AB = CB - AC

si le point A est entre B et C ; il n'y a d'ailleurs pas d'autre combinaison possible'.

Ainsi, la construction faite décomposant sin {a-\- b), par exemple, en deux parties, pour lesquelles la comparaison des mêmes triangles fournira toujours les mêmes valeurs sin a cos b et cos a sin b, on trouvera nécessairement, suivant les cas,

sin {a-\-b) = sin a cos ô -[- cos a sin b, sin [a-{-b) = sin a cos ô — cos a sin b, sin [a-{-b) = cos a sin 6 — sin a cos b,

les formules qui donnent sin (a -}- ô) et cos {a-{-b), devant ainsi comporter chacune trois formes différentes, l'usage n'en serait possible qu'après une discussion préalable, lorsque les angles a et b seraient donnés et deviendrait impossible lorsque ces angles seraient inconnus, puisqu'on ne saurait alors à quelle forme recourir.

Mais la théorie algébrique du calcul des quantités négatives permet de lever cette difficulté à l'aide d'un artifice que suggérera l'étude des lois d'après lesquelles chaque formule change de forme.

Considérons par exemple la formule qui donne sin {a -\- b); supposons que a elb aient actuellement des valeurs telles, que la figure donne

sin (a-\-b} = sin acosb-{- cos a sin b

et faisons croître a, en laissant à b la valeur qu'il avait d'abord.

Soient A le pied du sinus de (a -|- b) sur le diamètre origine, B l'extrémité de l'arc (a + 6) et G le pied de la perpendiculaire abaissée sur A B, du pied du sinus de i : la formule ne pourra changer de forme qu'aux instants où deux des trois points A, B et G, après s'être rapprochés, se croiseront ensuite, de façon que l'ordre s'intervertisse entre les trois: mais au moment où deux des trois points viendront se confondre, une des trois dislances s'annulera ; les instants où la formule pourra changer de forme seront donc ceux où sin a, cos a et sin (a -|- b) passeront par zéro, puisque sin b et cos b resteront fixes.

Sin (a -j- b) étant actuellement une somme ne pourra pas s'annuler le premier ; supposons que ce soit cos a qui doive s'annuler d'abord et soit a la valeur qu'aura alors a, il est facile de voir que lorsque a aura dépassé la valeur a l'équation ne pourra pas conserver la même forme. En effet, depuis la valeur (a — 90°) jusqu'à la valeur a de a, sin (a -|- *) n'aura pas pu s'annuler, car pour qu'il en eût été ainsi, il eût fallu qu'après le passage a = <x — 90°, sin (a -\- b) fût devenu une différence ; mais cette différence n'eût pu que changer de sens, par l'effet du passage de sin (a -j- ^) par la valeur zéro et ne se serait pas transformée en une somme que nous avons maintenant.

Cependant, sin {a-\-b) doit s'annuler une fois dans chaque intervalle de 180° et puisqu'il ne se sera pas annulé de a = a — 90" à a = a, il devra donc s'annuler dea=aàa = a-f-90; mais il ne pourrait pas s'annuler dans ce dernier intervalle s'il n'avait préalablement pris la forme d'une différence, donc au moment oh a prendra la valeur a il devra changer de forme. D'ailleurs il ne pourra pas alors devenir

cos a sin b — sin a cos b

puisque cos a sin b sera d'abord moindre que sin a cos b, il deviendra donc

sin a cos 6 — cos a sin b;

ainsi le terme qui aura passé par zéro aura changé de signe dans la formule.

Lorsque sin (a -f *^ ^'^ devenir nul, la formule devra encore changer ; car autrement, dans le second membre, la quantité à retrancher surpasserait celle dont elle devrait être retranchée, puisque cos a continuera à croître et sin a à décroître, elle deviendra donc

sin (a -j- ô) = cos a sin A — sin a cos b,

c'est-à-dire que le terme sin (a + b), qui vient de passer par zéro, aura dû changer de signe.

Enfin quand sin a passera par zéro, la formule devra encore changer de forme, sans quoi sin (a -|- b) s'annulerait encore une fois de a -f- 90" à a 4-180°; d'ailleurs elle ne pourra pas devenir

sin (a-\- b) = sin a cos b — cos a sin b

puisque sin a cos b sera d'abord moindre que cos a sin è, elle deviendra donc

sin {a-\- b) = sin a cos b -\- cosa sin 6,

c'est-à-dire que le terme sin a cos b qui se sera annulé, aura changé de signe.

La formule étant alors revenue à son premier état, les mêmes permutations se reproduiront ensuite périodiquement, toujours dans le même ordre et conformément aux mêmes lois.

Ainsi l'arc a croissant, chaque fois que cos a passe par zéro, le terme cos a sin b change de signe : chaque fois que sin a passe par zéro, le terme sin a cos b change désigne, et chaque fois que sin {a-}-b) passe par zéro, ce terme change de signe.

On a supposé que a variât seul, mais il est clair que si a et è crois-

saient en même temps, chaque terme changerait de signe à la suite de l'annulation de l'un de ses facteurs. On a ainsi l'expression de la loi des variations de forme de l'équation qui donne sin (a-j- b).

Gela posé, si l'on attachait à 1,out sinus ou cosinus un signe qui changeât chaque fois que ce sinus ou cosinus passerait par zéro, l'arc continuant à croître dans le même sens, la forme primitive de l'équation, correspondant au cas oh a, b et a -{- oseraient moindres que 90°, comprendrait les deux autres formes puisque, sous la même forme apparente, les changements de signes convenables se produiraient effectivement.

Le même artifice servirait de môme à rendre applicable à tous les arcs la formule qui donne cos {a -f- b).

Mais la méthode n'est pas encore complète. En effet le cosinus d'un arc est le sinus de son complément, mais que faudrait-il entendre par le complément d'un arc plus grand que 90°.

Si l'on veut étendre à tous les arcs la formule

complément de a = 90" — a,

l'algèbre en donnera immédiatement le moyen en introduisant la notion des angles négatifs et le signe attribué au complément servira à indiquer si l'arc lui-même était inférieur ou supérieur à 90°.

Mais il reste à assigner les conséquences de l'adoption de ce nouvel artifice.

On y arrivera en étudiant concurremment les deux membres de l'équation

cos a = sin (90 — a),

dont le premier a maintenant une définition nette pour toutes les valeurs positives de a, et qui suffira par conséquent à définir sin (90° — à), pour toutes les valeurs positives de a.

Or, de 90° à 270° cos a est négatif, par conséquent le sinus d'un arc compris entre 0 et — 180" sera négatif. De 270° k 450° cos a est positif, par conséquent le sinus d'un arc compris entre — 180° et — 360° sera positif, et ainsi de suite.

Ces résultats se condensent dans une même formule

sin ( — a) = — sin a.

On trouverait de même que la formule

sin a = cos (90° — «),

dont le premier membre est défini pour toutes les valeurs positives de a, entraîne comme conséquence la formule

cos ( — a) = cos a. •

On voit que ratlribution de signes variables aux lignes trigonométriques obligeait à introduire la notion d'angles négatifs. Cette notion une fois acceptée, il est du reste facile de voir que les mêmes formules fondamentales

sin [a-\-b) ==: sin a cos b -\- cos a sin b et

CQS {a-]-b) = cos a cos ô — sin a sin b,

sous leur forme primitive, comportent également l'attribution à a et à 6 de valeurs négatives, car les mêmes observations, présentées dans le cas où l'on supposait que l'arc a crût indéfiniment, pourraient être reproduites dans l'hypothèse oii il décroîtrait indéfiniment. Les formules qui donnent sin (a -{- b) et (cosa-J-ô) étant ainsi étendues même aux arcs négatifs, on pourra poser d'une manière générale les nouvelles formules

et

sin (a — b) = sin a cos b — cos a sin b

cos {a — b) = cos a cos b -{- sin a sin b.

Nous n'avons encore parlé que des sinus et cosinus, quant aux autres lignes, puisqu'on a attribué des signes aux premières, on devra leur en attribuer aussi pour conserver leur généralité première aux formules

sin a cos a , l ,1

tanga = , cotanga=-; — , séca= et coséca=-^ — ;

cos a sma cos a sma

mais les seconds membres de ces équations ayant maintenant une définition nette pour toutes les valeurs positives ou négatives de à, ils serviront à définir les premiers.

Les règles obligatoires qu'a fournies la théorie précédente, seraient un peu confuses, mais on peut les résumer en un mot.

Si, en effet, on compte tous les arcs positifs dans le même sens à partir d'une même origine A et qu'on transporte tous les sinus parallèlement à eux-mêmes sur le diamètre OB perpendiculaire à OA et tous les cosinus sur le diamètre OA, on reconnaît aisément que les sinus qui doivent être positifs sont placés d'un côté de OA et les autres de l'autre, que les cosinus qui doivent être positifs sont placés d'un côté de OB et les autres de l'autre; de sorte qu'on peut résumer toutes les règles données précédemment en rattachant les changements de signes aux changements de sens.

D'aiileurs, si en se laissant guider par cette indication, on porte les 111^ 1*. 3

arcs négatifs à partir de la même origine que les arcs positifs, mais en sens contraire, on reconnaît que la même règle convient encore à l'expression des lois suivant lesquelles^ varient les signes de leurs sinus et cosinus.

Cette théorie des signes attribués aux lignes trigonométriques était suivie d'une théorie analogue, et tout aussi indispensable, des signes attribués aux coordonnées en géométrie analytique, la voici.

