LETTRE A M. HERMITE

LES COURBES ALGÉBRIQUES QUARRABLES ALGÉBRIQUEMEiNT

« Monsieur, j'ai présenté il y a quelques mois à l'Académie des sciences un Mémoire intitulé: Classification des intégrales quadratrices des courbes algébriques, qui a paru par extraits dans les comptes rendus re»latifs aux séances des 17 et 24 mars, 7 et 14 avril 1873, et dont j'avais annoncé la publication à M. Chasles et à M. Puiseux. par lettres datées du 8 et du 14 juillet 1872

« L'une des conclusions de mon Mémoire, était que les courbes de

degré m quarrables algébriquement sont celles qui ont ■

points doubles et que toutes leurs asymptotes rencontrent en trois points situés à l'infini.

«Je savais déjà, par M. Lâguerre, que je m'étais rencontré avec M. Clebsch et vous, quoique par une méthode toute difi'érente, sur la définition des courbes unicursales, ou quarrables par les fonctions circulaires, mais j'ignorais que vous fussiez allé plus loin.

« Je viens de voir, ce soir môme, avec le plus grand plaisir, que vous vous étiez préoccupé aussi de déterminer les courbes quarrables algébriquement, et alors, naturellement, mon attention s'est trouvée encore plus particulièrement excitée.

« Pour déterminer la courbe du troisième degré quarrable algébriquement, vous prenez l'équation de la courbe unicursale de cet ordre, vous cherchez les expressions des périodes cycliques ou résidus et vous les égalez à zéro.

« J'avais procédé autrement :

« Les périodes de la quadratrice d'une courbe donnée devant être indépendantes du choix des axes, puisque les aires des segments relatifs à un même arc ne diffèrent les uns des autres que par celles de deux triangles et d'un trapèze, j'avais supposé qu'on rendît Taxe des y parallèle à l'une des asymptotes et qu'on prît, en tenant bien entendu compte

du nouvel angle des axes, le résidu relatif à l'abscisse de cette asymptote, résidu qui resterait une période cyclique de la quadratrice de la courbe, lorsque les axes reprendraient leur situation première.

« Or il est facile de voir que ce résidu s'annule quand l'asymptote coupe la courbe en trois points situés à l'infini ,

« D'où résulte le théorème que j'ai énoncé :

. im—l)(m~2) « Pour qu une courbe qui a — points doubles et dont la

quadratrice a, par conséquent, déjà perdu ses périodes ultracycliques, devienne quarrable algébriquement, il faut que toutes ses asymptotes la coupent chacune en trois points situés à l'infmi.

(( La comparaison des trois périodes cycliques de la courbe unicursale du troisième ordre, vous montre aisément que l'une d'elles est égale à la somme des deux autres, ou, ce qui revient au même, puisque chacune d'elles a le double signe, que la somme des trois est nulle.

« Le théorème analogue ne m'a pas échappé, mais je l'ai présenté d'une manière plus générale.

« J'ai fait voir que si l'on dirigeait successivement l'axe des y parallèlement aux m asymptotes d'une courbe de degré 7n et que, chaque fois,

on calculât le résidu de l'intégrale sin Y'X' / y'dx\ relatif au pied de

l'asymptote correspondante sur l'axe des x resté fixe, ces m résidus seraient liés entre eux par une relation telle que si {m — 1) d'entre eux étaient rendus nuls, ce qui arriverait dès que chacune des (m — 1) asymptotes correspondantes rencontrerait la courbe en trois points situés à l'infini, le m'«'"« résidu, dès lors, serait aussi nul.

« Les résultats suivants continuent naturellement à concorder.

« Toutefois, vous dites, page 404 :

« Nous appliquerons ce résultat à un exemple particulier, en consi- « dérant la courbe connue sous le nom de folium de Descartes. »

« Il me semble que le folium (1) ne constitue pas un exemple particulier, mais que si l'on rétablit le paramètre Hnéaire et qu'on ne suppose plus les axes rectangulaires, on aura la courbe la plus générale du troisième degré quarrable algébriquement.

