HISTOIRE DE CET OUVRAGE
Quelques recherches mathématiques que l'on entrepremie, on rencontre toujours les imaginaires, soit comme obstacle, soit comme appât.
Voici, quant à moi, comment, pendant l'hiver de 1841-42, j'ai été amené à m'en occuper.
Considérant qu'une même courbe est capable d'une infmité de définitions toutes différentes qui, par l'intermédiaire de calculs n'ayant pour ainsi dire pas de rapports entre eux, ramènent toujours à l'équation unique de cette courbe, je cherchais s'il ne serait pas possible, inversement, de découvrir, par l'analyse seule, dans l'équation d'une courbe complètement inconnue, toutes les propriétés géométriques capables de lui servir de définitions, ou, du moins, autant qu'on en voudrait.
Toute définition d'une courbe, considérée comme lieu géométrique, revient à la présenter comme formée de la suite des points d'intersection de deux courbes mobiles, définies, mais dépendant d'un paramètre arbitraire; et l'équation de la courbe en question résulte de l'élimination de ce paramètre entre les équations des deux courbes mobiles.
Ce que je cherchais était donc de déduire de l'équation donnée de la courbe autant de couples que l'on voudrait d'équations contenant un paramètre arbitraire et telles que l'élimination, entre elles, de ce paramètre reproduisît l'équation proposée.
Soient
V{x,y) = 0 ui" r. 1
l'équation du lieu, et
f{x,y,a) = Q, f,{œ,y,a) = 0, deux équations telles qu'en éliminant entre elles a, on retrouve
Si, avant de pratiquer l'éliniination, on accenluait x et y, dans f^ par exemple, et qu'on éliminât a entre
f{x, y, a) = 0 et /; {x', y', a) = 0,
on obtiendrait une équation
Fi i^, y> x\ y') = 0
qui reproduirait identiquement
dès qu'on en effacerait les accents.
Réciproquement, si de l'équation
en accentuant, de côtés, et d^autresa? et y, on déduisait à volonté une équation
qui reproduisît F [x, y) =0, dès qu'on en effacerait les accents, cette équation ne pourrait-elle pas être considérée comme le résultat de l'élimination du paramètre a entre deux équations
S'il en était ainsi, et que, connaissant F^, on pût trouver /"et /i, on aurait obtenu un système de deux génératrices de la courbe proposée ; on connaîtrait une de ses définitions.
Or, la recherche des équations /"= 0 et /j = 0 ne présente aucune difficulté. En effet, si l'on suppose que ces équations existent et qu'elles soient déterminées par la forme de l'équation F^ = 0, il est clair que donner l'un des points de l'une des génératrices, reviendrait à faire connaître a et, par suite, l'autre génératrice, de sorte que si, dans
on considère x' ei ?/' comme fixes, l'équation restante en a; et y ne pourra pas différer de /" ^ 0; et que si, au contraire, on y considère x et y comme fixes, l'équation restante en x' et ?j' ne sera autre que fi = 0. Les équations cherchées devraient donc rentrer dans les types
Fi {x, y, m , w) = 0, Fj (/), q, x', y') = 0.
Ces deux équations contiennent quatre constantes différentes, parce que, pour déterminer chacune des génératrices, on a supposé connu l'un quelconque des points de l'autre ; mais on atteindra le but proposé en supposant que les deu.^ points [m, n] et [p, q] soient venus se confondre justement au point du lieu
oh doivent se couper les deux génératrices /" = 0 et /", = 0. Ainsi soit
y = ? (^) la valeur de y tirée de
les équations cherchées /" ^= 0 et /'i = 0 pourront évidemment être formulées par
f{x,y,a]=F,[x,y,a,<f{a)] = 0 et
/i {x'y U', a) = Fj [a, cp (a), x, y'] = 0,
qui remplissent elfectivefment les conditions du problème. Car les deux courbes
se coupent toujours au point
[a, cp (a)]
de la courbe proposée, quel que soit a. Prenons pour exemple l'ellipse
(F) rj:Y-\-b'{x'—a') = 0,
et transformons son équation en
(FJ a'yy' + b' (x - a) {x' + «) = 0,
nous en tirerons pour /"= 0 et /i = 0 les équations
/a -\- in
m désignant l'abscisse d'un point quelconque de l'ellipse.
En remplaçant — -r- — par a^ on donne à ces équations la forme
y =^ — — {x — a) et y ~ — {x-\-a), où l'on reconnaît les cordes supplémentaires.
Comme je faisais quelques essais de recherches pareilles, une remarque très-simple m'en a complètement distrait en me suggérant la notion das conjuguées, telles que je les ai définies dans cet ouvrage.
Soit une équation du second degré en y
F=:[y cp(^-)]^^(X)==0,
Transformons-la en *
Y^=[y — cpi [x, x')] [y' — co^ (x, x')] — ^, {x, x') = 0,
cDj et cp2 étant séparément tels que, si on y effaçait les accents, on retrouverait cp {x) et, de même, '^^ devant reproduire 4» {x), par la suppression des accents : les génératrices correspondante ce mode d'accentuation seront, m étant tel que <]/ (m) soit positif, '
/■= [y — ?i {x, m)] [9 {m) 4- \/j; [m)~ cp, {x, m)\ — <]/, {x, m) = 0
et
/; = [cp (m) + \/.]^ [m) — cpi (m, x')\ [y — «», (m, x')] — ^f^ {m, x') = 0,
si l'on veut que ces deux génératrices se coupent sur la branche de la courbe qui est au-dessus de son diamètre; tandis qu'elles seraient, dans le cas contraire,
/" = [y — ?i {«» m)] [cp(m) — \J^ {m) — cp, [x, m)] — ^, {x, m) ="0
et
/'i = [? {>n) — \/^ (m) — cp, (m, x')\ [y' — cf., {m, x')] — ^, (m, x') = 0.
Cela posé, considérons les génératrices de systèmes différents qui émergent de deux points placés symétriquement par rapport au diamètre, sur la courbe proposée; il est facile de voir que ces génératrices seront celles de la courbe
[y-^{x)fJ^^(x)==0.
En effet, en premier lieu, si l'équation /" = 0 est satisfaite par x = «, y = cp (a) — V — ^{a.), a étant tel que — 'j' (**) soit positif, en même
temps /"i = 0 le sera par x = a, y' = © (ot) -f- sj— ^ (a) ; c'est-à-dire que les deux génératrices f ^ 0 &i f^ =0 doivent couper la courbe [y — cp {x)]- 4- vj; (x) = 0 en deux points symétriquement placés par rapport au diamètre.
Pour le démontrer, il suffira évidemment de vérifier que l'équation F, = 0 est satisfaite par la substitution
X = ^, ?/zrrcp(a)— V— <f(«), x' = a, y' = cp (a) + V— «l^ (a),
car cette équation Fj résultant de l'élimination de m entre f{x,y^ m) ==0 et f^ {x\ y', m) = 0, si /" = 0 et F, = 0 sont satisfaites par la substitution, /■j = 0 le sera aussi.
Or, la substitution dans F, = 0 donne
[cp{a)-v/-^(a)-cp(a)] f<p (a) + s/- J. (a) -?(«)] -^ (a) =0,
c'est-à-dire une identité.