Théorie des signes qu'on doit attribuer aux coordonnées en géométrie analytique .

.Ce n'est rien que de convenir qu'on portera les valeurs négatives des coordonnées or et y en sens contraires de ceux dans lesquels on porterait leurs valeurs positives : la question est de savoir si par là on ne créera pas des rapprochements inacceptables entre des branches étrangères les unes aux autres, si la continuité géométrique n'est pas rompue, dans la courbe construite d'après la prétendue convention adoptée, lorsque l'on traverse l'un des axes. Ce n'est pas par convention qu'il y a, sous une infinité de rapports, continuité géométrique entre tous les points d'une même ellipse ; ce ne doit pas être par convention que l'on prolonge une courbe dont on a déjà construit une partie.

Considérons une courbe définie par une propriété commune à tous ses points et tracée à l'avance. Prenons deux axes quelconques de coordonnées et considérons la portion de la courbe comprise dans un même angle formé par ces axes : soit f{x, y) =0 l'équation qui convienne à tous, les points de cette portion, x et y désignant les coordonnées sans signes des points qui en font partie.

Si l'on faisait avancer l'axe des y,' parallèlement à lui-même, d'une quantité a dans le sens des x, une nouvelle portion de la courbe passerait à la gauche de l'axe des y. Soient M un point de cette nouvelle portion, x et x' son ancienne et sa nouvelle abscisse, x' étant aussi bien positif que x, le point M étant maintenant rapporté aux côtés de l'angle oh il se trouve.-

Comme l'ordonnée du point M n'aura pas changé et qu'on aura entre son ancienne et sa nouvelle abscisse la relation

les nouvelles coordonnées de ce point se trouveront parmi les solutions de l'équation

Mais d'un autre côté les coordonnées nouvelles d'un point de la portion de la courbe qui sera restée à droite de l'axe des y, satisferont à l'équation

par conséquent on retrouverait les points de la portion de la courbe anciennement contenue dans le premier angle des axes et qui aurait passé à la gaucbe de l'axe des y, en cberchant les solutions négatives par rapport à x et positives par rapport à y de la nouvelle équation de la portion restée à droite, et portant les valeurs négatives de x' en sens contraire des valeurs positives.

Les mêmes observations pouvant être reproduites dans l'hypothèse où ce serait l'axe des x qu'on aurait fait avancer dans le sens des y, et par suite dans celle où Ton transporterait l'origine des coordonnées en un point {a,b] pris à volonté dans le premier angle des anciens axes, il en résulte que pour retrouver, dans la nouvelle équation

de la portion de la courbe qui sera restée dans le premier angle des nouveaux axes, les points des portions qui auront passé à gauche de l'axe des y, au-dessous de l'axe des x, ou dans l'angle opposé par le sommet à celui des nouveaux axes, il suffira de rechercher dans la nouvelle équation

les solutions négatives par rapport à x' seulement, à y' seulement ou à x et à y', et de porter chaque fois les valeurs négatives trouvées en sens inverses des sens positifs.

Mais, quels que soient les axes choisis, on peut toujours supposer qu'ils aient été amenés à leurs positions actuelles par des transports analogues à ceux qu'on vient de supposer, l'ancienne origine se trouvant reculée à des distances telles des nouveaux axes, qu'une partie indéfinie de la courbe se trouvât comprise dans le premier angle des coordonnées, et quelque part que soient les axes, il faudra opérer comme s'ils avaient parcouru des distances infinies. On devra donc toujours joindre aux points dont les coordonnées seraient positives, ceux dont les coordonnées négatives auraient été construites d'après la règle. On ne courra par là aucun risque d'associer entre elles des branches disparates.

J'avais lu avec un intérêt bien vif les quelques pages que le général Poncelet a consacrées à sa théorie des supplémentaires des coniques, mais je m'étonnais qu'il n'en eût pas aperçu la définition abstraite, capable d'être étendue aux courbes de tous les degrés et de permettre de les déterminer toutes, par rapport à tous les systèmes d'axes, au moyen de leurs coordonnées imaginaires.

Je comprenais bien que le but que s'était proposé le général Poncelet avait été précisément de donner au langage et au raisonnement géométriques une extension nouvelle, sans rien leur enlever de leur rigueur ancienne et sans recourir au secours de l'algèbre. J'admettais que le but avait été atteint et j'en comprenais l'importance ; mais je ne me rendais pas compte que le général eût pu côtoyer de si près une méthode bien plus sûre, bien plus féconde, sans en faire la découverte. Je priai M. Bardin de lui demander de me permettre de venir causer avec lui.

Le général me reçut avec bienveillance et m'écouta avec intérêt. Je lui expliquai ma méthode et les résultats auxquels j'étais parvenu pour les tangentes, les asymptotes et les plans tangents; puis nous parlâmes des analogies et des différences de sa méthode et de la mienne. En le quittant, je le priai de m'obtenir de M. Lamé, pour qui j'avais conservé depuis l'école une grande vénération, la faveur d'un entretien comme celui dont il venait de m'honorer.

Le jour pris, à quelque distance, par M. Lamé, se trouva être celui de la fête du roi. M. Lamé n'y avait pas songé, mais il me fit l'honneur de s'esquiver des rangs de ses collègues, pour venir me recevoir. Le théorème relatif aux asymptotes le frappa beaucoup, il me remercia vivement et quelques jours après je recevais de lui, sans lui avoir rien demandé, d'abord une lettre de recommandation pour le directeur de l'institution Massin, puis sur une grande feuille aux nom et armes de l'Institut, la déclaration suivante :

« Je soussigné, membre de l'Académie des sciences, section de géométrie, après avoir étudié les travaux mathématiques de M. Marie, ancien élè.ve de l'École polytechnique, et notamment son ouvrage intitulé : Discours sur la nature des grandeurs négatives et imaginaires, reconnais que ces travaux ont une valeur scientifique incontestable et qu'il serait à désirer que l'auteur fût en position d'y donner suite et de les faire connaître. G. Lamé.

Je joins volontiers le suffrage de mon opinion personnelle à celui émis ci-dessus par mon savant confrère, M. Lamé.

Poncelet.

Cet acte, entièrement spontané, fait, ce me semble, le plus grand honneur à ces deux illustres savants.

J'ai beaucoup regretté d'avoir fait de cette déclaration le mauvais usage que je vais dire.

Le comte de Ficquelmont avait répondu à ma mère: « J'ai attendu, pour te répondre, l'arrivée des livres; ce paquet m'a été remis avanthier, et déjà hier j'ai fait remettre trois exemplaires à trois savants, bons juges en cette matière. Dis à ton fils combien je le remercie de l'excellente lettre qui accompagnait cet envoi, elle expose le but de son travail de la manière la plus lucide ; j'y ai reconnu avec grand plaisir, pour lui et pour toi, l'élévation de la sphère dans laquelle son esprit, se trouve placé. Je répondrai à sa lettre dans quelque temps. »

Sa réponse fut une offre indéfinie de services et d'aide pour tout ce que je tenterais. Elle était accompagnée d'une lettre d'introduction auprès de M. de Barante avec qui il avait vécu intimement à Saint- Pétersbourg pendant qu'ils y étaient tous deux ambassadeurs l'un d'Autriche, l'autre de France.

M. de Barante m'avait parfaitement reçu et m'avait promis son appui, quelque chose que je demandasse. 11 m'avait seulement recommandé de trouver quelque chose de possible.

D'un autre côté M. de Brosse, un des descendants du président de Brosse, si vivement pris à partie par Voltaire, et un de nos cousins (il avait épousé une demoiselle de Villeneuve, petite-fille de madame de Montureux, sœur de ma mère), m'avait proposé de me recommander à M. le vicomte Benoist, député, qui m'avait d'autant mieux accueilli qu'il se trouvait qu'un élève de l'École polytechnique à qui j'avais donné des leçons tous les mercredis et quelquefois le dimanche, pendant près d'un an, était précisément sou fils.

Je désirais ardemment propager ma méthode par la parole.

Sûr des appuis qui m'avaient été promis et après avoir demandé leur agrément à M. de Barante et à M. Benoît, j'écrivis à M. de Salvandy, alohs grand maître de l'Université, pour le prier de m'accorder la faveur d'ouvrir dans une salle quelconque de la Sorbonne ou du Collège de France un cours de géométrie comparée.

Je disais au ministre :

« Mes travaux consignés dans un ouvrage intitulé Discours sur la nature des grandeurs négatives et imaginaires^ m'ont conduit insensiblement à créer dans la géométrie une branche entièrement neuve et digne, je crois, par le degré de perfectionnement où elle est parvenue, de recevoir, dans un cours oral, une extension [)lus grande que ne peut le comporter une publication.

« Si vous en jugez ainsi, j'ai l'honneur de vous demander, à titre de

mission scientifique temporaire, un petit traitement, que vous assigneriez, et une salle dont je puisse disposer soit au Collège de France, soit à la Sorbonne.

« Je n'ai pas la présomption de solliciter mon annexion à l'une de ces célèbres compagnies, j'en resterais naturellement tout à fait en dehors, et mon cours seul se ferait dans l'une des deux^enceintes, de façon que personne n'en pourrait prendre ombrage.

« Je crois, monsieur le Ministre, qu'en m'investissanttemporairement, pour dix ans par exemple, de la mission que j'ai l'honneur de vous demander, vous concilieriez à la fois et les raisons de prudence et celles qui peuvent vous engager à accorder votre faveur à une tentative qui peut avoir d'utiles résultats. »

Je remis la déclaration de M. Lamé et de M. Poncelet à M. Benoît, qui la donna à M. de Salvandy, en y joignant l'avis verbal conforme de M. Poinsot, car, avant de s'aventurer, M. Benoît m'avait donné une lettre d'introduction près de ce vénérable maître et était allé le voir ensuite, pour connaître ses impressions.