« L'équation de la courbe la plus générale du troisième degré, quar-

(1) J'appelle ici folium, comme au reste le fait aussi M. Hermite dans sa réponse, non pas la courbe particulière

y3 j x» — daxy = 0,

rapportée à des axes rectangulaires, mais la courbe de même nature

y* + k^x^— 3fl^2xy= 0,

rapportée à des axes quelconques.

rable algébriquement, telle que je l'avais donnée dans les Comptes rendus, est

« Le choix des axes auxquels je l'avais rapportée résultait de cette remarque que le point double de la courbe quarrable du troisième ordre est le centre de gravité du triangle formé par les asymptotes, et que chacune des médianes de ce triangle est le diamètre de la courbe correspondant aux cordes parallèles à la troisième asymptote. Dans mon équation, 3m représente l'une des médianes, et 3a la base correspondante du triangle formé par les asymptotes,

« Cette équation ayant été obtenue directement en exprimant les conditions que la courbe devait remplir est bien l'équation la plus générale des courbes du troisième ordre quarrables algébriquement.

« Cependant les trois asymptotes du folium sont :

y=z — x—l, y= — a.x~ a^ y = — câx — a ;

et chacune des trois rencontre bien la courbe en trois points situés à l'infmi.

(( 11 semblerait donc qu'il y eut deux courbes du troisième ordre quarrables algébriquement, mais elles sont conjuguées l'une de l'autre et n'en font réellement qu'une.

« En effet, si l'on rapporte le folium à son axe de symétrie et à la perpendiculaire, son équation devient

qui, au facteur y — 1 près, rentre bien dans le type

ax A /^ +

« Toute la différence est que ma courbe a ses trois asymptotes réelles et que le folium en a deux imaginaires.

«Ce qui précède n'a d'autre objet que de servir d'introduction à ce que je me proposais de vous dire.

(c Vous ne donnez pas les conditions que doivent remplir les courbes

unicursales d'ordres supérieurs au troisième, pour qu'elles deviennent quarrables algébriquement. Il me semble cependant que votre méthode y conduirait. Peut-être avez-vous pensé que l'expression en serait trop compliquée. Mais peut-être aussi que, sachant qu'elles se réduisent à ce que les m asymptotes rencontrent chacune la courbe en trois points situés à l'infini, la recherche directe, par votre méthode, vous en paraîtra moins inabordable, et comme je serais très-désireux de vous voir ajouter ce complément à votre théorie, j'ai pris la liberté de vous soumettre la question.

0 Dans ma théorie, l'équation de la courbe quarrable de degré m se forme toujours aisément : si l'on ajoute au produit de m facteurs {y — QiX — b^,.... [y — QmX — bm), un polynôme de degré (w — 3), on a l'équation la plus générale des courbes de degré m, que leurs m asymptotes coupent chacune en trois points situés à l'infini.

{m 1) (m — 2) « On exprmie ensuite que la courbe a pomts doubles

donnés, ce qui donne des relations très-symétriques entre les coefficients des termes des divers degrés. »

Voici la réponse de M. Hermite, elle est datée du G août 1873.

« Monsieur, je ne puis répondre que bien succinctement à la lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire, étant sur mon départ, mais je ne veux pas tarder à vous dire que vous avez grandement raison à l'égard des courbes du troisième degré quarrables algébriquement. En donnant les expressions rationnelles

j'ai omis d'observer qu'on pouvait, sans changer l'équation en x et y,

remplacer 9 par — ^— , substitution qui laisse d'ailleurs ç (6) et <]^ (6),

fonctions rationnelles du troisième degré, mais en y introduisant trois constantes qui permettent de ramener tous les cas au seul et unique cas qui existe en réalité ; ceux que je m'étais figurés différents n'ayant de différence que l'apparence des fonctions » (0) et <]/ (0).

(( Devant très-prochainement partir en vacances, je ne puis entrer plus à fond dans l'étude de la question à laquelle vous vous êtes attaché et qui m'intéresse beaucoup, mais j'emporte votre lettre pour l'étudier à loisir plus tard.

« En vous remerciant, Monsieur, de votre communication qui m'a fait grand plaisir, je vous prie d'agréer l'assurance de mes sentiments les plus distingués. » Ch. Hermite.

M. Transon se vit obligé d'interrompre ses examens d'admission à l'École Polytechnique, le 20 août 1873, et je fus brusquement appelé à le remplacer, comme examinateur suppléant.

J'achevai les examens de Paris et je fis la tournée de province avec mon camarade M. Tissot et M. Debray, que je n'avais pas l'honneur de connaître, mais dont l'esprit, le caractère et la bienveillance me charmèrent.

J'avais pris la suite des examens de M. Transon le 24 août ; il ne restait à interroger à Paris que 64 élèves externes, appartenant pour la majeure partie à Sainte-Barbe, à l'école des jésuites et à l'école Monge.

M. Bouquet, directeur de l'école préparatoire de Sainte-Barbe, et M. Godart, directeur de l'école Monge m'avaient exprimé leur satisfaction sur ma manière d'interroger et de juger les candidats, et le général Riffault, qui commandait alors l'École Polytechnique, avait reçu des Pères jésuites l'expression d'impressions également favorables.

