PREMIERE PARTIE. CHAPITRE OMIÈME

Il est d'abord visible que, ai l’on ajoute ces deux équations après avoir multiplié la première par q', et la seconde par p', le premier mftnbre deviendra la fonction prime de %p'q\ et le second la fonction prime de — B sin p sin q ; de sorte que l’on aura d'abord cette équation primitive du premier ordre, , * '

a p'q' = — B sin p sin q -+- a ,

n étant la constante arbitraire.

Pour la déterminer, supposons que u — o dorifié z = m, on aura donc, dans ce cas,

u' = ^A-hb, *' z' = \j A B cosm,

donc

, , z'‘ — u’’ B(cosm — i)

( . w»\* 1 — c atm

de sorte que I on aura

a — vp'q' -+- B sin/» sin q s= o

aura donc simplement l’équation :V

d où l'on peut conclure que cette équajbon primitive, ne renièrmant point de constante arbitraire, doit être comprise dans les équations du premier ordre en z et u, d’où nous sommes partis. En effet, ces équations donnent, en substituant Ira valeurs de p et 7, ♦

(cos z — eos u) = — B sut p sin q.

Divisons maintenant par cette équation du premier ordre Ira deux

11 fi THÉORIE UES FONCTIONS.

équations ci-dessus du second en p et q, on aura ces deux-ci :

p cosÿ tf • cos p

p'<! sinÿ p'q’ sin p ’

dont la première étant multipliée par q ' , et la seconde par p', donneront ces équations primitives,

I p' — I sin q -4- I«, \q' — 1 sin p -t- I b,

ou bien, en passant des logarithmes aux nombres,

p' — fi sin q, q' = b sin p;

a et h étant des constantes arbitraires que l'on déterminera par le> mêmes suppositions que ci-dessus ; d’où l’on aura

V A -+- B cos m -+- fA •+■ B

2 sin —

VA -+ - B ros ni — y' A -+- B ni

asm —

l>es deux équations que l’oii vient de trouver pourraient donner chacune une équation primitive en « et z pour la substitution des valeurs d ep, q, p\ q' ; on aurait ainsi

y/ A -t- H cos s -I- y/ A -4- B cos u — au sin - — - ,

\/A -i- B cos z — y/A -t- B cos u — a b sin- — —- T 2

Connue les valeurs de « et b renieraient l’indéterminée /«, chacune de ces valeurs pourra être regardée aussi comme indéterminée en particulier: ainsi, dans chacune de ces équations à part, on pourra regarder a ou b comme constante arbitraire ; mais si l'on voulait faire une combinaison quelconque de ces équations, il faudrait employer les valeurs de « et b trouvées ci-dessus, ; et alors la quantité m serait la seule constante arbitraire.

premieke partie. — chapitre onzième.

Ces dernières équations étant compliquées de radicaux, il sera à propos de chercher encore une autre équation primitive d’après les

mêmes équations dh premier ordre

p' == a sin q, q' — b sin p :

or, eu divisant l'une par l'autre, on a

■,HWï

/<' u sin q

a' /> sin n ’

y h sut fi

* bp' sin p = aq' sin q,

d'où I on tire tout de suite l'équation primitive

§' vMg!,

l> co s p — a co s q -+- c ,

jf.

c étant une nouvelle constante arbitraire qu’il fendra déterminer comme ci-dessus. Or, en faisant u = o et 2 = ni, on a

•^donc I équation précédente donnera

MKki

. . v tu

t* = (6 — rt) c:os - =

VA-ê K cos-

Substituant les valeurs de a, b, c, ainsi que celles de p = et </=*^-^dans la même équation, et taisant les réductions des sinus et cosinus, elle prendra cette forme très-simple,

z u z néÀ-f-Bcosm m

cos - cos- +- sin - sill - ' — , ■ — = cos ;

c’est l’équation primitive de la proposée du premier ordre en u, z et 2/, et l'angle m en est la constante arbitraire.

ht). < )n peut regarder les angles ^ 1 - et — comme les trois cotés

THÉORIF. DES FONCTIONS.

d'un triangle sphérique ; il est visible qté alors, dans l'équation précédente, la quantité sera le cosinus çlc l’angle compris

entre les côtés ^ et et, par conséquent, opposé au côté m - > par les

formules connues de la trigonométrie sphérique;*.c’est la valeur de z' lorsque u = o et z — m. Ainsi cet angle sera constant en même temps

«pie le côté-) tandis que les deux autres varient.

Soit M cet angle constant, on aura donc

v'A' -+- B cosm

= cosM,

d’où l'on tire

cos* M — c os ni sin*M

si n —

sin M

Si I on fait cette substitution dans l'équation proposée en m, z et et qu’on suppose, pour abréger, — u, elle se réduira à cette forme

m sin — a

dont l'équation primitive sera la relation entre les côtés ~ > îj et —

d’un triangle sphérique, dans lequel u sera le rapport des sinus des angles aux sinus des côtés opposés, rapport que l’on sait être le même pour tous les angles et les côtés opposés ; de sorte que ce rapport seul étant donné, il restera l’angle ou le côté pour arbitraire.

La considération du triangle sphérique peut servir à faire voir plus facilement comment l'équation entre ses trois côtés satisfait à l’équation précédente du premier ordre. Cette équation étant

cos - cos - -h cos M sin - sin - ü cos — «