D'un autre côté, il est également clair que si l'équation /= 0 est
satisfaite par [a? = a, y = cp (a) — y — <^ (a)J, l'équation /' = 0 le sera en môme temps par \x = a.]y = (s^ (a) -{- y' -- ^ («)], car les deux résultats ne différeront que par les signes des radicaux. Mais si la courbe /"'= 0 passe au point
d'après la première partie de la démonstration, la courbe f\ = 0 passera au point
x==<x, y 1= cp (a) — \l—'h{<x).
Ainsi les deux courbes / = 0 et /'i = 0 se coupent toujours sur la courbe »
C'est en raison de cette relation remarquable que j'avais nommé la courbe
la Conjuguée de la courbe
y = o{x)zt\/']>{x).
Les deux courbes n'ont pas tous les mêmes systèmes de génératrices, mais elles en ont une infinité communs. Tandis que les quatre courbes f, /",, f, f\, accouplées /", /"„ d'une part,
et /', / j, de l'autre, engendrent, par leurs points de rencontre, les deux branches de la première courbe, les mêmes courbes accouplées /", /"', et /i, /' engendrent les deux branches de la seconde courbe.
D'ailleurs les quatre courbes /, /j, f f\, se réduisent à deux lorsqu'elles viennent couper les deux courbes conjuguées sur leur diamètre commun, et l'on peut imaginer que l'échange se fasse, dans le quadrige, à ce moment-là même, ce qui établit la continuité, au moins au premier ordre entre les deux Conjuguées.
Telle est la propriété qui m'avait frappé et dont je crus pouvoir faire l'objet d'une communication à l'Académie, le 15 avril 1842.
J'avais, dans ma lettre d'envoi, demandé à M. le secrétaire perpétuel, un résumé en deux mots, sans renvoi à une Commission et, pour obtenir ce que je désirais, j'avais choisi le jour du dépôt de façon que ce dût être M. Arago qui rendît compte de la correspondance. Mais il y eut une interversion ce jour-là, et mon mémoire tomba aux mains de M. Flourens, qui ne pouvait pas en prendre connaissance; MM. Sturm et Liouville furent désignés pour l'examiner et en rendre compte à l'Académie.
Quoique contenant une idée originale, ce travail ne méritait pas, j'^en conviens, les honneurs d'un rapport, aussi n'y avais-je pas songé, et c'était bien sincèrement que je demandais un résumé en quelques mots.
J'allai voir M. Sturm, qui me reçut bien, promit de me lire et me donna rendez -vous pour me faire connaître son avis.
Au jour dit, il n'avait pas ouvert mon manuscrit, mais, me mettant en main une plume et du papier, il me pria de lui expliquer mon travail.
J'aurais dû répondre bonnement à son invitation; mais j'étais dominé par des opinions qui, quoique justes, resteront probablement encore longtemps en dehors des idées reçues. Il me semblait que si le devoir des jeunes gens était de travailler, celui des vieillards était de leur épargner le soin humiliant de se faire valoir eux-mêmes, et que la fonction d'académicien était précisément de découvrir ce qu'il pouvait y avoir de bon dans ce qu'on envoyait à l'Académie.
La seule société que je comprendrais est celle oii chacun se trouverait naturellement porté à sa place par la voix publique ; tandis que, dans celle oii nous sommes plongés, on en est réduit à se pousser soimême, non pas seulement pour avancer, mais même pour n'être pas renversé et abîmé par la cohue des gens trop pressés pour observer bien rigoureusement les lois de la délicatesse.
La société ayant intérêt U utiliser ceux de ses membres qui peuvent lui rendre des services, on ne devrait pas être obligé à tant d'efforts pour se frayer un chemin.
Quoi qu'il en soit, tout ce que je pus faire vis-à-vis de M. Sturm, fut de supprimer l'expression de mon opinion.
Je me présentai quelques jours après chez M. Liouville, et comme il n'avait pas eu communication de mon mémoire, je crus pouvoir, sans tomber au rang de solliciteur, lui expliquer de vive voix ce qu'il contenait. M. Liouville me parut prendre intérêt à ce que je lui disais et m'offrit môme, à défaut de rapport, la publication de mon mémoire dans son journal. J'eus la sottise de ne pas profiter d'une offre si obligeante, dont au reste je ne connaissais pas le prix.
J'autographiai mon mémoire (juillet 1842) et l'adressai à quelques amis.
Jusque-là, en nommant conjuguées l'une de l'autre les deux courbes
je ne songeais qu'à l'analogie des définitions qu'on pouvait en donner, comme je viens de le montrer. Je ne regardais pas encore l'une comme représentée par les solutions imaginaires de l'équation de l'autre ; je les voyais encore moins simultanément représentées par une même équation. Ce n'est qu'à la fin de 1842 que je fis ce nouveau pas. Voici comment.
La remarque qui s'était présentée à moi ne se rapportait qu'aux équations du second degré; par rapport à l'ordonnée y. Mais la conclusion en devrait subsister si la courbe en question venait à subir une transformation quelconque de coordonnées. Seulement l'expression analytique du fait devrait alors changer plus ou moins. Que deviendrait cette expression? Comment la conjugaison des deux courbes se reconnaîtrait-elle dans leurs nouvelles équations et comment les coordonnées réelles des points de l'une se formeraient- elles des coordonnées imaginaires des points correspondants de l'autre?
Les solutions correspondantes des équations des deux courbes, dans l'ancien système, étaient
si les formules de transformation, résolues par rapport aux nouvelles coordonnées, étaient
x' = mx-\-ny et y' = m'x -\-n'y,
les solutions correspondantes des équations des deux courbes, dans le nouveau système, seraient donc
X = ?>/a -j- n (a -f- ^ y — l), y' = in a -|- n' (a' -f ^ y'— l) et
a,-'j = ma -|- w (a + [ii'), y'i = ^ « + W (a + fi') :
les parties imaginaires de y et de x, tirées de l'équation transformée de
n ' la première courbe, seraient dans un rapport — endant exclusive-
ment du choix du nouveau système d'axes et les coordonnées des points
de la seconde courbe se formeraient encore en remplaçant y — 1 pari dans les coordonnées des points correspondants de l'ancienne.
Ainsi, pour que deux courbes rapportées à un système quelconque d'axes fussent conjuguées l'une de l'autre, il faudrait que les coordonnées des points de l'une d'elles se formassent en remplaçaift y — 1 par 1 dans les solutions de l'équation de l'autre, où le rapport des parties imaginaires de ?/ et de J7 aurait une valeur constante; et cette constante définirait le système d'axes par rapport auxquels la conjugaison reparaîtrait directement, si la transformation ramenait les deux équations au second degré par rapport à y.
Mais le premier membre d'une équation algébrique entre x oX y pouvant toujours théoriquement être supposé décomposé en facteurs du second degré, par rapport à y, avec ou sans addition d'un facteur du premier, il n'était pas nécessaire, pour que la conjugaison géométrique existât entre deux courbes, que leurs équations redevinssent du second degré par rapport à y, à la suite du retour aux axes par rapport auxquels la conjugaison se présenterait le plus naturellement.