Mais j'éprouvai encore plus de satisfaction en province.

Au reste, M. Debray étant le contemporain et le camarade de presque tous les professeurs dont nous avions à examiner les élèves, leurs témoignages, qu'il recueillait, étaient d'autant plus probants qu'ils étaient plus libres; aussi, avaient-ils d'autant plus de prix à mes yeux.

A Douai, à Nancy, à Besançon, M. Debray n'avait reçu que des témoignages flatteurs pour moi. A Lyon, j'avais reçu les compliments du général Favé et le professeur de spéciales avait pris ma défense près du proviseur, qui avait craint un insuccès plus caractérisé que ne le comportait la faiblesse avouée des candidats, cette année-là.

Les professeurs de Moulins, de Clermont-Ferrand et de Grenoble, qui avaient accompagné leurs élèves à Lyon, avaient manifesté leur satisfaction.

A Toulouse, M. Forestier avait dit que j'avais classé ses élèves comme il l'eût fait lui-même et avait ajouté qu'il avait relevé dans mes examens des remarques très-fines, dont il ferait profiter ses élèves.

A Bordeaux, M. Debray m'avait dit : tout le monde est content, élèves et professeurs. On trouve que vous êtes très-clair, et on ajoute que vous posez des questions très-intéressantes, sur lesquelles on peut bien juger les élèves.

A Rennes, c'avait été le même concert de la part des professeurs de Rennes, de Nantes, de Brest et de Lorient.

A notre retour, M. Debray, qui, en qualité de président du jury d'examen, devait naturellement rendre compte de nos faits et gestes, s'exprima de la façon la plus explicite en ma faveur vis-à-vis du général commandant l'école et du directeur des études.

Il avait mis une grâce si parfaite à me transmettre ce qu on lui avait rapporté, *que l'affecLion que je lui avais vouée dès le début, n'avait fait qu'augmenter. ^

Son mérite et l'influence légitime dont il jouit me suggérèrent l'idée de lui demander un service.

Je songeais depuis longtemps à réunir en volumes tous mes Mémoires, mais je ne pouvais guère entreprendre sans aide une publication si onéreuse.

Je savais M. Debray lié avec M. Henri Sainte-Claire-Deville, président de la Commission des encouragements aux sciences-lettres, je le priai de me présenter à son ami et de le prévenir de ce que j'aurais à lui demander.

M. Sainte-Claire-Deville mfe reçut avec la grâce charmante qu'il met à toutes ses bonnes actions et me demanda seulement une lettre d'un savant en renom, pour mettre sa responsabilité à couvert.

Je m'adressai àM.Bonnet, quimeremit la note suivante pour être présentée par M. Sainte-Claire-Deville au mtfiistre de l'instruction publique.

« La Théorie des fonctions de variables imaginaires que M. Marie, répétiteur à l'École polytechnique, se propose de publier, a fait l'objet de rapports favorables présentés à l'Académie des sciences par MM. Cauchy et Sturm en 1854 et par MM. Bertrand, Bonnet et Puiseux en 1873.

(( Le Rapport sur les progrès de V Analyse en France, qui fut rédigé sur la demande du ministre de l'instruction publique, à l'occasion de l'Exposition de 1867, contient d'ailleurs un éloge spécial de l'ensemble de ce travail.

« Il serait désirable que cet ouvrage pût être publié avec les développements que comporte l'exposition de la méthode entièrement neuve de l'auteur.

« Malheureusement, l'entreprise d'une pareille publication présente de grandes difficultés matérielles.

« Je pense que FÉlat rendrait un grand service à la science en aidant autant que possible à la solution de ces difficultés.

« Je pense aussi qu'il y aurait un grand intérêt à ce que l'ouvrage de M. Marie pût être mis à la disposition des élèves de nos grandes écoles scientifiques et de nos Facultés des sciences.

« Les jeunes professeurs de mathématiques y trouveraient un nouveau champ d'études et de recherches. »

M. Sainte-Claire-Deville me dit qu'avec cette déclaration il pourrait demander ce qu'il voudrait et me donna un mot d'introduction près de M. 0. deWatteville, directeur de la section des sciences-lettres au ministère de linstruction publique, que mon affaire concernait.

iii« p. 21

Je remis à M. de Watteville la lettre de M. Sainte-Claire-Deville, la note de M. Bonnet, et ma demande au ministre.