M. de Barante était parti pour ses terres, mais il m'avait permis de lui écrire pour le tenir au courant de mes démarches et il a dû écrire de son côté à M. de Salvandy.

Au bout de deux ou trois mois je reçus à Saint-Rémi près Chevreuse, oti j'étais allé passer mes vacances de 1846, une lettre qui m'appelait au ministère de l'Instruction publique pour affaire me concernant; je devais demander M. X..., chef du personnel.

La lettre reçue à dix heures, j'étais à trois dans le cabinet de M. X... 11 me dit : « Vous avez demandé au ministre une place de... — Pas une place, lui dis-je, une salle. — Une place de professeur de géométrie descriptive.— Pas descriptive, interrompis-je de nouveau, comparée. — Le ministre m'a chargé de vous faire savoir qu'il n'y en a pas de vacante. » J'essayai de dire encore quelques mots : mon interlocuteur était sourd.

Ainsi les efforts de deux pairs de France, un député, trois membres de l'Académie des sciences et un membre de l'Académie française avaient abouti en quatre ou cinq mois à me procurer trois minutes d'entretien avec un sourd.

M. de Barante revint un instant à Paris dans l'automne de 1846. Malheureusement, il perdit peu de temps après une fille qu'il idolâtrait et quitta Paris pour n'y plus revenir.

Le chemin de fer du Nord venait d'être concédé à M. de Rothschild. M. Emile Péreire était chargé du choix du personnel. J'adressai une demande d'emploi. Je reçus peu de temps après une invitation à me présenter devant le conseil. M. Péreire me demanda mes titres. Je lui

répondis : Ancien élève de l'École polytechnique, et lui présentai mon livre. Le titre le fit sourire : « Imaginaires, » me dit-il. Je lui répondis : « Toutes les aptitudes se tiennent. » Il ne dit pas non, mais passa à l'examen d'un autre candidat.

Cependant M. Benoît, ne comptant peut-être pas beaucoup sur un coup de tête scientifique de la part de M. deSalvandy, m'avait adressé à un ancien chef d'institution, M, Mage, dont le fils, officier de marine d'un grand avenir, est venu mourir si malheureusement sur les côtes de France, après avoir tenté avec dix ou douze compagnons déroute d'aller de Saint- Louis du Sénégal i\ Tombouctou. M. Mage me présenta à M. Blanchet, directeur de l'École préparatoire de Sainte-Barbe, qui, sans me donner encore une fonction permanente, me procura toutefois assez de leçons particulières pour que je pusse vivre, et je ne songeai plus au ministre.

Le 'comte de Ficquelmont était devenu premier ministre, après la mort du prince de Metternich. Lorsque survinrent les événements de 1848, l'intérêt de la France et son honneur exigeaient qu'elle intervînt auprès de l'Autriche pour obtenir sa neutralité dans les affaires de Pologne et le retrait de ses troupes en deçà des Alpes. Le terrain sur lequel l'entente pouvait se faire était tout trouvé : le gouvernement français, en «'employant à aplanir le différend hongrois, pouvait compter sur une compensation en Pologne et en Italie. Les intérêts de la France étaient du reste les vrais intérêts de l'Autriche et de la Hongrie. Il ne s'agissait que de le faire comprendre au comte de Ficquelmont et à Kossulh ; je proposai à M. Armand Marrast, dont j'avais l'honneur d'être connu, de faire une tentative près du comte de Ficquelmont, Je crois que j'aurais réussi. M. Marrast ne me dit pas non, mais il n'agit pas, puis survint le 15 mai- qui changea la situation, en amoindrissant la France et la destinée s'accomplit impitoyablement.

Le comte de Ficquelmont montra dans la tourmente la plus grande noblesse. Une émeute venait de massacrer son cousin le comte de Latour et roulait vers le palais qu'habitait mon oncle. Il jeta à la multitude quelques paroles de mépris pour l'acte de férocité qu'elle venait d'accomplir, fit ouvrir les portes, sortit du ministère et traversa la foule haletante, mais dominée.

A sa mort, quelques mois après, le National rendit un respectueux hommage à son beau caractère.

Il avait publié sur la politique générale différents ouvrages, entre autres Lord Palmerston, V Angleterre et le Continent, o\x Ton est étonné de rencontrer les sentiments d'une justice impartiale envers toutes les nations. Il a laissé en mourant les éléments d'un ouvrage beaucoup plus étendu et d'une portée tout autre, que M. de Barante a bien voulu dis-

poser" pour l'impression et qui porte le titre de Pensées morales et polititiques du comte de Ficquelmont .

Ce recueil où l'on peut lire à livre ouvert dans l'une des plus belles âmes qui aient existé, est à la morale religieuse et à la politique d'un monde écroulé ce que sont les actes du concile de Trente au dogme catholique et à la méthode de gouvernement de la papauté ; ce que les œuvres de Joseph de Maistre sont à l'ensemble d'idées qui achevait de s'écrouler durant la Restauration. Mais ici l'auteur n'est plus un sectaire vaincu, dont la parole aboie, ce n'est plus le naufragé qui essaye de s'accrocher aux épaves de l'absurde ; c'est un philosophe dont les événements n'ont pu renverser la foi, mais qui se dégageant des liens étroits de ses affections féodales et religieuses, consent à se placer au point de vue général des hommes de son époque, cherche à sauver du naufrage les principes immortels de la morale et retrouve, dans les meilleures couches des opinions d'un temps qui n'est plus, le flambeau qui peut encore conduire l'humanité en gestation d'une nouvelle ère.

J'ai dit que M. Benoît m'avait donné une lettre pour M. Poinsot, il y en avait joint une autre quelques jours après pour M. Cauchy.

M. Poinsot était extrêmement affable et bienveillant, mais sa santé alors était tout à fait ruinée. Deux ou trois fois, à 3 et 4 heures de l'après-midi il m'a fait l'honneur de se lever pour me recevoir, mais c'était vraiment conscience de l'importuner.

M. Cauchy était tout aussi affable, mais plus actif et mieux portant. Je le vis plusieurs fois, nous causâmes imaginaires ; il était assez facile d'exciter son attention, mais non pas de la captiver. Quelque chose qu'on lui annonçât, il prenait la plume et essayait d'en faire la démonstration lui-même ; souvent il s'égarait et deux heures se passaient sans qu'on eût pu lui donner une démonstration qui eût duré deux minutes. Mes visites furent interrompues par son départ pour Sceaux. Nous avions beaucoup bavardé, et je ne lui avais pour ainsi dire rien montré de ce que j'avais fait. Cependant à force de parler d'imaginaires on y repense et je ne serais pas étonné que ce fussent nos causeries qui aient été l'occasion de son puissant retour sur ce terrain. C'est en effet pendant son temps de villégiature à Sceaux, cette année-là, qu'il mit le comble à sa gloire en donnant l'explication des périodes des intégrales simples.

Je ne suivais plus depuis longtemps les séances de l'Académie des sciences, aussi n'ai-je appris qu'en 1831, de M. Hermite, l'existence de ce beau travail. C'est chez M. Moutard que j'ai vu pour la première fois M. Hermite, vers le mois de mai 1831 ; nous nous y rencontrâmes ensuite de temps en temps. Naturellement, nous causions mathéma-

tiques. Je proposai un jour à ces Messieurs de leur expliquer ce que j'avais fait, et ma proposition ayant été acceptée, je leur fis, le jour convenu, une leçon sur les imaginaires.

M. Hermite était au courant de tout ce qu'avait fait Cauchy sur les résidus, la convergence de la série de Taylor et les périodes des intégrales ; il nous en dit quelques mots et nous étonna fort par renonciation de ces faits bien connus aujourd'hui que la valeur d'une intégrale prise entre deux limites identiques pourrait n'être pas nulle, si la variable pour revenir à son point de départ avait suivi un chemin convenable; il me demanda malicieusement si je pourrais rendre compte de ces faits par ma méthode.

J'avais employé tout le temps que j'avais eu de libre, depuis ma sortie de l'école, d'abord à la résolution du problème du mouvement d'un corps solide libre, que je croyais alors entier et qui m'avait tenu un peu plus d'un an, car je m'en occupais déjà à l'école, et ensuite à ma théorie géométrique des imaginaires. Aussi étais-je très-peu ,au courant de tout ce qui ne nous avait pas été enseigné à l'école; je me serais en conséquence jugé très -peu capable de relever le défi, si une idée qui me parut être celle qui devrait être mise en œuvre pour résoudre la question, ne m'avait subitementpassé par la tête.

La périodicité d'une intégrale, pensai-je, pouvait être prévue lorsque cette intégrale devait fournir un segment d'une grandeur limitée de toutes parts, comme la longueur d'une courbe fermée ou l'aire comprise dans son intérieur, le volume enveloppé par une surface fermée, etc. : la grandeur elle-même, dans son entier, devrait en effet être comprise un nombre quelconque de fois dans la valeur de l'intégrale définie propre à en donner un segment quelconque, parce qu'on n'aurait pas pu introduire la restriction que les variables ne dépassassent pas leurs limites. Un exemple de cette loi presque évidente se présentait du reste de lui-même : si l'idée était juste, l'intégrale

fdx s/r* — x\

qui représente un segment du cercle

devait avoir pour période tcR^, c'est-à-dire l'aire du cercle entier. Et en effet elle s'exprime par

xyJlV — x"^ , 1 ^. . X +-R.arcsm-,

mais arc sin jr désigne l'un quelconque des termes d'une progression

arithmétique, dont la raison est 2 tt, de sorte que l'intégrale a effectivement une infinité de valeurs en progression arithmétique ayant pour raison irR^.