Dès lors, une courbe quelconque aurait toujours une infinité de conjuguées, dont chacune s'obtiendrait en cherchant d'abord toutes les solutions de l'équation de cette courbe oii le rapport des parties imaginaires de 3/ et de x aurait une valeur donnée et remplaçant ensuite s\ — 1 par 1 dans chacune de ces solutions.
L'ensemble de ces remarques se compléta presque aussitôt par une autre plus importante que la marche que j'avais suivie devait naturellement me suggérer.
La manière purement géométrique dont j'avais d'abord conçu la conjugaison entre deux courbes, c'est-à-dire la génération simultanée de ces deux courbes par les intersections de quatre courbes mobiles, rattachait indissolublement à une même courbe tout le système de ses conjuguées. Ce système de conjuguées ne dépendrait en rien du choix des axes auxquels la courbe proposée serait rapportée. Si donc on changeait
ces axes d'une manière quelconque, chaque conjuguée devrait se retrouver identiquement la même, en remplaçant toujours y— T par i dans les solutions de l'équation transformée de la courbe primitive où les parties imaginaires dey et de x seraient entre elles dans un nouveau rapport constant.
En d'autres termes, si l'on considérait toutes les solutions d'une équation quelconque f {x, y) = 0, rentrant dans le type
qu'on fit subir à la courbe f [x, y) =0, une transformation arbitraire de coordonnées, et qu'on recherchât dans la nouvelle équation les solutions transformées des premières :
lo On devrait les trouver de la forme
^, = «1 + h v'-T, ih = «'i -f- ^iC, V — i 1
et 2° la suite des points
rapportés aux anciens axes, devrait coïncider avec celle des points
^1 = «1 + K Vi = «1 + f^iG,, rapportés aux nouveaux.
La vérification de cette induction était bien aisée à obtenir. En effet, si les formules de transformation, résolues par rapport aux nouvelles coordonnées, étaient
x^=a-\- mx -{- ny, y^z=b -\- m'x -f- n'y,
la solution [.i'j , yj correspondant à [:r=a-|-p y — 1 ,y=a'-|-pCv/ — IJ' serait
^. =Cf + m (a 4- jâ V— l) +n (a'+^C sj—i),
y, = ô -h ^' (a + p sT^i) + n- (a' + .^G v/^) ;
or les deux points
et
x^ = a-\- m (a 4- (H) -1- n (a' + ^G ), ,y, = 6+m'(«+fi) + n'(a' + ^C)
coïncideraient bien effectivement.
Ainsi les solutions imaginaires d'une équation quelconque, /X^, y) = 0, rangées par groupes du type
x = a + liV— ^ y = a'-f liC v^— 1,
•— 10 — et réalisées sous la forme
fournissaient des lieux perm^anents, indissolublement liés à la courbe représentée par cette équation f{x , y)=zO, et qui, on devait s'y attendre, présenteraient avec elle les plus curieuses analogies.
Cette importante observation changea entièrement la direction de mes idées : j'étais tombé sur une des grandes lois de la nature, il s'agissait d'en tirer toutes les conséquences; ma vie dès lors étai' ftxée. Toutes les conjuguées d'une courbe quelconque se trouvant représentées aussi réellement par les solutions imaginaires de son équation que cette courbe elle-même pouvait l'être parles solutions réelles, il s'agissait de tirer de cette équation unique, dont le champ se trouverait ainsi indéfiniment étendu, la solution de toute question quelconque se rapportant à l'une des conjuguées, au lieu de la courbe réelle. Il s'agissait de fonder la méthode à l'aide de laquelle tout calcul entrepris pour arriver à la solution d'une question relative à une courbe réelle s'appliquerait de lui-même à toutes les conjuguées de cette courbe et donnerait la solution propre à chacune d'elles de la même question.
En réalisant ce but, je devais parvenir indirectement ii mettre en évidence les propriétés communes à toutes les courbes qui pourraient être considérées comme conjuguées les unes des autres, c'est-à-dire à créer les éléments d'une sorte de géométrie comparée.
Ainsi, l'ellipse et l'hyperbole, de mêmes axes, sont deux courbes conjuguées et l'analogie de leurs propriétés a été en effet remarquée de tout temps ; mais la méthode que je cherchais à fonder devait les mettre bien plus complètement en évidence. On passe en effet ordinairement de l'une à l'autre en changeant le signe du carré de l'un des axes, mais les équations des deux courbes n'en restent pas moins distinctes, tandis que dans les apphcations de la méthode que je rêvais, les deux courbes n'auraient plus qu'une seule équation, où elles seraient, il est vrai, représentées de manières différentes, mais où on les étudierait simultanément, les résultats de chaque recherche devant s'appliquer indifféremment à l'une ou à l'autre.
Il en serait de même d'une courbe quelconque et d*une quelconque de ses conjuguées.
Le grand problème que je me posais se compose d'autant de problèmes que l'on peut faire de questions par rapport à une courbe, il n'y avait donc pas à espérer de le résoudre d'un seul coup. J'y ai passé le temps que m'ont laissé les exigences de la vie matérielle, laissant là le travail commencé lorsque la question se trouvait trop difficile, mais y pensant toujours et y revenant lorsqu'une inspiration nouvelle permet-
tait de l'attaquer d'autre manière. C'est ainsi que je suis arrivé nonseulement :\ accomplir la tâche que je m'étais proposée dans l'origine, mais encore à procurer à l'analyse pure, relativement à toutes les questions qui nécessitent la considération des imaginaires, les mômes ressources que l'ancienne géométrie analytique fournissait pour l'étude des fonctions réelles de variables réelles.
La théorie des centres ne présente aucune difficulté : le centre d'une courbe quelconque est en même temps le centre de toutes ses conjuguées et, comme la proposée est conjuguée de chacune de ses conjuguées, les conjuguées d'une courbe ne peuvent pas avoir de centres si cette courbe n'en a pas.
Le point dont les coordonnées sont les demi-sommes des coordonnées de deux points imaginaires est au milieu de la droite qui joint ces deux points ; d'après cela on trouve aisément que si
est l'équation générale des diamètres d'une courbe,
m désignant le coefficient angulaire variable des cordes bissectées,
tp [x, y,m -\- n \1 — l) = 0
pourra être considérée comme l'équation générale des lieux des milieux des droites qui joindraient deux points quelconques de deux conjuguées quelconques,
Mais la méthode propre à permettre d'extraire de cette équation confuse (?a7, y ,m-\-n\j-^i)=0, l'équation d'un diamètre désigné d'une conjugée donnée par sa caractéristique C, cette méthode ne s'obtient pas aisément, je l'avais ébauchée dès 18 i2, je l'ai complétée plus tard.
Pour qu'une droite pût être mise en rapport avec une courbe imaginaire, pour qu'elle pût en être une sécante, une tangente, une asymptote, il' fallait qu'elle fût représentée dans le même mode que cette courbe imaginaire, c'est-à-dire que les coordonnées de ses points fussent aussi imaginaires et que le rapport des parties imaginaires de y et de X fût le môme pour les points de cette droite que pour ceux de la courbe.
. Il fallait donc avant tout rechercher l'équation de la ligne droite en coordonnées imaginaires de môme caractéristique, et, d'ailleurs, l'obtenir sous une forme telle qu'on pût ensuite assujettir cette droite à passer par deux points imaginaires donnés de la courbe à étudier. .