Je pensais bien qu'un ami de M. Sainte-Claire-Deville ne pouvait être qu'un charmant homme, mais M. de Watteville dépassa mon attente.

La jolie lettre de M. Bonnet le décida instantanément, il me demanda seulement, pour être mieux armé près du ministre, de la faire aposliller par quelques autres savants.

M. Liouville devait être le premier à qui je m'adressasse; mais étant allé à l'Académie pour le voir, j'appris qu'il était encore à ïoul.

Je rencontrai M. Serret dans la salle des Pas-Perdus.

Je pense, contrairement à l'opinion générale des fonctionnaires, en France, qu'un fonctionnaire est chargé €e remplir la fonction dont il est investi ; et je crois avoir le droit, comme public, de requérir poliment un fonctionnaire de remplir sa fonction vis-à-vis de moi quand j'ai besoin de lui.

Je dis donc à M. Serret, en lui présentant la lettre de M. Bonnet, que M. de Watteville, désirant de nouvelles lumières, je croyais pouvoir le prier de donner son avis.

Il écrivit au bas : « Je pense, comme mon confrère M. Bonnet, qu'il serait à désirer que M. Marie fût mis à même de pouvoir publier ses travaux. »

Je crus aussi devoir m'adresser à M. Bertrand, parce qu'il était nommé dans la lettre de M. Bonnet, mais il refusa,

M. Bonnet avait eu l'obligeance de parler d'avance à M. Hermite, qui, me rencontrant quelques instants après, me demanda ce que je désirais.

Il écrivit tr^s-gracieusement : « Je me joins à mes deux confrères. »

Enfin M. Liouville, de retour huit jours après, ajouta : a J'apprécie les beaux travaux de M. Marie et j'appuie de tout cœur la demande. »

Ainsi nanti, je revins trouver M. de Watteville, qui me fit obtenir quelques jours après, de M. de Fourtou, une souscription à trois cent quinze exemplaires de mon livre, de façon que tous les frais fussent couverts.

Je crois devoir consigner ici l'expression de ma bien vive reconnaissance envers M. Debray, M. Sainte-Claire-Deville, M. Bonnet et M. de Watteville.

Le manuscrit était prêt, mais j'y ai fait diverses additions et modifications pendant l'impression.

J'y ajoutai le chapitre relatif à la courbure des surfaces imaginaires, âont je n'avais jamais eu le temps de m'occuper; puis le paragraphe relatif aux plans asymptotes et à leur enveloppe.

C'est en écrivant ce dernier article que l'espoir me vint de pouvoir faire pour les intégrales doubles l'équivalent de ce que j'avais fait peu avant pour les intégrales simples, c'est-à-dire de déterminer le nombre de leurs périodes, les circonstances dans lesquelles elles disparaissent, et les conditions pour qu'une surface algébrique puisse être cubée algébriquement. Je dirai quelques mots de ce travail un peu plus loin.

Les Mémoires sur les intégrales, que j'avais donnés par extraits dans les Comptes rendus, en 1872, bien que je n'en voulusse pas conserver le texte, puisque, pour les raisons que j'ai dites plus haut, j'en avais écarté le point de vue le plus intéressant, devaient néanmoins me servir à compléter la théorie. Je les fondis avec les anciens qui avaient paru dans le journal de M. Liouville, de façon à utiliser la démonstration que j'avais récemment donnéede l'indépendance de la valeur d'une intégrale envers la loi de progression des variables indépendantes, les limites restant les mêmes; ;\ compléter la défuiition d'une intégrale double, et surtout ù. améliorer la théorie des intégrales d'ordre quelconque.

C'est dans le cours de ce travail que j'arrivai à l'expression définitive des faits en ce qui concerne l'intervention de l'enveloppe imaginaire dans l'interprétation des périodes.

Comme je l'ai déjà dit, j'avais d'abord rejeté cette intervention, dans le cas où l'équation considérée aurait ses coefficients réels.

J'avais plus tard considéré l'enveloppe imaginaire des conjuguées d'un lieu représenté par une équation à coefficients imaginaires, comme une transformée de l'enveloppe réelle que représentait l'équation avant que ses coefficients devinssent imaginaires, ce qui m'avait amené à restituer à l'enveloppe imaginaire une partie de l'importance qu'elle a dans la question.

Mais dans le cas d'un lieu réel, pourvu môme du nombre maximum de branches réelles, l'enveloppe imaginaire joue encore, dans la question des périodes, un rôle important, que je n'avais pas aperçu plus tôt et qu'il fallait lui restituer, ce que je réussis à effectuer.