Ce raisonnement s'était formulé dans ma tête en moins de temps que je n'en ai mis à l'écrire; il me paraissait valoir toutes les considérations abstraites imaginables ; d'ailleurs je savais combien une idée concrète simple et juste simplifie les recherches quand elle a un caractère suffisant de généralité. Je ne voyais pas, il est vrai, comment celle qui venait de m'arriver pourrait être mise en œuvre pour l'explication des périodes imaginaires des intégrales, mais je savais quarrer les conjuguées d'une courbe et je pensais que ces conjuguées ne me cacheraient pas longtemps l'analogie qui restait à trouver ; je répondis à M. Hermite plus qu'affirmativement; je ne lui demandai qu'un mois pour faire entièrement non-seulement la théorie des périodes des intégrales simples, que Cauchy avait seules considérées, mais encore celle des intégrales doubles. Le délai que j'avais demandé ne me fut pas même nécessaire.

L'intégrale 1 dx \j W — x^ n'avait plus rien à m'apprendre; je commençai par me demander pourquoi les intégrales

/' dx r dx

qui ont pour valeurs

arc sin x et arc tang x, avaient pour périodes l'une Stc, l'autre ir, les courbes

y= . et y.

sli—x"

dont elles donnent les quadratures, n'étant pas fermées : je m'en rendis compte en observant que ces courbes limitaient des espaces finis ; et que, bien que les points qui les terminaient fussent tout le contraire d'être en continuité, il ne manquait pas d'exemples qui permissent de raisonner comme s'ils se rejoignaient à l'infini. Les périodes des deux intégrales devaient donc être

/• + ! dx r + '^ dx

et en effet, il n'est pas difficile de voir que ces intégrales définies ont pour valeurs

27C et Tî,

qui sont les périodes de

arc sin x et de arc tang x.

La démonstration n'était pas bien régulière, mais si l'on voulait renoncer au bénéfice de cette notion paradoxale, quoique si souvent vérifiée cependant, que les infinis contraires se rejoignent, ou plus exactement que les choses se passent comme s'ils étaient en continuité, parce qu'ils sont les inverses de 0 et de — 0, on pourrait toujours relier les points situés à l'infini dans les deux sens opposés par un chemin imaginaire qui rétablirait la continuité, sans introduire que des parties nulles dans la valeur de l'intégrale.

/• + • dx

Ainsi, pour engendrer d'une manière continue toute Taire 2 / ,

J-\ VI— ^^ de la courbe

■Jl-x'

on partirait, par exemple, du point [a? = — \, y z=-\- oo ], on suivrait la branche

Vi— ^'^

point [j? = -f-l,y=-f-ao];on rejoindrait le point [x = -\- \ ,y =: -\- ce] au point [x == -j- 1 , y = — 8] par un chemin imaginaire quelconque, au parcours duquel correspondrait une somme nulle des éléments

dx

^\—x^ puis on suivrait la branche

du point [a? = -f- 1, y = — 00 ] au point {x^= — {,y=. — oo ], enfin on rejoindrait le point[;r= —\,y =-— oo] au point [x = — i,y =-|-oo] par un nouveau chemin imaginaire auquel correspondrait encore une somme nulle des éléments de l'intégrale.

On agirait semblablement dans tous les cas analogues. Ainsi l'aire finie comprise entre les branches indéfinies d'une courbe devait encore être une des périodes de l'intégrale quadratrice de cette courbe.

Dans les exemples examinés jusqu'alors, les courbes considérées

étaient symétriques par rapport à l'axe des x, mais l'absence de cette circonstance n'amènerait aucune difficulté, car lorsque le point [x, y] décrirait, de gauche à droite, par exemple, la partie de la courbe supérieure à son diamètre, les éléments de l'intégrale ajoutés entre eux, fourniraient l'aire du diamètre, prise positivement, plus l'aire comprise entre la courbe et son diamètre, prise aussi positivement, tandis que quand le point [j?, y] décrirait de droite à gauche la partie inférieure de la courbe, les éléments de l'intégrale formeraient l'aire du diamètre,;prise négativement, plus l'aire comprise entre la courbe et son diamètre, prise encore positivement, car la différentielle de x et l'ordonnée au diamètre auraient à la fois changé de signes. Le parcours de la courbe étant achevé, il ne resterait donc, pour somme totale des éléments de l'intégrale, que le double de l'aire comprise entre la courbe et son diamètre, soit audessus, soit au-dessous, c'est-à-dire l'aire enveloppée par la courbe.

Les périodes réelles étant ainsi expliquées d'une manière à peu près satisfaisante, bien qu'on ne vît pas encore comment elles s'engendreraient habituellement, puisqu'on n'avait fait parcourir au point mobile qu'un chemin tout particulier, il y avait avant tout à faire au moins l'équivalent pour-les périodes imaginaires.

Ce n'était pas bien difficile : en effet, que l'on imaginât la conjuguée à abscisses réelles d'une courbe dont la quadratrice aurait une période réelle, et qu'on en prît Téquation en coordonnées réelles, sa conjuguée à abscisses réelles serait précisément la courbe primitive ; mais les ordonnées des deux courbes se déduisant l'une de l'autre en remplaçant

V — 1 pari dans celle qui était imaginaire, il en serait de même des éléments des deux intégrales, pour les mêmes valeurs réelles de x et de dx, de sorte que la première admettant une période <o, la seconde admettrait

nécessairement la période w y — 1 •

Ainsi la quadratrice d'une courbe dont la conjuguée à abscisses réelles présenterait un anneau fermé ou deux branches infinies asymptotes à deux parallèles à l'axe des y et comprenant entre elles une aire finie, devrait admettre pour période le produit par \/ — 1 de l'aire enveloppée par l'anneau, ou comprise entre les deux branches infinies considérées.

Ce raisonnement même était superflu, car rien n'empêchait, ayant affaire à la quadratrice de la seconde courbe, de faire parcourir au point [xy] l'anneau de la première courbe imaginairement représenté dans l'équation de la seconde : x et dx restant réels, quand le point [x, y] parcourrait de gauche adroite la partie supérieure de l'anneau, les éléments de l'intégrale, ajoutés entre eux, fourniraient l'aire réelle du

diamètre, prise positivement, plus le produit par y — 1 de l'aire comprise entre la courbe et son diamètre ; puis quand le point [x,y] revien-

drait au point de départ, en parcourant la branche inférieure de l'anneau, les éléments de l'intégrale reproduiraient l'aire du diamètre, affectée alors du signe —, parce que dx aurait changé de signe, plus l'aire comprise entre la courbe et son diamètre, multipliée encore

par -}- V — 1> parce que dx et l'ordonnée au diamètre auraient en même temps changé de signes, Ainsi l'intégrale

dx.

qui donne la quadrature de l'hyperbole

devait avoir pour période % ab\/— 1, c'est-à-dire le produit par v^— 1 de l'aire de la conjuguée

de cette courbe, ce qui a bien lieu en effet, car

, bx \x^ — a^ ab ^ x-\- sJx'^ — à* dx = — L

/- sJx^ — à a

/dx \/x^ — \

de même l'intégrale

dx

devait avoir pour période

dx

ou 2ir v^^^^, et en effet

/■ dx \lx' — 1

de même encore l'intégrale

qui donne la rectification de l'ellipse, ayant pour période réelle

et l'intégrale

ayant pour période réelle

la première devait avoir pour période imaginaire

et la seconde

Ainsi les périodes des intégrales elliptiques se trouvaient expliquées.

Toutefois le principal restait à faire, puisque je n'arrivais à la notion

des périodes imaginaires que d'une manière détournée, en les ramenant

à des périodes réelles, par la comparaison des quadratrices de deux

courbes conjuguées.

D'ailleurs, l'intégrale / — , qui admet pour période au y—i-,

échappait entièrement à ce mode de réduction, et il devait sans doute en être de même de beaucoup d'autres.

Je sentais bien que pour résoudre complètement la question il faudrait trouver un moyen de quarrer les conjuguées d'une courbe quelconque sans rendre préalablement leurs abscisses réelles; mais on pouvait encore faire un pas important sans entamer cette recherche, qui paraissait difficile.

Si une courbe présentait un anneau fermé, l'aire enveloppée par cet anneau se représenterait toujours comme période de la quadratrice de cette courbe, quels que fussent les axes auxquels elle vînt à être rapportée.

La permanence de la période réelle n'avait pas le même degré d'évidence lorsque cette période était l'aire totale d'une courbe présentant des branches infinies asymptotes à des parallèles à l'axe primitif des i/mais on devait l'admettre, par analogie.

Ainsi les périodes réelles de la quadratrice d'une courbe resteraient invariables, quels que fussent les axes auxquels cette courbe vînt à

être rapportée. Mais cette invariabilité ne devait pas tenir à la réalité des périodes en question, car les périodes de laquadratrice d'une courbe devaient être des fonctions déterminées des coefficients de l'équation de cette courbe; quelques valeurs que prissent ces coefficients, les mêmes expressions formées d'eux représenteraient toujours les périodes de la quadratrice et si ces coefficients pouvaient devenir tels qu'une période précédemment réelle devînt imaginaire, la fonction des coefficients propre à la représenter, qui resterait invariable dans un cas, le serait également dans l'autre.