La solution de cette questionne présenta heureusement aucune difficulté : les conjuguées de l'ellipse étant toutes les hyperboles qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun, les conjuguées d'une ellipse évanouissante devaient se réduire aux couples de droites dans lesquelles les hyperboles conjuguées de cette ellipse venaient ellesmêmes se confondre, c'est-à-dire aux couples de diamètres conjugués de l'ellipse évanouissante ; d'un autre côté, l'équation de l'ellipse évanouissante
{y — mx — pf -j- {nx -\- qY = 0 pouvant se décomposer en deux
y = mx-\-p-±: {nx -f- q) \J — 1
y = (m ± ny — i) x -\- pdzq yj — 1 ,
chacune de ces équations devait représenter l'un des deux faisceaux de diamètres de l'ellipse évanouissante ; enfln l'équation de chaque faisceau contenait bien les quatre constantes arbitraires dont la présence devait être exigée et, par surcroît, l'équation de la ligne droite restait du premier degré.
Un succès aussi complet était encourageant.
Je commençai par faire passer une droite par deux points donnés, imaginaires : x',y' et x",y" étant les coordonnées de ces deux points, l'équation du premier degré capable des deux solutions x := x', y = 7j' etx=x" , y =y était naturellement
Si les deux points [x', y'], [a.",yj étaient de caractéristiques différentes, ce seraient deux droites différentes du faisceau
qui passeraient par ces deux points; mais si les parties imaginaires de leurs coordonnées présentaient le même rapport, ce qui arriverait forcément s'ils étaient sur une même conjuguée d'un lieu quelconque, ils appartiendraient à une même droite du faisceau; on aurait donc effectivement joint ces deux points par une droite réelle, imaginairement représentée, on aurait une sécante de la conjuguée en question, et cette sécante serait désignée d'avance, au milieu des autres droites du
faisceau, par sa caractéristique, qui serait celle -même de la conjuguée considérée.
La corde menée entre deux points [x',î/'] et [x",?/"] d'une même conjuguée, de caractéristique C, d'une courbe /(x^y) = 0 étant représentée dans l'équation
y— y ='^,^AX—X)
par ses solutions de même caractéristique C, la droite de caractéristique C, que représenterait cette équation dans son état limite, lorsque y" et x" seraient venus se confondre avec y' et x, serait la tangente à la conjuguée au point [x\y']. Mais, d'un autrecôté, la limite du rapport
^i- — ~, serait toujours la valeur de la dérivée de y par rapport à x, pour x — X
a^ = a;' et î/ = y; par conséquent la tangente aune conjuguée C d'un lieu/'(x,y) = 0, en un point [x,y'] de cette conjuguée, devait être la conjuguée G du lieu
Ainsi la tangente à une conjuguée quelconque d'une courbe, en un quelconque de ses points, serait représentée par la même équation que la tangente à cette courbe en un quelconque de ses points, — C'était là un résultat d'une importance considérable.
Il serait dès lors facile de résoudre dans»telle condition que l'on voudrait le problème des tangentes à une conjuguée G d'un lieu donné, il n'y aurait pour cela qu'à introduire les données sous une forme imaginaire convenable.
Il était également facile de préjuger que si
y = mx-\-^ {m)
était l'équation générale des tangentes à une courbe t\x,y) = 0,
y = (m-{- n \J— l) X -f- cp (m -f n y— l)
serait celle des tangentes à toutes les conjuguées de cette courbe, c'està-dire que parmi les droites du faisceau
= {rn-\-n sj — l) x -f 9 ('« + n \'— 1 ,
il y en aurait toujours une tangente à l'une des conjuguées de f{x,y)=0; les coordonnées du point de contact se calculeraient d'ailleurs au moyen
dès mêmes formules qui les donneraient si la tangente était réelle, et la caractéristique du point de conta^ît ferait connaître la caractéristique commune de la conjuguée et de sa tangente.
Toutes ces inductions étant vérifiées et leur exactitude constatée par des démonstrations directes, je songeai de nouveau à l'Académie des sciences. Mon nouveau travail valait mieux que le précédent, les résultats obtenus étaient intéressants et la facilité aveclaquelle ils avaient été obtenus promettait de nouveaux succès; j'avais ouvert une voie dans laquelle il n'y avait qu'à entrer pour récolter une abondante moisson de faits nouveaux, de vérités inattendues. La vieille géométrie analytique venait d'être rajeunie et sa puissance infiniment étendue ; j'avais bon espoir. Je demandai la parole pour une communication, voici ma lettre.
« Monsieur le Président, je viens vous prier de m'accorder la parole, si cela vous est possible, dans une des prochaines séances de l'Académie des sciences. Je me suis occupé depuis un an de chercher une interprétation des solutions imaginaires en géométrie. Un premier mémoire que j'adressai sur ce sujet, il y a environ six mois, à M. le secrétaire perpétuel n'ayant pas été rapporté, je désirerais, si cela se pouvait, dire en quelques mots les résultats auxquels je suis parvenu dans celui que je viens de terminer.
« J'ai l'honneur, etc. »
Mais j'avais complètement omis de songer à aucune démarche pour obtenir la prise en considération de ma demande. Je croyais qu'il devait suffire d'avoir trouvé quelque chose d'intéressant pour obtenir une minute d'attention; je croyais bien d'autres choses et j'en ignorais davantage encore.
J'attendis deux mois. Au bout de ce temps je rappelai timidement au Président que j'étais toujours là, attendant mon tour. Je lui écrivis :
(( Monsieur le Président, j'ai eu l'honneur de vous écrire, il y a environ deux mois, pour vous demander la parole. Je désirais indiquer en quelques mots les résultats auxquels je suis parvenu relativement à la théorie des expressions imaginaires, considérées comme solutions indirectes des problèmes de géométrie dont les conditions se trouvaient incompatibles.
« Depuis cette époque, un grand nombre de personnes ont été appelées et je crains d'avoir été oublié sur la liste de celles qui demandaient comme moi à entretenir l'Académie de leurs travaux. »
Le président répondit en séance à ma lettre par une bonne parole, et
je continuai naes stations; mais mon tour ne vint pas davantage et je finis par renoncer à le voir venir.
J'avais beaucoup réfléchi sur les principes du calcul algébrique des quantités négatives et imaginaires, et j'avais établi une théorie rationnelle de ce calcul; j'avais aussi une démonstration du principe de la correspondance entre le changement de signe en algèbre et le changement de sens en géométrie; j'avais mon ancien mémoire et le nouveau. Je fis du tout un ensemble que je donnai à l'impression.
C'était un livre fort mal fait : les parties en étaient mal soudées; le titre : Discours sur la nature des grandeurs négatives et imaginaires, semblait annoncer une mauvaise amplification de rhétorique. Les faits n'étaient pas mis en lumière comme il aurait convenu. Il fallait chercher ce qu'il y avait dans ce livre; la jeunesse y débordait et en avait fourragé toute l'ordonnance. Et puis il y avait une préface ! cette préface était gaie, elle ne s'attaquait à personne nominativement; mais elle n'était pas précisément composée dans le style adulatoire.
Je fis donc paraître le livre avec sa préface. Me fussé-je mis une pierre au cou? comme dit Figaro.