C'est au milieu de ces travaux que j'eus à m'occuper de ma candidature à la place d'examinateur d'admission, vacante pai- suite de la démission de M. Transon.

J'ai rapporté les impressions des professeurs dont j'avais eu à interroger les élèves.

M. Liouville. avait écrit à M. Serret le 7 avril 1874 :

«Mon cher confrère, permettez-moi de vous recommander bien vivement la candidature de M. Marie à la place d'examinateur d'admission à l'École polytechnique. Il a déjà rempli ces fonctions à la satisfaction générale. Quant à ses titres scientifiques, qui sont très-sérieux, vous n'avez pas besoin que je vous les rappelle. Je serais personnellement heureux qu'on lui rendît justice et j'appelle sur lui votre bienveillante attention. »

Il avait écrit à M. de Loménie le 14 avril :

« Monsieur et cher collègue, permettez-moi de vous recommander bien vivement là candidature de M. Marie à la place d'examinateur d'admission à l'École polytechnique, place qu'au reste il a déjà remplie l'année dernière très-convenablement, comme pourra vous le dire au besoin M. le Directeur des Études. Quant à moi, j'attache surtout de l'importance au succès de M. Marie parce que j'y vois une récompense naturelle et bien méritée de ses beaux travaux mathématiques. »

11 avait parlé en ma faveur à tous ceux de ses Collègues à l'Académie à qui il le pouvait faire.

Six à huit professeurs de spéciales des lycées de province avaient écrit à la direction des études pour demander qu'on me conservât dans les fonctions d'examinateur.

D'un autre côté, mon ancienneté à l'École et mon âge devaient ra'être comptés.

Quant à mes titres scientifiques, si tant est qu'il dût en être question, à propos des fonctions d'examinateur d'admission à l'École, ils étaient, je crois, suffisants.

Enfin, j'avais la possession, ce qui est beaucoup, car ne pas me nom? mer équivalait à me destituer.

Je croyais donc pouvoir dormir tranquille ; mais les savants se rangèrent contre moi, et leurs obsessions finirent par triompher des scrupules des administrateurs.

Les membres qui volèrent pour moi sont, au Conseil d'instruction : M. le général Durand de Villers, commandant l'École, M. Bonnet, Directeur des Études, M. Phillips, M. Bresse, M. Cahours et M. de Loménie; au Conseil de perfectionnement, M. Durand de Villers, M. Bonnet, M. Rolland et M. Bresse.

Je prie ces Messieurs d'agréer l'expression de ma reconnaissance.

Pendant ce temps, je donnais la dernière main à mon Mémoire intitulé : Classification des intégrales quadratHces des surfaces algébriques.

L'Académie de Belgique avait proposé comme sujet de prix à décerner en 1874 à& perfectionner , en quelque point important^ soit dans ses principes, soit dans ses applications^ la théorie des fonctions d'une variable imaginaire, je lui adressai mon Mémoire sous celte devise : Ne rien faire contre la conscience et philosopher sans souci des sots ni des méchants.

Le jugement du Concours devait être publié dans la séance du 15 décembre 1874.

J'avais vainement recherché à Paris le bulletin que devait publier l'Académie de Belgique, j'écrivis à M. Catalan, vers le 15 janvier 1875, pour lui demander de me dire ce qu'avait produit le concours. Il me répondit le 23 janvier.

« Mon cher camarade, l'unique Mémoire reçu au secrétariat a été fort remarqué. Entre autres choses, il contient un très-beau théorème. Malheureusement, ce théorème n'est pas démontré, ou il l'est incomplètement. En outre, la rédaction, qui semble avoir été faite avec une extrême pétulance, laisse énormément à désirer.

« En conséquence, dans la séance du 15 décembre, sur les conclusions conformes de MM. de Tilly, Steichen et Catalan, l'Académie a décidé que :

« 1° Une mention honorable serait accordée à l'auteur;

« 2° La question suivante serait mise au concours de 1876 :

« Perfectionner y en quelque point important, la théorie des fonctions de

VAÇIABLES IMAGINAIRES.

« Si, comme je le suppose, vous connaissez l'auteur du Mémoire (c'est moi qui, il y a deux ou trois ans, vous envoyai le programme), dites-lui qu'il peut prendre connaissance, au secrétariat, des Annexes, très-développées, à nos rapports.

« Salut cordial, »

Je lui répondis le 25 :

« Mon cher camarade, je ne savais pas que vous fussiez de l'Académie de Belgique, je vous en fais mon compliment.

« Puisque votre Académie n'a reçu qu'un Mémoire d'analyse, celuilà est le mien, sans ambiguïté.