Les périodes imaginaires des intégrales devaient donc aussi être invariables.

Cette induction en suggérait immédiatement d'autres : en effet, si la conjuguée à abscisses réelles d'une courbe quelconque présentait un anneau fermé, nécessairement compris entre deux branches de la courbe réelle et les touchant aux points de contact de deux tangentes parallèles à l'axe des.?/, deux autres tangentes parallèles, menées h la courbe réelle sous une inclinaison assez petite par rapport aux premières, comprendraient de même un anneau fermé de la conjuguée ayant pour caractéristique le coefficient angulaire de ces nouvelles tangentes.

Or le produit par \J — 1 de l'aire enveloppée par le premier anneau serait une période imaginaire delà quadratrice de la courbe proposée, rapportée aux premiers axes; et le produit par y — 1 de l'aire enveloppée par le second anneau devrait de même être une période imaginaire de la quadratrice de la même courbe rapportée à un système d'axes dans lequel les ordonnées seraient parallèles aux nouvelles tangentes considérées. Mais si la période imaginaire de la quadratrice devait être la même dans les deux cas, les deux anneaux devaient donc entourer des aires égales.

Ainsi, quelque courbe algébrique que l'on considérât, si deux branches de cette courbe se tournaient mutuellement leurs convexités, les anneaux fermés de toutes ses conjuguées, qui se trouveraient compris entre ces deux branches, devraient embrasser des aires égales.

Ce serait là le plus beau théorème connu de géométrie analytique.

Cette vision allait-elle disparaître ?

Le raisonnement paraissait inattaquable.

Mais d'ailleurs, Apollonius n'avait-il pas, il y a deux mille ans, démontré le fait dans un cas particulier. Qu'est-ce en effet que le théorème de la constance du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués de l'hyperbole? En multipliant par -n les deux membres de l'équation

a'b' sin Q = ab,

on lui fait précisément exprimer l'équivalence en surface de toutes les

conjuguées d'une hyperbole, en y comprenant même celle qui se réduisant à l'une des asymptotes, présente une épaisseur nulle sur une base inûnie.

Celte coïncidence était éblouissante.

/dx — devait être le

produit pary— 1 de l'aire d'une des conjuguées de l'hyperbole xy=zi. Or, le cercle conjugué de cette hyperbole équilatère a pour rayon y/ 2, on aire est, par suite, 2tc et Stt \J — \ est précisément la période de

dx

— =:zhX.

Ainsi, toutes les vérifications arrivaient i\ souhait.

Bien plus, non-seulement les périodes imaginaires s'interprétaient plus aisément que les périodes réelles, en raison de la variété infinie de formes géométriques qu'elles pouvaient revêtir, mais l'interprétation qu'on venait d'en obtenir permettrait d'acquérir des périodes réelles une idée à la fois plus nette et plus générale, en recourant pour cela à la représentation sous forme imaginaire de la courbe réelle considérée, dans l'équation d'une quelconque de ses conjuguées, car l'ancienne période réelle, en devenant imaginaire, acquerrait par cela même une infinité de figures.

Ainsi, quand la période réelle était représentée géométriquement par une aire finie comprise entre des branches infinies, non-seulement elle ne se présentait pas très-naturellement, mais quand on l'avait aperçue, comme elle n'avait pas d'autre forme sensible, il fallait imaginer un moyen factice de l'engendrer.

Au contraire, une période imaginaire est représentée sous une infinité de formes et quelques-unes seulement ne sont plus, celles d'aires d'anneaux fermés.

En d'autres termes, les conjuguées qui présentent des branches infinies comprises entre des asymptotes parallèles, ne sont que les limites de séries de conjuguées présentant des anneaux fermés compris entre des tangentes parallèles menées à la courbe réelle, tangentes qui se transforment à un moment donné en asymptotes; les aires finies comprises entre les branches infinies de ces conjugués limites et leurs asymptotes sont les limites d'aires d'anneaux fermés, variables de forme, mais constantes en étendue.

Or une courbe réelle étant conjuguée d'une quelconque de ses conjuguées, on pourrait maintenant trouver une infinité de formes géométriques à chacune des périodes réelles de sa quadratrice : si cette

période se présentait d'abord sous la forme d'une aire finie comprise entre des branches infinies, elle serait reproduite sous forme d'anneaux fermés dans les conjuguées d'une quelconque de ses conjuguées.

A cette hauteur, on découvrait encore de nouveaux horizons : si l'on considérait une courbe quelconque et l'une de ses conjuguées, les périodes de la quadratrice de la première se retrouveraient, multipliées par V — 1, dans les périodes de la quadratrice de la seconde; si l'on prenait une conjuguée quelconque de la seconde courbe, les périodes de la quadratrice redeviendraient celles de la première courbe ; si l'on prenait encore une conjuguée de la troisième courbe, les mêmes périodes reparaîtraient multipliées par \/ — 1 , et ainsi de suite. Les quadratrices de toutes les courbes conjuguées les unes des autres, à l'infini, devaient avoir les mêmes périodes multipliées par les puissances successives de y— 1.

C'était magnifique.

Tout ce qui précède se rapporte aux intégrales de fonctions différentielles explicites ou implicites, à coefficients réels, ou plutôt définies par des équations à coefficients réels. Les périodes de ces intégrales ne peuvent être que réelles ou imaginaires sans parties réelles. En effet , si la somme des éléments ydx , le long d'un chemin imaginaire fermé, est w -|- w' y — 1, le long du chemin formé des points imaginaires conjugués de ceux du premier, la somme sera 0) — ta y — 1, de sorte quel'intégrale aura à la fois pour périodes

oj -|- M y — 1 et

OJ — bi y — 1 ;

mais on pourra leur substituer

2w et 2w'\/— 1.

Il restait à considérer les intégrales de fonctions différentielles définies par des équations à coefficients imaginaires, mais on pouvait se dispenser d'en faire l'étude directe.

En effet les périodes d'une intégrale

ijdœ, où y est défini par une équation

devant être des fonctions permanentes des coefficients de cette équation, il suffisait de les avoir reconnues dans l'équation àcoefficients réels, ni" p. 4

— 50 ~ Par exemple la période de

jT/dx,

où y serait défini par l'équation

{x~af-{-{y-~bY = B.\ étant TtR^ la période de la quadratrice du lieu

{x — a — a' sj'^y ^{y — b — b' sl'^iY = (r -}- R' sl~if serait évidemment

Ainsi non-seulement toutes les questions relatives aux périodes se trouvaient résolues par des inductions très-simples, mais même la théorie allait bien au delà de ce qui était demandé d'abord, puisqu'elle permettait de déterminer les périodes des intégrales de fonctions implicites définies par des équations algébriques de tous les degrés. Une seule idée juste, mais bien appropriée à la question, avait fait évanouir des difficultés devant lesquelles les analystes les -plus intrépides reculeraient cent fois et avait mis en évidence des faits géométriques du plus haut intérêt.

J'avais jusqu'alors reculé devant les transformations analytiques que je pensais devoir être nécessaires pour arriver à quarrer directement une conjuguée quelconque ; je n'ai pas en effet une foi bien grande dans l'analyse comme moyen de recherche.

L'histoire des mathématiques est pleine en eff'et d'exemples de théories que des analystes étaient parvenus à rendre inextricables, et que des géomètres ont pu réédifier en quelques mots procédant d'une idée simple.

M. Hermite me disait un jour, charitablement, de ma manière de procéder : mathématiques de sentiment !

Sentiment soit. Je n'en recommanderai pas moins ma méthode aux jeunes gens. Elle m'a servi, avec le même succès, dans des recherches encore plus difficiles où tous les analystes qui s'y étaient attelés avaient bravement commis les plus lourdes bévues, et ceux qui sauront s'en servir ne s'en trouveront pas plus mal que moi. Si en effet on compare la simplicité du raisonnement, dans toutes les parties achevées des mathématiques, à la complication habituelle des artifices des inventeurs, on reconnaîtra précisément que c'est le sentiment net des choses qui a manqué à ceux-ci et que la faculté de sentir n'a pas achevé son rôle dans les sciences.

L'analyse permet bien, il est vrai, de donner aux idées une précision à laquelle elles n'arriveraient pas sans son secours, mais elle ne fournit pas les idées. Dans toutes les questions difficiles, un examen en quelque sorte extérieur du sujet est toujours le premier moyen d'investigation à employer. Cet examen prépare l'induction, et quand elle s'est produite, quand les idées se sont bien enchaînées, les conséquences les plus imprévues se dégagent en foulé, avec une facilité et une lucidité incomparables.

C'est arrivé à ce terme, mais alors seulement, qu'il convient de • recourir à l'analyse pour vérifier les inductions et coordonner les faits.

Tous les segments trapézoïdaux que l'on peut former avec un même arc d'une courbe ne diffèrent les uns des autres que par des parties polygonales, triangles ou tiapèzes, qui peuvent être évaluées directement, dont les expressions sont algébriques et dont l'introduction ou la suppression n'ajoutent ni ne retranchent rien aux propriétés essentielles de l'expression de cette aire. Il n'y avait donc pas lieu, dans le problème delà quadrature d'une conjuguée quelconque, de s'astreindre à évaluer l'aire du segment compris entre un arc de cette conjuguée, deux parallèles à l'axe actuel des ordonnées et l'axe des x; on pouvait se borner à évaluer l'aire du segment compris entre le même arc, deux parallèles aux cordes réelles de la conjuguée, c'est-à-dire à la direction qu'il faudrait donner à l'axe des y pour rendre ses abscisses réelles, et l'axe desx, qu'il n'y aurait aucun avantage à déplacer, à moins qull ne s'agît de la conjuguée dont les cordes réelles lui seraient parallèles.