Je vis d'abord fondre sur moi les quolibets d'un journaliste, qui, ayant perdu patience au milieu de la lecture de mon ouvrage, n'y avait pas vu renonciation des faits nouveaux qui eussent pu frapper son esprit, je veux dire la théorie des tangentes imaginaires, et déclarait n'y avoir rien trouvé. Puis je me sentis bientôt paralysé dans tous les mouvements que je tentais pour arriver à gagner ma vie ; j'étais entouré comme d'une glu que je ne pouvais percer. J'avais osé faire un total de la partie réelle et de la partie imaginaire d'une variable ! Les chers camarades avaient fait ressortir la malhonnêteté de cette conduite, et toutes les portes se fermaient devant moi.
Fou, esprit confus, étaient lesépithètes les plus modérées dont on m'affublât. On poussa même le zèle en faveur des saines doctrines jusqu'à aller me dénoncer à notre excellent camarade M. Lepennec, alors directeur de l'institution Bourdon, chez qui je gagnais bien six ou huit cents francs par an. M. Lepennec me conta le fait, je lui expliquai mes imaginaires, et nous restâmes bons amis.
Les conjuguées des courbes du second ordre ne sont autre chose que les courbes que le général Poncelet nommait ses supplémentaires, et dont il a tiré un si heureux parti dans sa théorie des propriétés projectives des figures .
Si j'avais connu cette coïncidence à l'époque de mes premiers travaux, j'aurais pu, en la signalant, éviter bien des critiques injustes ; mais je m'étonne qu'elle n'ait été aperçue par personne.
L'exposition du général Poncelet différait sans doute de la mienne à beaucoup d'égardS;
Ainsi, le général avait bien reconnu que chaque supplémentaire d'une conique peut être fournie par les solutions imaginaires par rapport à y de l'équation de cette conique rapportée à une parallèle à la direction des sécantes idéales correspondantes, prise pour axe des y, et au diamètre conjugué de cette direction, pris pour axe des x ; mais, plus préoccupé de recherches géométriques, où son génie intuitif devait le guider dans, la découverte de la supplémentaire qui jouerait le rôle important dans chaque question, il ne s'était préoccupé de savoir ni quel caractère présenteraient les solutions relatives à une supplémentaire désignée, les
axes élant quelconques ; ni, à plus forte raison, comment, pour retrouver cette supplémentaire, il faudrait construire ces solutions, lorsqu'elles auraient pris la forme générale
au lieu de la forme particulière
qu'on pouvait toujours leur donner en choisissant convenablement les axes. Il s'est même défendu, dans sa seconde édition des Propriétés projectives, d'avoir songé à rien de pareil.
Toutefois, il était aisé d'apercevoir que si, par exemple, on construisait la première supplémentaire de l'ellipse
y = rt - \ja} — x^
en effaçant simplement le signe sj — 1, qui affectait son ordonnée, il faudrait bien, pour retrouver la même supplémentaire dans l'équation nouvelle de la même ellipse, rapportée à des axes parallèles aux anciens, effacer encore le signe \/ — 1 dans la valeur de son ordonnée parvenue à la forme
y=rk \/ — 1 -}- constante,
et ajouter, comme je -l'avais fait, la partie réelle et la partie imaginaire de cette ordonnée.
L'étonnement qu'on a manifesté lorsqu'on m'a vu figurer la solution imaginaire
par le point
cet étonnement était donc tout gratuit.
Il montre sans doute combien l'indispensable perfectionnement que j'apportais était peu soupçonné, mais il témoigne aussi d'une bien grande légèreté de la part des personnes qui se sont hâtées de crier an scandale.
La moindre attention leur eût suffi pour apercevoir que je n'avais fait que suivre une tradition déjà consacrée par elles-mêmes.
Pour qu'un livre soit lu, il faut que les personnes réputées capable d'en juger le recommandent, ou que l'auteur soit très-connu. Ni l'une m" p. . 2
ni l'autre de ces deux conditions ne se trouvant remplie, mon livre ne parvint pas au vrai public.
Je dois dire que je n'en fus que médiocrement affecté. Je réfléchis en effet que le succès m'aurait aussitôt dépossédé ; que si mes essais avaient été appréciés, tout le monde se serait précipité dans la voie que j'avais ouverte, que mon champ aurait été dévasté en un instant, et que les semences que j'y avais jetées n'auraient germé que pour les autres.
Je fus même tellement frappé des inconvénients que pouvait avoir la publicité que j'avais donnée à ma méthode, que je me remis aussitôt au travail, pour prendre nettement possession de tout mon domaine.
La théorie des asymptotes était sans doute implicitement contenue dans celle des tangentes, mais il restait à l'en dégager.
Si, en appliquant à une courbe f[x, ?/) = 0 la méthode ordinaire des asymptotes, on trouve, entre autres résultats :
et
lim [y — {m-\-n v^ — {)x] = p -{- q \/ — i ,
l'une des asymptotes se présente algébriquement sous la forme y z= (m-f-ny — l) x-\-p -\- q\ — 1.
Quel sens fallait-il attribuer à ce résultat? L'équation d'une tangente représente un faisceau de droites, mais une seulement de ces droites est tangente à l'une des conjuguées du lieu. Une seule des droites du faisceau
y = {m-\-n\/—i)x-\-p-Jrq\l—i
serait-elle asymptote au lieu ; ou bien l'équation représenterait-elle un faisceau d'asymptotes à toutes les conjuguées? car aucune condition particulière ne viendrait plus alors caractériser une des conjuguées au milieu de toutes les autres. Je pus aisément m'assurer que chacune des droites du faisceau serait asymptote à la conjuguée de même caractéristique du lieu considéré.
Cette découverte me causa un mouvement de joie difficile à exprimer. « Ce moment est divin », a dit Proud'hon, j'ai éprouvé ce qu'il voulait dire.
Le fait tient, mais je n'y ai songé que beaucoup plus tard, à ce que l'infmi est indéterminé de sa nature : c'est une grandeur dont le module est infini, mais dont l'argument est quelconque. De sorte que si un, deux, trois points d'intersection de deux lieux passent à l'infini, en
môme temps ces points s'étirent de manière à former à l'infini une , deux, trois lignes communes aux deux lieux,
La question des asymptotes étant résolue à ma satisfaction, je songeai à m'occuper des courbures. Mais il semblait que la considération d'angles imaginaires dût intervenir dans cette nouvelle recherche, mon attention se porta donc d'abord sur l'interprétation du coefficient angulaire d'un faisceau de droites.
L'équation d'une droite réelle
y = mx-\- p n'est capable que de solutions imaginaires de la forme
y = ce' -\- m^ \P^
et, du reste, le lieu des points correspondant à ces solutions n'est autre que la droite
yz=mx -\-p
elle-même. Ainsi il n'y avait pas lieu de s'étonner qu'il ne correspondît qu'un angle à un coefficient angulaire réel. Mais l'équation
représente un faisceau de droites émergeant dans toutes les directions
du point
q mq
le coefficient angulaire m -\- n sj — 1 correspondait donc à une infinité de directions. Cependant si l'on posait
tang (cp + ({; V— l) = m 4- w v/— 1 ,
les axes des coordonnées étant supposés rectangulaires, on ne trouvait pour cp que deux valeurs qui sont les angles avec l'axe des x, des axes de l'ellipse évanouissante
(y — mxf -{- {nx -\-qf = Q;
et pour ^\/ — \ que deux valeurs, dont les tangentes sont les produits oar \J — i des. rapports, dans les deux sens, des axes de cette même
ellipse évanouissante. Si l'on prend pour valeur de ç l'angle avec l'axe
tang <h V — 1
des X du grand axe de l'ellipse évanouissante, — est le rapport
\/- 1 du petit au grand axe.