« Ignorant encore que le verdict fût prononcé, je ne devais pas me faire connaître et vous vous êtes sans doute expliqué mon silence par ce motif.

« L'empêchement n'existant plus, je ne vois aucun motif de ne pas vous dire tout simplement : adsum qui feci.

« Toutefois, ne connaissant pas encore les termes du rapport, je ne vous fais qu'une confession auriculaire , non destinée à la publicité, môme en Belgique, c'est-à-dire que je vous prie de rester dépositaire du secret, jusqu'à nouvel ordre.

« Je vais faire demander à Bruxelles le compte rendu relatif à la séance du 15 décembre, de votre Académie. Quant à l'annexe dont vous me parlez, je serais heureux d'en avoir une copie, si je puis l'obtenir sans me nommer, et à cet égard je vous demande vos bons oflices.

«Je ne veux pas discuter vos conclusions, n'en connaissant pas les considérants, et je ne doute aucunement de la loyauté que la commission a dû mettre dans son examen. Mais je pense et, du reste, j'en avais déjà le pressentiment en envoyant mon Mémoire, que mes travaux antérieurs ne vous étaient pas suffisamment connus pour que vous pussiez juger de ce dernier qui, naturellement, se réfère à tous les autres.

« Quoi qu'il en soit, je vous serais bien obligé de me dire ce que vous avez pensé que j'avais voulu démontrer et quels points de la démonstration vous ont paru faibles, ou présenter des lacunes qui sont certainement comblées dans d'autres Mémoires déjà publiés. »

Yoici le jugement de l'Académie, en ce qui me concerne.

« Le Mémoire reçu en réponse à la question mathématique porte comme devise : Ne rien faire contre la conscience et philosopher sans souci des sots ni des méchants. Il a été soumis à l'examen de MM. Catalan de Tilly et Steichen.

Rapport de M. Catalan.

« Nous avons eu beaucoup de peine, M. de Tilly et moi, à tomber d'accord relativement aux propositions que nous devions soumettre à la Classe, touchant le Mémoire dont elle nous a confié l'examen. Il y a plus : à l'heure qu'il est, nous sommes divisés sur certains principes d'Algèbre et de Géométrie analytique. Si un tiers n'était en cause, j'indiquerais ici en quoi consistent ces divergences d'opinions. Mais, comiiie le dit fort bien mon savant confrère : « l'auteur aurait le droit 0 de se plaindre si l'on divulguait, sous prétexte de Rapport, une bonne « partie du contenu de son Mémoire. » Renvoyant donc à une Annexe l'exposé de mes principales objections, je résume ainsi les réflexions que m'a suggérées la lecture du Mémoire :

« 1° L'auteur paraît être un profond Géomètre;

« 2° 11 n'a pas démontré, ou il a démontré incomplètement, les propositions au moyen desquelles il prétend établir le très-beau théorème énoncé vers la fin de son travail ;

« 3° Le Mémoire, qui semble avoir été écrit avec précipitation, est fort mal rédigé ;

« 4° Néanmoins, l'auteur mérite un encouragement.

« En conséquence, j'ai l'honneur de proposer à la Classe :

« 1° Qu'elle accorde une mention honorable au Mémoire ayant pour devise : Ne rien faire contre la conscience et 'philosopher sans souci des sots ni des méchants;

« 2° Que la question suivante soit inscrite au programme du concours de 1876 :

« Perfectionner en quelque point important, soit dans ses principes, « soit dans ses applications, la théorie des fonctions de variables imagi- « naires.

« Que, eu égard à l'importance et à la difficulté de la question, le prix décerné (s'il y a lieu) ait une valeur de huit cents francs. »

Rapport de M. de Tilly.

« Conformément au règlement de l'Académie , j'avais fait une 'analyse sommaire du Mémoire portant pour devise : Ne rien faire contre la conscience et philosopher sans souci des sots ni des méchants. J'avais conclu provisoirement à l'approbation du Mémoire, mais en la subordonnant toutefois à la solution de quelques points douteux que je signalais et que j'espérais voir éclaircir avant l'époque du jugement du concours, soit par moi, soit par mes savants confrères, les deux autres commissaires. Cet espoir ne s'est pas réalisé et les doutes que j'avais éprouvés à la première lecture subsistent encore, si même ils ne sont pas devenus plus sérieux.

<t Dans cette situation, je dois me borner à déclarer que l'auteur du travail soumis à la classe a fait preuve d'un mérite incontestable, et à proposer de lui accorder une mention honorable, tout en maintenant la question au concours.