Si la transformation de coordonnées avait été faite, c'est-à-dire si l'axe des y avait été rendu parallèle aux cordes réelles de la conjuguée à quarrer, [x\, y'J et [a?',, //',] désignant les coordonnées nouvelles des extrémités de l'arc considéré, \x\ y'\ les coordonnées d'un quelconque de ses points, et 6' le nouvel angle des axes, l'intégrale

y'dx'

~'oy'o

représenterait l'aire du segment considéré. La question était donc d'obtenir en fonction de xei y l'équivalent arithmétique de cette intégrale. Or s'il s'agissait d'un arc de la courbe réelle, on aurait

Jn ariyi /^ a; 12/ 1 {

ydx = sin G' / y'dx ■\- - {y^y\ — y^y'^) sin Y' Y ,

•ro2/û «^«'oî/'o

J^«'iy'l /•^i2/i 1

ydj; = sin 6 / ydx -f- - {y^y\ — y^y\) sin Y'Y .

sm

d'où

Mais cette égalité permanente, pour tous les systèmes de valeurs réelles de a^o, y^ et x^, y^, ne pouvant être qu'une identité absolue, elle conviendrait donc aussi bien au cas oh les limites de l'intégration seraient imaginaires.

Ainsi le problème était résolu et l'était d'une façon bien plus satisfaisante qu'on n'aurait pu s'y attendre : une seule intégration suffirait pour quarrer une courbe réelle et toutes ses conjuguées.

Voilà pour la partie géométrique de la question.

Mais l'identité

sin Ô / ydx = sin 6' / y'dx' + - {y,y\ — y^y\) sin Y'Y,

dont le second membre aurait toujours un sens bien déterminé, allait permettre d'interpréter complètement dans tous les cas l'intégrale

jydx,

quelles qu'en fussent les limites : on saurait comment elle s'accroît lorsque la limite supérieure varie d'une manière continue, comment les périodes s'engendrent, etc.

En effet, d'abord, si les points limites [xq, yj, [x„ yj appartenaient à une même conjuguée G, l'intégrale

I / ydx

représenterait, à la différence près de l'expression algébrique,

2 ^ iVo — y'),

l'aire de la conjuguée à laquelle appartiendraient les limites, comprise entre l'arc de cette conjuguée allant de l'une des limites à l'autre, deux parallèles à ses cordes réelles et l'axe des x.

Si au contraire les limites M,,, M^ appartenaient à deux conjuguées différentes C^, Cj, et que N^ et N^ désignassent les points de contact avec la courbe réelle des branches des conjuguées G^ et Gj, issues de Mp et M,, parmi les valeurs de l'intégrale

sin 6 / ydxi

se trouverait la somme

sinO

ydx -j- sin 6 / ydx -f sin 6 / ydx.

-0 "^No «^'Ni

C'est-à-dire que, à la différence près des parties algébriques qui ne pourraient embarrasser dans aucun cas, une intégrale

sine

Jyd,

se composerait de l'aire de la conjuguée à laquelle appartiendrait la limite inférieure, comprise entre la corde réelle menée par cette limite et la tangente menée à la courbe réelle parallèlement à cette corde, de l'aire de la courbe réelle comprise entre les ordonnées menées des points oîi elle serait touchée par les conjuguées passant par les deux limites, enfin de l'aire de la conjuguée à laquelle appartiendrait la limite supérieure, comprise entre la tangente commune à celte conjuguée et à la courbe réelle et la corde réelle menée par la limite supérieure.

Si la limite supérieure variait, les deux dernières parties seulement varieraient, de sorte qu'une intégrale prenant naissance et grandissant ensuite par la variation continue de la limite supérieure confondue d'abord avec la limite inférieure, l'intégrale s'accroîtrait d'instant en instant, à la différence près, toujours, des expressions variables des triangles introduits aux limites par suite du changement de direction des ordonnées, de l'aire correspondant à la partie de la courbe réelle décrite par le point de contact de cette courbe avec la conjuguée passant par la limite supérieure mobile et de l'accroissement de l'aire correspondant à l'arc de cette conjuguée mobile compris entre son point de contact avec la courbe réelle et la limite supérieure.

La notion du mode le plus général de formation des périodes réelles des intégrales résultait immédiatement de là, comme simple scholie.En effet, si, la limite inférieure de l'intégrale restant fixe, la limite supérieure se transportait successivement sur toutes les conjuguées tangentes à un anneau fermé de la courbe réelle et revenait se confondre avec la limite inférieure, la conjuguée mobile qui la contenait à chaque instant ayant ainsi achevé un tour complet autour de l'anneau, l'accroissement total de l'intégrale se réduirait à l'aire enveloppée par cet anneau.

Si la limite supérieure continuait à se mouvoir dans le même sens, une nouvelle période s'engendrerait à chaque tour ; et si les limites restaient séparées par un certain intervalle, il faudrait ajouter au nombre

des périodes, calculé à raison de une par tour, la valeur de l'intégrale correspondant à cet intervalle.

I.a démonstration analytique du théorème général de l'équivalence des aires envelop. ées pur les anneaux fermés de conjuguées compris entre les tnômcs branches de la courbe réelle, se présentait aussi comme un simple corollaire de ce qui précède. En effet, si les limites de l'intégrale étaient prises sur la courbe réelle, la partie complémentaire

1 sin 0

- — ; — (^0*— ^1^) serait réelle; de sorte que si les deux limites corres-

Jd \j

pondaient aux points de contact d'un même anneau avec les deux branches de la courbe réelle, la partie imaginaire de l'intégrale serait la demi -aire de cet anneau. D'un autre côté, si M,, et Mj, N^ et N^ désignaient les points de contact de deux conjuguées voisines avec les deux branches de la courbe réelle, on aurait identiquement

J^Mi /»No /«Ni /»Mi

ydx = sin 6 / ydx -f- sin 0 / ydx -\- sin G l ydx. Mo «>'Mo »^No »^n,

Mais les parties

J<» No /» Mj

ydx et sin ô / ydx Mo »^Ni

seraient réelles, par conséquent les parties imaginaires de

J<» Ml /» Ni

ydx et sin 6 / ydx Mo " «^No

seraient égales. Or ces deux parties imaginaires seraient précisément

les demi-aires des deux anneaux voisins, multipliées par \[—A.

Enfin le mode le plus général de formation des périodes imaginaires se trouvait aussi mis en évidence : la limite supérieure de l'intégrale se déplaçant d'une manière continue entre deux branches de la courbe réelle, qui comprendraient des anneaux fermés de conjuguées, la partie imaginaire de l'intégrale s'accroîtrait d'une demi-période chaque fois que cette limite passerait sur une des branches, en venant de l'autre. Si après son passage sur une des branches de la courbe réelle, la limite supérieure continuait son chemin sans rebroussement, de manière à se transporter du côté opposé à celui où elle s'était trouvée d'abord, par rapport au point de contact de l'anneau qui la contenait avec la courbe réelle, une nouvelle demi-période commencerait à s'engendrer et s'achèverait lorsque la limite supérieure parviendrait à l'autre branche, et ainsi de suite.

Ces inductions se vérifient admirablement sur l'intégrale / — et ren-

dent compte de ce fait d'origine algébrique que le logarithme d'un nombre positif a est

La-f-2A-7t\/— 1,

tandis que celui d'un nombre négatif — a. est

La-f-(2Â: + l)7cv/— 1:

— correspondent à des

points de la branche de droite de l'hyperbole, et quel que soit le chemin intermédiaire qu'ait suivi la limite supérieure, il n'a pu s'engendrer qu'un nombre pair de demi-périodes imaginaires. Au contraire, si la limite supérieure est négative, elle correspond à un point de la branche de gauche et comme la limite inférieure correspond à un point de la branche de droite, quelque chemin qu'ait suivi x, il n'a pu s'engendrer qu'un nombre impair de demi-périodes.

Au reste / ~ = j ~ — h / ~ ' / — est n y — 1 ou plus généralement (2 K -f 1) nr V — 1 et / — est précisément égal à —, parce que dans les deux intégrales les éléments sont compo-

ses de facteurs dx et - égaux au signe près ; ce qui explique pourquoi

la partie réelle de L ( — a) est la même que la partie réelle de L (-f- a).

Il restait toutefois, en ce qui concerne la dernière partie de'ja théorie, un cas d'exception qu'il faut signaler. La valeur d'une intégrale prise entre des limites imaginaires ne pouvait pas toujours recevoir l'interprétation qu'on en a donnée plus haut, parce que toutes les conjuguées d'une courbe réelle ne la touchent pas toujours. Cela arrive toutes les fois que la courbe n'a pas de tangentes parallèles aux droites comprises dans un certain secteur et que les parallèles à ces droites ne coupent cependant pas la courbe en autant de points réels qu'il y a d'unités dans son degré. Dans ce cas on ne peut naturellement plus décomposer l'intégrale dans les trois parties qui ont été énumérées plus haut.

Cette difficulté m'amena à examiner une question fort intéressante qui m'avait échappé jusque-là : les conjuguées d'une courbe réelle ont cette courbe pour enveloppe, mais elles peuvent en avoir une autre, imagi-

naire : par exemple, les conjuguées d'une hyperbole ont cette hyperbole pour enveloppe réelle et sa supplémentaire pour enveloppe imaginaire. Il y avait lieu de chercher à déterminer dans tous les cas l'enveloppe imaginaire.