Sans doute l'angle (cp -}- W~ ^) déterminait parfaitement le faisceau, mais il ne paraissait se rapporter qu'à deux directions particulières, celles des asymptotes de la conjuguée de l'ellipse évanouissante, de mêmes axes qu'elle. Pourquoi les directions des autres droites du faisceau n'étaient-elles pas représentées dans la formule
tang (cp + <]> \/— l) =^ m + n V— 1 ;
ou comment faudrait-il entendre l'angle 9 + 4' V — ^ po^i'' l^s y trouver? Je retournai quelque temps ces deux questions dans mon esprit, mais sans y voir aucun jour. J'y fis à la vérité un petit progrès deux ans plus tard, en 1845, mais je ne les résolus entièrement qu'en 1861.
N'ayant pu parvenir à apercevoir l'indétermination de l'angle (? + ^ s/ — ^) défini par l'équation
tang (cp -j- 'l' \' — i) = m-\-n \/ — \ ,
je ne pouvais pas aborder directement la recherche des rayons de courbure des courbes imaginaires. Je cherchai donc à former une équation propre à représenter convenablement le cercle en coordonnées imaginaires, afin d'établir ensuite un contact du second ordre entre ce cercle et la conjuguée que je voudrais d'une courbe désignée.
Le cercle devait être fourni par des solutions de même caractéristique, et son équation, pour pouvoir se prêter à toutes les combinaisons, devait contenir six paramètres arbitraires, dont quatre se rapportassent au centre et deux au rayon. Je parvins assez aisément à former cette équation qui, dans le système G = oo , est
et qui, dans un système G quelconque, se déduirait de celle-ci en faisant tourner les axes autour de l'origine d'un angle égal à — arc tang G ; en sorte que la question des courbures aurait du moins pu être traitée dans chaque cas particulier. Mais j'aurais voulu arriver à une formule générale du rayon de courbure, et la méthode ne pouvait pas y conduire, en sorte que je me réservai de revenir plus tard sur la question.
Ce n'est qu'en 1861 que je parvins à me satisfaire sous ce rapport.
Il ne restait plus que la question des quadratures. Aucune difficulté ne se présentait dans la quadrature d'une conjuguée ramenée préalablement à avoir sa caractéristique infinie, mais je ne pensai pas alors à aller plus loin, h quarrer une conjuguée quelconque, sans transformation préalable d'axes. Si j'y avais pensé, je serais naturellement tombé, dès 1844, sur l'interprétation géométrique des périodes des intégrales.
Ayant ainsi parcouru tout le champ de la géométrie plane, je songeai à étendre ma méthode à la théorie des surfaces.
Les conjuguées d'une surface seraient évidemment fournies par les systèmes de solutions de son équation où les parties imaginaires des trois variables seraient comme des nombres constants, et que l'on réaliserait
en y remplaçant y/— 1 par 1.
Chaque conjuguée serait définie par ses deux caractéristiques, c'està-dire par les rapports des parties imaginaires de z et de x, de z et de y.
La permanence des conjuguées résultait, comme en géométrie plane, de la linéarité des formules de transformation.
Les conjuguées d'une- courbe la touchaient aux points de contact des tangentes menées à cette courbe parallèlement aux directions qu'il faudrait successivement donner à l'axe des y pour rendre réelles les abscisses de ces conjuguées; les conjuguées d'une surface la toucheraient suivant les courbes de contact des cylindres circonscrits à cette surface parallèlement aux directions qu'il faudrait donner à l'axe des z pour rendre réelles les coordonnées x et y de ces conjuguées.
On avait trouvé pour conjuguées d'une ellipse toutes les hyperboles ayant avec elle un système de diamètres conjugués commun ; on trouvait de même pour conjuguées d'un ellipsoïde tous les hyperboloïdes à une nappe ayant avec cet ellipsoïde un système de trois diamètres conjugués commun, et les relations étaient aussi simples entre les autres surfaces du second ordre et leurs conjuguées.
Les conjuguées d'un cylindre de degré quelconque étaient tous les cylindres ayant leurs génératrices parallèles à celles du proposé et pour directrices planes les conjuguées, dans son plan, d'une section plane quelconque de ce cylindre.
De même les conjuguées d'un cône de degré quelconque étaient tous les cônes de même sommet ayant pour directrices planes les conjuguées, dans son plan, d'une section plane quelconque de ce cône.
Les conjuguées du lieu
)A4-A'v/^)^ + (B+B'v/^)?/+(C-fG'v/=T)s = D-}-DV^ se trouvaient être tous les plans passant par la droite réelle
A'x-{-B'y-i-Cz==B'.
Enfin le plan tangent[à une conjuguée [C,C'] d'une surface f{x, y, z)=0, en un de ses points [x, y, z], était encore la conjuguée [C, C] du lieu
Ainsi la méthode se complétait de la manière la plus satisfaisante sous tous les rapports.
J'avais achevé toutes ces recherches vers la fin de 1844. Je ne voyais pour le moment rien de plus à entreprendre. Je crus bien faire de compléter mon premier ouvrage en en supprimant la dernière feuille et raccordant le nouveau travail à l'ancien. Le second tirage, ainsi composé, parut en octobre 1844.
M. Terquem s'était moqué de moi dans ses Annales, je crus devoir lui répondre. Je n'ai pas eu d'autre relation avec lui. Il paraît que son injustice envers moi lui pesait encore à la fin de ses jours, car il chargea, le jour de sa mort, un de ses amis de me transmettre une parole de regret. Il aurait peut-être dû revenir sur soft jugement, dans son journal, il en avait certes eu le temps de 1843 à 1865.
Quant à moi, j'aurais peut-être dû réprimer le mouvement de colère qui m'emporta, mais on conviendra que M. Terquem, à qui je ne demandais rien, à qui je n'avais pas même adressé mon ouvrage (c'est l'excellent M. Carilian-Gceury qui, pensant m'être utile, lui en avait remis un exemplaire), pouvait bien au moins se donner la peine de me lire avant d'essayer de me ridiculiser.
Au reste, je crois encore, comme en 1844, que le monde n'en irait que mieux si l'on s'aplatissait un peu moins. Les parvenus y regarderaient à deux fois avant de couper les routes et de faire sauter les ponts derrière eux, et les sciences en progresseraient davantage.
Il est certain qu'il faut avoir l'âme chevillée dans le corps pour continuer à travailler dans les conditions qui m'ont été faites.
Aussitôt mon nouveau travail publié, je me remis à l'ouvrage. L'idée m'était venue de chercher dans Thyperbole équilatère une représentation de l'angle imaginaire sans partie réelle. La somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle quelconque étant toujours égale à 1, ce sinus et ce cosinus étaient l'ordonnée et l'abscisse d'un point de quelqu'une des conjuguées du cercle x^-\- y^=i.
