Ut soit prise de manière qu’elle soit nulle lorsque u — o, il faudra qu'en faisant u =o, on ait aussi z = /»; par conséquent, on aura Un — F/n; donc l'équation primitive que l’on vient de trouver deviendra y. .

fz —fu ■+■ f/n,