Je reconnus aisément que l'enveloppe totale, composée de ses deux parties réelle et imaginaire, est le lieu des points réels ou imaginaires

dy pour lesquels -J a une valeur réelle; ce qui tient à ce que tous lesélé-

du ments d'un lieu, en un point où -j- est réel, se confondent géométriquement en un seul, car si

dy d<t -f d^' \l— 1

dx doi+d'^yj—ï

il en résulte

d'où

doL 4- d^

quelles que soient les parties indépendantes d(x et c?|â qui entrent dans la composition de dx.

Quant à la valeur d'une intégrale prise entre des limites correspondant à des points situés sur des conjuguées non tangentes à la courbe réelle, elle se décomposerait bien en trois parties dont les limites intermédiaires correspondraient aux points de contact avec l'enveloppe imaginaire, des conjuguées passant par les limites assignées. Mais l'intégrale prise le long de l'enveloppe imaginaire n'aurait plus de rapport simple avec l'aire de cette courbe, et elle devrait être calculée à part, ce qui ne laisserait pas que de présenter souvent de grandes difficultés.

Cette question m'embarrassait beaucoup et de quelque manière que je la retournasse, la difficulté restait toujours la même. J'en étais tellement agacé que je finis par n'y vouloir plus croire et comme, dans les exemples que je connaissais, l'enveloppe imaginaire était fournie par des valeurs imaginaires sans parties réelles des deux coordonnées, auquel cas l'intégration le long de cette enveloppe était possible, je finis par me persuader qu'il en devait toujours être ainsi. C'était absurde, mais après une longue contention, l'esprit a de ces faiblesses. Lorsque, plus tard, je donnai mon manuscrit à M. Liouvllle, la disposition d'esprit où je m'étais trouvé n'avait pas encore changé et je laissai passer

l'erreur. Voici en quels termes je la rectifiai, dans une note, lorsque je m'en aperçus.

« Je dois, en terminant cette troisième partie, signaler une erreur contenue au chapitre III.

« Lorsque j'écrivais ce chapitre, je croyais que l'enveloppe imaginaire des conjuguées aurait habituellement les parties réelles de ses coordonnées constantes ; et j'en concluais que l'évaluation approximative

de l'intégrale / ydx prise le long de cette enveloppe pourrait se faire,

dans le plus grand nombre des cas, par la quadrature approchée de l'enveloppe.

« J'avais évidemment pris l'exception pour la règle générale.

« Quant aux raisons que je donnais à l'appui de mon opinion, elles sont aussi mauvaises que possible. » Je cite cette note dans l'espoir qu'elle pourra tomber sous les yeux de M. Puiseux ou de M. Bouquet.

Quoi qu'il en soit, les considérations auxquelles je m'étais abandonné m'avaient conduit àtrouver l'explication inattendue d'un fait intéressant: on sait que

L (av/3T) =La+ (2^ + ^) ^s/^

et que

L {—as/—\)=ha-^Ûk-{-.fjT:sJ^

L'explication de ces faits résulte de ce que les coordonnées des points de l'enveloppe imaginaire des conjuguées de l'hyperbole y = - sont imaginaires sans parties réelles et que les quatre points de contact de l'une des conjuguées avec les deux enveloppes la partagent en quatre parties auxquelles correspondent des aires égales et égales au quart de la période, ou à- y/l.

Les mêmes considérations m'avaient amené à envisager la question de la rectification de l'enveloppe imaginaire. C'est ainsi que je reconnus que la période imaginaire de la rectificatrice d'une hyperbole est le produit par y — 1 de la différence entre la longueur totale de l'hyperbole supplémentaire, enveloppe imaginaire des conjuguées de la proposée, et la longueur totale des deux asymptotes. Je n'ai trouvé l'interprétation analogue de la période réelle qu'en écrivant, pour le journal de M. Liouville, le chapitre relatif aux intégrales d'ordre quelconque.

L'édification de la théorie que je viens de résumer m'avait coûté bien moins que le mois que j'avais demandé à M, Hermite et je ne doutais pas que celle des périodes des intégrales doubles ne fût encore plus simple, bien qu'elle eût arrêté M. Cauchy, sans doute parce que sa méthode purement analytique ne lui permettait pas, ce qui m'avait été si utile, de passer successivement du point de vue abstrait au point de vue concret, de m'aider de l'interprétation des faits pour en tirer les conséquences que des formules abstraites n'eussent pu suggérer.

La notion même des intégrales doubles présente des points assez difficiles lorsque les variables indépendantes peuvent recevoir des valeurs imaginaires. La décomposition de l'opération sommatoire en deux intégrations séparées n'est plus alors généralement possible et la fixation même des limites de la double somme peut présenter quelques embarras. Ces difficultés méritaient un examen attentif, mais je ne m'en occupai pas alors. Je voulais seulement définir les périodes d'une intégrale donnée et trouver les moyens de les déterminer.

La question réduite à ce point était bien simple : une intégrale

zdxdy,

où z serait défini par une équation

f{x,y,z)=Çi,

devait évidemment admettre comme périodes réelles les volumes enveloppés par les nappes sphéroïdales de la surface réelle ou les volumes finis compris entre des nappes infinies, asymptotes à quelques cylindres parallèles aux z ; d'un autre côté la valeur de l'intégrale double relative au parcours par le point [x, y,z], d'une nappe fermée de conjuguée, serait aussi une période de cette intégrale double.

Il ne s'agissait donc que de savoir ce que serait la valeur acquise par l'intégrale dans un pareil parcours.

Or la section d'un lieu à trois dimensions par un plan réel se compose des sections qu'il détermine dans la surface réelle et dans celles de ses conjuguées dont les cordes réelles lui sont parallèles, et ces dernières, d'ailleurs, sont les conjuguées de la première.

Si ces dernières sections présentaient des anneaux fermés, la quadra-

trice de la section aurait pour période le produit par y/— 1 de l'aire d'un de ces anneaux, et cette période serait le produit par \j — 1 de la section faite dans une des conjuguées fermées ; d'un autre côté, si l'on considérait deux plans parallèles infiniment voisins, le produit de la période imaginaire de la quadratrice de la section, comprise dans le premier, par la distance des deux, formerait un des éléments de i'inté-

grale double correspondant au parcours d'une de ces conjuguées fermées, et si le plan mobile se déplaçait entre celles de ses deux positions où il toucherait l'une d'elles, la valeur acquise par l'intégrale double se rapporterait au parcours de cette conjuguée par le point [x, y, z] ; elle serait égale au produit par y — 1 du volume enveloppé par cette conjuguée, et enfin ce serait une des périodes imaginaires de l'intégrale double.

Mais alors toutes les conjuguées fermées en question devraient envelopper des volumes égaux, sans quoi l'intégrale double aurait une infinité de périodes,

Et en effet, si l'on coupait la surface par deux plans parallèles infi-niment voisins, les tranches découpées dans toutes les conjuguées fermées rencontrées par ces plans, présenteraient des volumes égaux, comme ayant bases équivalentes et même hauteur; ces conjuguées envelopperaient donc des volumes égaux, si elles étaient hmitées toutes aux mêmes plans extrêmes. Or ce dernier fait était évident, les sections conjuguées de la section réelle devenant en même temps toutes évanouissantes lorsque le plan sécant, en se mouvant parallèlement à lui-même, devenait tangent à la surface réelle.

Les conjuguées comparées jusque-là avaient leurs cordes réelles parallèles à un même plan; mais chaque conjuguée d'une première série pourrait être comparée de même à celles qui auraient leurs cordes réelles parallèles à un plan quelconque passant par une de ses cordes réelles, par conséquent le théorème était entièrement général; toutes les nappes fermées de toutes les conjuguées comprises dans l'intérieur de la même nappe de la surface réelle, enveloppaient des volumes égaux.

Ne désirant pas, pour le moment, en savoir plus long sur ce sujet, j'arrêtai mon travail à ce point et me hâtai de le rédiger, pour ne pas dépasser le terme assigné.

M. Hermite, que j'avais d'abord tenu au courant des résultats auxquels je parvenais, avait été, dans l'intervalle, nommé examinateur d'admission à l'École polytechnique et avait commencé sa tournée en province, je lui envoyai, avant le mois écoulé, ma réponse à son défi par M. Serret, son collègue.

Depuis que j'ai achevé ce travail j'ai souvent pensé que l'enseignement pourrait en profiter pour modifier les théories des fonctions circulaires et exponentielles et surtout le moyen de les raccorder.

La théorie des fonctions circulaires directes et inverses étant achevée par la méthode trigonométrique élémentaire, pour toute l'étendue des variations qu'elles peuvent subir en restant réelles, on pourrait, pour

prolonger cette théorie, définir l'arc correspondant à un sinus imaginaire 'donné y, comme étant l'une des valeurs de l'intégrale définie

on établirait facilement que si y était imaginaire sans partie réelle, y dy

ou. arc sm y, serait un multiple pair ^de n augmenté du produit par V — 1 du double du secteur de l'hyperbole équilatère

compris entre le rayon couché suivant la direction positive de l'axe des X et le rayon mené au point dont l'ordonnée serait le multiplicateur de y— 4 dans la valeur de y; ou un multiple impair de •tt diminué de la même quantité.