Si l'angle considéré était imaginaire sans partie réelle, son cosinus était réel et son sinus imaginaire sans partie réelle ; ce cosinus et ce sinus devaient donc être l'abscisse et l'ordonnée d'un point de la conjuguée G := 00 du cercle. Il restait à connaître la représentation géométrique de cet angle imaginaire. Or l'angle réel est la mesure du double du secteur circulaire compris entre ses côtés et je reconnus aisément
que, abstraction faite du signe v^ — 1, l'angle imaginaire est, de même, la mesure du double de l'aire du secteur hyperbolique compris entre le rayon origine, couché suivant l'axe des x et le rayon aboutissant au point dont les coordonnées sont le cosinus et le sinus de cet angle. Le fait avait été signalé longtemps avant moi par Lhuilier, je l'ignorais. Je l'appris peu de temps après. Mais je reconnus, ce qui était nouveau, que pour construire l'angle, en partie réel et en partie imaginaire, correspondant à un sinus et à un cosinus donnés, savoir :
cos (ç + 'j/ v/— l) = a + ^ V— î et
sin (<p + ^ V^) = a 4- pc V^
il n'y avait qu'à construire le point x = a -\- ^, y =0! -\- ^G, à le joindre au centre, à mener une tangente au cercle parallèlement à y z=Cx, h. joindre le point de contact au centre et à décrire la branche d'hyperbole équilatère passant par ce point de contact et par le premier point trouvé. <p était le double du secteur circulaire compris entre le rayon couché sur l'axe des x et le rayon mené au point de contact, et ^ le double du secteur hyperbolique compris entre le rayon mené au point de contact et le rayon mené au premier point trouvé.
De plus, si l'on marquait le point x = a, y = et qui fournirait un point de Taxe transverse de l'hyperbole construite, on avait relative-
ment à l'angle tp -f- «j' y — 1 la figure analogue à celle qui donne dans le cercle le sinus et le cosinus de la somme de deux angles.
La figure montre que l'angle imaginaire oo sj — 1 ne correspond qu'à une inclinaison de 45". Son cosinus et son sinus sont infinis, l'un réel
et l'autre imaginaire sans partie réelle et la tangente est égale à y — 1- Il m'eût été dès lors très-facile de poursuivre et d'édifier toute la trigonométrie imaginaire, mais je n'y voyais pas grand intérêt. Je n'avais cherché à construire l'angle imaginaire que pour tâcher d'en découvrir l'indétermination, et au contraire je le trouvais plus précisément défini encore que par le passé. La question relative à l'angle indéterminé du faisceau
yz=[m-\-n \/ — l) X
avec l'axe des x et par suite la question de la courbure des courbes imaginaires se trouvaient ainsi replongées dans le futur contingent. Je laissai là les angles imaginaires. Je n'y revins qu'en 1835, à propos de difl'érentes questions que M. Babinet me fit l'honneur de m'adresser sur leur compte et sur celui des triangles imaginaires.
L'abbé de Ficquelmont s'étant fait lapider à Metz, en 1791, pour une escapade anti- révolutionnaire assez mal avisée, le comte de Ficquelmont fut arrêté quelque temps après dans son château de Paroy et emmené dans les prisons de Nancy. Il s'en échappa avec l'aide de Régnier et parvint à passer la frontière. Ses deux fils le rejoignirent. Ses filles furent recueillies par leur grand'mère maternelle, la comtesse de la Marche. Ma mère était l'une des plus jeunes. Le comte de Ficquelmont rentra en France dès qu'il le put. Le plus jeune de ses fils avait été tué à la bataille d'Ulm. L'aîné resta au service d'Autriche et n'est revenu depuis qu'une fois en France, en 1820. Ma mère se rappelait à peine l'avoir vu, mais ces deux esprits supérieurs s'étaient attachés l'un à l'autre. Le frère et la sœur, malgré la distance et malgré la différence des situations, ne cessèrent jamais de correspondre.
En 1846, le comte de Ficquelmont, qui avait été longtemps ambassadeur en Russie, venait de rentrer en Autriche, pour y occuper le poste de ministre de la guerre. Ma mère voulut lui envoyer mon ouvrage, espérant qu'il le ferait connaître en Allemagne. Voici ma lettre d'envoi, je la transcris parce qu'on pourra y voir comment je comprenais alors le but que je m'étais proposé dans mes recherches.
LETTRE D ENVOI AU COMTE DE FICQUELMOiNT.
« Mon cher oncle,
« Je n'ai pas la présomption de croire que votre obligeance vous puisse engager à lire cet ouvrage. Nos infiniment petites ergoteries mathématiques sont trop au-dessous des grands problèmes sociaux que vous avez chaque jour à poser et à résoudre. C'est pourquoi je vous prie de me permettre quelques explications propres à vous faire prendre rapidement une idée de mon travail.
«La facilité avec laquelle, armés de la puissance déductive que nous donne l'algèbre, nous pouvons poursuivre jusque dans les plus petits détails l'étude particulière d'un phénomène géométrique ou mécanique peut être opposée à l'immense difficulté qui vous arrête dans l'analyse des phénomènes sociaux. Nous pouvons bien accumuler une infinité de petits faits secondaires autour d'un autre donné ou supposé, mais il nous est impossible de les réunir. Les ensembles nous manquent absolument. Dans les grands problèmes que vous agitez, au contraire, l'ensemble est fait, il est devant nos yeux, ce sont les rouages, c'est le mécanisme que vous cherchez, ce sont surtout les causes des effets ou des mouvements produits. Dans les deux sciences aussi, les points de départ étant opposés, les conditions de perfectionnement sont inverses : les hommes d'État supposeront les grandes lois historiquement découvertes du mouvement des sociétés humaines et chercheront à ramener ces lois à des principes plus élémentaires ; tandis que les géomètres partiront de quelques axiomes évidents pour rechercher les lois de plus en plus élevées qui régissent la coexistence des phénomènes qu'ils ont à étudier. On peut dire que non-seulement ce sont là des convenances, mais qu'il y a obligation majeure : car si en politique l'anarchie se produit par l'éclosion de systèmes à priori, elle naît aussi sûrement en mathématiques de l'introduction de nouveaux petits' détails incohérents.
« Ce serait donc un travail utile que de chercher les moyens de réunir par des procédés assez simples l'étude de plusieurs phénomènes géométriques ou mécaniques suffisamment analogues; de faire disparaître entre eux les différences, en reportant le point de vue assez haut pour que les analogies restassent seules. On aurait trouvé un chemin pour arriver à des relations plus générales que celles qui pouvaient être antérieurement formulées.
« Ce sont ces idées qui m'ont guidé dans le choix du sujet de mes recherches .