« A cause de cette dernière proposition, j'ai supprimé l'analyse que j'avais faite du travail présenté, car l'auteur aurait le droit de se plaindre si l'on divulguait, sous prétexte de Rapport, une bonne partie du contenu de son Mémoire. Toutefois, les objections faites doivent être connues de l'Académie. Elles sont indiquées dans l'Annexe ci-jointe, dont je demande le dépôt auxArchives.il serait aussi très-désirable que cesobjections fussent connues de l'auteur. C'est àluidetrouver un moyen d'obtenir la communication de l'Annexe sans se faire connaître, si toutefois

il désire continuer à prendre pari au concours, comme je l'espère. Dans tous les cas, les objections faites peuvent se résumer en quelques lignes :

« L'auteur, plein de son sujet, admet, soit comme évidentes, soit comme démontrées, un certain nombre de propriétés qui, pour moi, ne le sont pas. Je m'empresse d';ijouter que je ne suis pas en mesure d'en contester formellement une seule. Au contraire, j'incline à penser qu'elles sont toutes exactes, mais on ne peut exiger de moi, ni que je les admette de confiance, ni que | je recommence le travail pour le compléter et pour en justifier toutes les parties. L'auteur renvoie, il est vrai, à un Mémoire inséré dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, mais ce Mémoire lui-même, sauf en un point signalé dans l'Annexe, me paraît un tissu d'assertions sans preuves (1).

« En proposant de maintenir la question au concours, j'émets le vœu que l'auteur complète son œuvre et démontre rigoureusement, soit dans le texte, soit dans une Introduction, toutes les propositions qu'il invoque; ou, tout au moins, qu'il renvoie les lecteurs et les commissaires à des démonstrations connues et rigoureuses. Si, en même temps, il améliorait son travail sous le rapport de la forme, un peu négligée en certains endroits, ce travail deviendrait bien certainement digne du prix. J'estime qu'il ne faudrait pas longtemps à l'auteur pour faire les modifications que je demande et, si je ne consultais que cette considération, c'est pour le concours de 1875 que je voudrais voir reproduire la question ; mais cela est impossible : une question remise au concours doit l'être pour tout le monde et non uniquement pour le concurrent actuel.

« Je propose donc d'inscrire cette même question au programme du concours de 1876, mais, en même temps, d'augmenter le prix qui est affecté à sa solution. »

« Conformément aux conclusions de ces rapports, auxquelles a souscrit M. Steichen, troisième commissaire, la classe a voté une mention honorable à l'auteur du Mémoire et elle a décidé, en même temps, que la question serait remise au concours pour 187G. »

Dès que j'eus connaissance de ce rapport, j'écrivis, le 14 février 1875, au Président de l'Académie de Belgique :

« Monsieur le Président, l'auteur du Mémoire adressé à l'Académie sous la devise : Ne rien faire contre la conscience et philosopher sans souci des sots ni des méchants, n'a qu'à se louer des termes dans lesquels il est

(l) L'auteur dit que l'étude de ce Mémoire préliminaire suffit poursuivre la lecture du travail qu'il présente. Je l'ai étudié, ainsi que plusieurs autres, relatifs à la mûme question, sans parvenir à dissiper tous mes doutes.

parlé de lui dans les rapports de MM. de Tilly et Catalan, et il n'a pas à s'étonner beaucoup que son Mémoire n'ait pas paru très-clair, la question qu'il y traitait se mêlant à une foule d'autres en cours d'élaboration en Allemagne et en France.

« Mais la résolution que l'Académie, dans l'embarras où elle se trouvait, a cru devoir prendre, n'est pas celle qu'il lui paraît que la situation comportait ; il lui semble que l'Académie aurait du dire :

« L'Académie ignorant les sources où a puisé l'auteur et ne pouvant 0 refaire les preuves des assertions, en apparence gratuites, qu'il émet, « déclare : « Si l'auteur, en se faisant connaître, se soumet aux questions qui « lui seront adressées, et y répond victorieusement , il aura satisfait aux (( conditions du programme. »

a Quant à la résolution adoptée par l'Académie, l'auteur anonyme vous demande la permission, monsieur le Président, de vous en faire remarquer le danger.

<( L'auteur concourra ou ne concourra pas en 1876 ; mais quant à son Mémoire, il sera certainement publié en 1875.

« L'auteur le publiera sans y faire d'additions qui seraient inutiles, et en en retranchant au contraire des longueurs qui le déparent. Mais tel quel, il ne faudra certainement, aux personnes compétentes, que le temps nécessaire pour lire les quatre pages qui paraîtront dans le compte rendu des séances de l'Académie des sciences de Paris pour juger de l'exactitude du théorème qui constitue tout son Mémoire.