On définirait de même l'arc correspondant à un cosinus donné x comme étant Tune des valeurs de l'intégrale définie

dx

\Ji—x^'

et on démontrerait que si x était plus grand que 1,

dx

ou arc cos x, serait un multiple pair de tz plus ou moins le produit par V — 1 du double du secteur de l'hyperbole équilatère y^ — a;^ = — 1,

compris entre le rayon couché suivant la direction positive de l'axe des X et le rayon mené au point dont l'abscisse serait x.

La somme des carrés du sinus et du cosinus d'un même arc imaginaire sans partie réelle serait évidemment 1, puisque ce sinus et ce cosinus seraient les coordonnées d'un point de la conjuguée à abscisses réelles du cercle y'"'^ -\- x^ ^ i ,

La tangente et la cotangente d'un angle imaginaire sans partie réelle seraient, par définition, le rapport du sinus au cosinus et réciproquement.

On constaterait ensuite sur la figure que x = ol -{■ ^ \/ — 1 et

y = »' -\-^C \J — 1 désignant les coordonnées d'un point de la conjuguée G du cercle

si l'on joignait le centre au point de contact du cercle avec la conjuguée C et au point [x, y], en désignant par 9 le double du secteur circulaire et par '^ le double du secteur hyperbolique, on aurait

a -|- [â \/ — 1 = cos çp cos ^ V— 1 — sin <f sin <]/ y — 1 et

«' -\- ^G \/ — 1 = sin cp cos 4" V — 1 + cos 9 sin ^ \J — 1 .

D'un autre côté, on établirait que

r^i- et r--jL=

auraient précisément pour valeur commune ? + «l' y — 1, ce qui compléterait la notion des fonctions circulaires directes et inverses. Une simple substitution montrerait ensuite que

&m{<p-\-<\i\/—\-^cp'-\-<l'sl—i):=^iin{<p-\-<\i^—l)cos((p'-\-<\>'\/~l)-^cos{<f-\-<\i^^

et

cos((p+<};V^+?'+fv/-l)=cos((p-H'\/-0cos(?'-|-4»'v/-0— sin(9+4'V'-Osin(?'+4/'v/-"l)-

Les formules relatives à l'addition des arcs étant ainsi généralisées, on étendrait alors, sans démonstrations nouvelles, aux arcs imaginaires, toutes les autres formules de trigonométrie qui s'en déduisent.

De même, la théorie élémentaire des fonctions exponentielle et logarithmique étant achevée par l'une et l'autre des méthodes arithmétique et algébrique que l'on emploie d'ordinaire concurremment pour les établir» il y aurait avantage à la prolonger en définissant le logarithme népérien d'un nombre donné imaginaire x, comme étant l'une des valeurs de l'intégrale définie

dx

ce qui ne laisserait prise à aucune équivoque;

La fonction e^ ne peut plus en effet être définie comme exponentielle, dès que a; est imaginaire, puisque la notation n'indique plus d'opération, ou de série d'opérations pouvant conduire à la valeur de la fonction ; et, d'un autre côté, définir e^ par la série

c'est enlever à cette fonction toutes ses relations avec les autres fonctions analytiques.

Il conviendrait donc de définir la fonction exponentielle comme l'inverse de la fonction logarithmique, en ayant soin de prévenir que si on continuait de l'exprimer par e^, ce serait simplement pour conserver la notation légitimée dans le cas où x était réel.

e^ aurait ainsi un sens parfaitement déterminé.

On démontrerait alors, sur la figure, que la fonction inverse de La? se reproduit identiquement par dérivation et, comme elle se réduit à 1 pour a; = 0 on en conclurait qu'elle se développe suivant la série

On aurait ainsi évité de restreindre d'avance le sens de la fonction, en lui imposant l'identification avec une série toujours convergente et qui n'a jamais qu'une valeur, et l'on aurait au contraire le droit de conclure du théorème établi, que la fonction inverse de Lx n'a jamais qu'une valeur, identifiable à la série.

Dans ces conditions, lorsque la comparaison des séries qui donnent e^, sin X et cos x conduirait à écrire la formule d'Euler

cette formule aurait pour traduction l'énoncé d'un véritable |théorème, elle signifierait que la fonction inverse de La? est exprimable par

cos X -f- \J — 1 sin X, tandis que si on essaye de la traduire sans sortir de l'ordre d'idées qui y avait d'abord conduit, on n'y trouve aucun sens, le premier membre eW — i n'ayant d'autre définition que le second ; on n'y voit qu'un rapprochement fortuit, singulier et remarquable, mais dont le commentaire n'existait pas.

Du reste il vaudrait encore mieux tirer de la figure la démonstration directe de la formule

arc tang x v — 1 = — f L --- ; — ,

d'où l'on conclurait inversement la formule d'Euler.

Je voyais de temps en temps M. Bonnet à l'institution Bourdon, devenue institution Lepennec et j'avais eu l'occasion de lui parler de mes recherches sur les périodes des intégrales simples et doubles. Il avait, quelque temps auparavant, adressé à l'Académie de Bruxelles plusieurs mémoires qui lui avaient valu un prix de cette société savante et comptait faire insérer ces mémoires dans le journal de l'École polytechnique, il médit: «Pourquoi n'y fais-tu pas paraître ton mémoire?» Je lui répondis que je n'avais pour lors aucune relation à l'École, mais que s'il voulait se charger de remettre mon mémoire et de le suivre de l'œil, dans la filière, je le lui confierais volontiers et lui serais très-reconnaissant de ses bons offices; il accepta, et je lui remis mon manuscrit quelques jours après.

J'étais impatient de faire connaître ce nouveau travail. Je songeai naturellement au général Poncelet et à M. Lamé. Ces deux messieurs me reçurent avec la môme bienveillance que par le passé. Le général commençait à voir que mes travaux apportaient une force nouvelle aux idées dont il avait été le promoteur et tendaient à donner plus* d'importance encore à sa belle théorie des supplémentaires; d'un autre côté M. Lamé venait de s'occuper, à propos de la théorie de la chaleur, des propriétés des fonctions elliptiques ; ils m'écoutèrent avec intérêt ; la simplicité de mes démonstrations les étonna ; le théorème de l'équivalence des aires des anneaux fermés de conjuguées les intéressa surtout très-vivement; ils me félicitèrent cordialement.

Je rencontrai M. Bonnet quelque temps après, il me dit : « Le journal de l'École polytechnique va paraître, mes mémoires ont été admis, mais le tien a été refusé. » Je voulus savoir comment la chose s'était passée. M. Bonnet me dit: «Le rapport a été fait par Duhamel et Sturm. »

M. Sturm était déjà atteint de la maladie dont il allait mourir. Il devait être innocent : je demandai à M. Bonnet l'adresse de M. Duhamel et me rendis chez lui incontinent. Je le trouvai dans son salon, jouant tout seul une partie d'échecs. Voici notre conversation.

«J'avais, monsieur, envoyé à la direction des études un mémoire pour le journal de l'École polytechnique et je viens d'apprendre qu'il a été refusé. On me dit que vous étiez un des commissaires chargés de faire le rapport et je viens vous prier de médire quels ont été les motifs qui ont déterminé le rejet. — Mais le journal de l'École polytechnique n'insère pas tous les mémoires que l'on envoie. — Sans doute, et c'est pour cela qu'une commission de professeurs prend connaissance des mémoires envoyés, mais pour qu'on les refuse, il faut qu'ils soient mauvais ou peu intéressants. Enfin les refus sont motivés et je viens vous demander le motif de celui qui m'atteint. — Mon Dieu I je me

suis borné à dire qu'il ne me paraissait pas utile que le journal de l'École polytechnique donnât de nouveau ce que vous aviez déjà publié en volume. — Comment I mais mon mémoire ne contient rien de ce qui était dans mon volume. — Ah! j'avais cru... —Mais vous ne l'avez donc pas lu? — Non. — Comment! vous n'avez pas lu mon mémoire, et vous en avez fait un rapport. — Oh ! verbal. — Mais verbal ou non il n'en a pas moins été décisif. — Enfin! qu'est-ce qu'il contenait votre mémoire? — Il contenait l'interprétation géométrique des périodes des intégrales simples et doubles. — Hein ! Comment dites-vous? — Je dis que mon mémoire contenait l'interprétation géométrique des périodes des intégrales simples et doubles. — Qu'est-ce que c'est que ça, les périodes des

/dx — , par exemple, aune infinité de valeurs en progression arithmétique, on appelle période d'une intégrale laraison de la progression. — Et vous avez expliqué ces périodes? — Oui : / dx \r'- — .x*

a pour période Trr^ parce qu'on peut faire autant de fois qu'on le veut le tour de la circonférence entre les limites ; on explique de la même manière les périodes imaginaires. — Est-ce qu'on pourrait dégager ces démonstrations de considérations géométriques? — Oui, si on voulait leur enlever l'intérêt qu'elles présentent. »

Et je me levai.

Quelque temps après ce beau succès, je songeai à voir M. Hermile. Je n'ai pas su s'il avait lu mon mémoire, mais ma visite avait un but déterminé, je désirais que M. Gauchy présentât mon travail à l'Académie des sciences, et je voulais prier M. Hermite de lui parler en ma faveur. M. Hermite se prêta de bonne grâce à faire ce que je lui demandais, vit en effet M. Gauchy, peu de jours après, et obtint aisément de lui qu'il me reçût.

Je fis une ou deux visites à M. Gauchy, pour lui expliquer en gros mon travail et il m'accorda de faire ce que je désirais. Je lui remis quelques jours après mon mémoire accompagné du résumé suivant pour le compte rendu des séances.