« Descartes avait fait faire un pas immense aux sciences mathématiques en enseignant h réduire une certaine différence très-embarrassante que l'on rencontrait souvent entre les diverses phases d'un phénomène toujours identique à lui-même, mais dont l'accomplissement avait subi une certaine modification particulière définie, dont une foule d'exemples sont devenus vulgaires. Ainsi le mouvement d'un corps lancé verticalement, aurait été sans lui-décomposé toujours, pour les savants comme pour le vulgaire, dans ses deux parties ascendante et descendante. Les lois des deux mouvements auraient pu être rapprochées, comparées par les géomètres, mais jamais confondues, comme elles l'ont été depuis, dans une seule formule. Or, si une pareille réduction avait peu d'importance dans ce cas, à cause de son extrême simplicité, vous savez que quand on s'élève à l'étude d'un phénomène un peu complexe, elle acquiert une valeur immense, parce que la réduction porte alors sur des différences dont le nombre croît d'une manière extrêmement rapide, comme il arrive par exemple dans la moindre question trigonométrique.
« Descartes avait été conduit à la découverte de la belle loi dont il a doté la science mathématique, par de longues méditations sur un certain genre de réponses singulières que fournit l'algèbre aux questions qui n'en comportent pas d'immédiates, faute d'une suffisante concordance entre les données. Il reconnut d'abord que la réponse fournie, dénuée de sens relativement à la question proposée, pourrait toujours être transportée à une question voisine et analogue intimement liée à elle par une dépendance réciproque telle, que l'une ne devenait soluble que quand l'autre cessait de l'être ; il donna avec une certaine généralité, que d'ailleurs on a peu accrue depuis, le moyen de former l'énoncé de l'une des questions lorsque celui de l'autre était connu, et enfin prouva que le calcul algébrique propre à les résoudre étant identique, elles pouvaient être réduites en une seule, habituellement posées et résolues ensemble.
« Ce grand travail portait sur un seul des deux genres de réponses singulières que l'algèbre a jusqu'ici fournies aux questions impossibles ; on avait tenté plusieurs fois de faire pour la seconde espèce ce que Descartes avait fait pour la première, mais jusqu'ici c'avait été sans succès. Cependant on avait tout lieu d'espérer qu'une découverte semblable serait féconde en grandes et importantes conséquences.
« Enthousiasmé moi-même par la beauté du problème, je l'ai entrepris. Voici ce à quoi je suis arrivé.
« Descartes avait enseigné à embrasser dans une même formule toutes
les phases successives d'un même phénomène, quelles que fussent les modifications particulières (appartenant à une certaine classe définie) qu'eût dû subir, en passant de l'une à l'autre, le mode essentiel d'accomplissement. J'ai montré que de même qu'on avait pu réduire les différences accessoires qui séparaient les diverses phases d'un même phénomène, on pourrait de même réduire la différence encore accessoire, quoique plus tranchée, qui se trouverait entre deux phénomènes différents, mais suffisamment analogues, quand cette différence serait d'un certain genre.
« Descartes avait réuni toutes les branches d'une même courbe en un
eul tout, j 'ai fait voir que toute courbe a une infinité d'analogues, toujours
aisées à découvrir, qui peuvent être fondues toutes dans la principale et
traitées en même temps qu'elle pour les mêmes questions qui, une fois
résolues pour la première, le sont dès lors pour les autres.
« Le résultat final de l'ouvrage consiste donc dans la possibilité nouvellement introduite d'une façon générale, de quitter l'étude isolée des phénomènes pour s'élever à celle de groupes définis, et qu'il sera toujours facile de former, oti les analogies et les différences entre les individus, d'ailleurs indéfiniment multiples, seront suffisamment grandes pour permettre, d'une part, de trouver des propriétés communes, et de voir, de l'autre, dans l'énumération de ces propriétés, au moins des rudiments de lois, non plus seulement l'expression de faits isolés. Spécialement, pour la géométrie, le travail que j'ai achevé permettra d'étudier non plus une courbe isolée, mais simultanément tout un groupe de courbes, groupe composé d'une infinité d'individus considérés jusqu'alors comme nécessairement distincts.
« L'analogue de l'ellipse (cette courbe étant très-simple n'en a qu'une) est l'hyperbole ; les propriétés connues de ces deux courbés les rapprochaient déjà l'une de l'autre, mais la fusion n'avait pas encore été tentée entre elles.
« Je crains de vous avoir ennuyé, mon cher oncle, par ce long bavardage, mais j'attache tant d'importance au service que vous voulez bien rendre à moi et à mon livre que je n'aurais pu m'empêcher d'entrer dans les détails que vous venez de hre. »
J'avais rapporté de Metz, en 1841, une lettre pour M. Jiardin, que m'avait remise M. Blanc, rédacteur en chef du Courrier de la Moselle, pour qui j'avais conçu beaucoup d'affection. J'étais allé chez M. Bardin peu après mon retour et ayant trouvé en lui un excellent homme et un digne citoyen, j'avais continué à le voir de temps à autre. Nous causions politique et mathématiques. Nous n'aimions pas plus l'un que l'autre le roi ni son premier ministre. Quant aux mathématiques, M. Bardin me parlait reliefs et je lui répondais imaginaires. Je lui avais porté la première édition de mon ouvrage, il m'avait prêté la géométrie de position de Carnot et les propriétés projectives du général Poncelet.
J'avais lu avec d'autant plus d'intérêt la partie de la géométrie de position oîi Carnot traite de la correspondance entre le changement de signe en algèbre et le changement de sens en géométrie, que préoccupé moi-même depuis long-temps de cette grande question, je l'avais traitée à Metz, à mon point de vue, pour ce qui concerne la trigonométrie et la géométrie analytique et en avais fait l'objet d'un chapitre de mon livre.
La méthode dont je m'étais servi pour traiter la question différant totalement de celles de Carnot et de Poncelet, je reproduirai ici le petit travail dont je parle et qui me paraît encore intéressant.
THÉORIE DES SIGNES QU'oN DOIT ATTRIBUER AUX LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES.
Lorsque l'on compare entre elles les lignes trigonométriques d'un même arc, on trouve
• sin^a -f- cos^a = l,
sin a , cos a
tang a = , cotang a = ,
cos a sin a
sec a = et cosec a = - — ,
cos a sin a
formules qui restent invariables quelle que soit la grandeur de l'arc a. La généralité de la première tient à ce que les termes qui y entrent sont tous trois carrés ; celle des quatre dernières à ce que les membres en sont monômes, de sorte que la construction qu'on a faite pour les établir, reproduite dans tous les cas imaginables, conduira toujours aux mômes résultats, la comparaison des mêmes triangles devant toujours fournir les mêmes proportions.
Au contraire les formules qui donnent le sinus et le cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs, en fonction des sinus et cosinus de ces arcs, sont essentiellement variables. Si l'on refait dans des cas différents la même figure, en ayant soin de mener les mêmes lignes par les points qui ont la même définition, on trouvera bien que chacune des inconnues sin {a -\- b) et cos [a -}- b) se compose toujours des mômes parties, définies de la même manière et exprimées par les mêmes formules, tirées de la comparaison des mêmes triangles semblables, mais, suivant les cas, ces parties devront être tantôt ajoutées, tantôt retranchées et, dans le second cas, la différence devra être prise tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre.
Cette diversité de forme tient à ce que les seconds membres des formules sont binômes et se reproduira dans tous les cas analogues. En effet si la distance de deux points A et B est évaluée au moyen des dis-, tances de ces deux points à un troisième C, situé sur la ligne qui les joint, suivant la disposition relative des trois points on trouvera
AB = AC-fGB si le point C est entre A et B ;
AB = AC — CB si le point B est entre A et C;