« Du reste, peu au courant des choses académiques, l'auteur, pour s'assurer que son Mémoire était digne d'être présenté à l'Académie de Belgique, l'avait montré, en secret, à l'un des membres de la section de géométrie de notre Académie des sciences, lequel avait trouvé ce Mémoire très-beau et très-clair, parce qu'il était au courant des questions dont j'ai parlé plus haut. (C'est à M. Bonnet que je l'avais montré).

« Le jugement qui serait porté par les savants sur mon travail ne saurait donc être douteux.

« C'est là un danger que je signale à l'Académie de Belgique.

« Si l'Académie partage mes appréhensions, et croit bon de prendre la décision que j'ai indiquée plus haut et qui, au reste, était celle que M. de Tilly était sur le point de formuler, elle n'a qu'à rompre le cachet et à m'écrire. Je me mettrai à ses ordres et j'espère m'entendre bien facilement avec des géomètres tels que MM. Catalan, de Tilly et Steichen.

« Je crois au reste, monsieur le Président, que la solution que j'ai l'honneur de vous indiquer est de toute justice à mon égard, c'est la seule qui ne me prive pas arbitrairement d'un droit acquis , en substituant une date à une autre pour le concours.

« M. Catalan qualifie la principale proposition contenue dans mon

Mémoire de très-beau théorème, le prix doit donc m'être accordé si ce théorème est exact; or la démonstration en est juste ou fausse dès maintenant, et cette question doit être vidée maintenant, parce qu'elle peut l'être.

a Les Académies ont bien remis de tout temps au concours, des questions à peine ébauchées^ mais jamais on n'a remis l'examen de démonstrations mathématiques. »

J'écrivis à M. Catalan par le même courrier.

a Mon cher camarade, j'ai Iule compte rendu de la séance du 15 décembre de votre Académie, et je vous remercie du bien que vous avez dit de moi, anonyme.

. « Mais je demande, au lieu de celle qui a été adoptée, une solution véritable; je demande que le président rompe mon cachet et me mette en demeure de prouver que mes démonstrations sont justes, auquel cas il serait déclaré que j'ai satisfait aux conditions du programme.

0 Vous avez trop le sentiment de la justice, mon cher camarade, pour ne pas voir que ce que je demande n'est après tout que ce qui m'est dû, et j'espère que vous appuierez ma proposition, lorsqu'elle paraîtra devant l'Académie. — Je vous le demande.

« Quant au motif qui ne me permet pas d'attendre 1876, date qui ne saurait du reste m'être imposée, c'est que mon Mémoire doit paraître en 1873, dans le second volume de ma Théorie des fonctions de variables imaginaires, dont j'ai déjà trois feuilles.

« Confiant dans votre équité, mon cher camarade, et reconnaissant de votre jugement déjà porté, je me dis, d'autant plus, votre bien dévoué, etc.

((P. -S. Je pense que la question que je soulève pourra être traitée en comité secret. Quant à moi, je n'ai rien dit à personne. Je suis au lit depuis le 1" février avec une fluxion de poitrine qui vient seulement, depuis trois jours, de tourner du bon côté.

a En cas de refus par l'Académie de ma proposition, voulez-vous me permettre d'espérer que vous m'en aviseriez directement? »

M. Catalan me répondit le 20.

« Mon cher camarade, ce que vous demandez est absolument impossible : vous allez le comprendre. Comment voulez-vous que l'Académie, api'ès avoir remis la question au concours, déclare que l'auteur du Mémoire non couronné a mérité le prix? Comment voulez-vous que, contrairement à tous les règlements possibles, elle retire du concours la question proposée pour 1870? Pourquoi ne vous ôtes-vous pas donné la peine de

faire un travail clair, bien rédigé? Pourquoi n'avez-vous pas donné les démonslrations des lerames (non tombés dans le domaine public) nécessaires pour établir ce théorème, qui me paraît très-beau : pour que le volume d'un corps soit exprimable algébriquement , il suffît que les aires de toutes les sections planes le soient (je cite de mémoire)? Vous parlez, je crois, d'asymptotes ayant avec la courbe (algébrique), trois points communs à l'infini. Je crois avoir démontré que ce nombre de points communs est nécessairement pair. Mais, probablement, il n'y a là que des différences de points de vue.

Quanta la forme de, votre travail, elle est si négligée, si défectueuse, que ce manuscrit a l'air d'une composition pour les prix, écrite sur le genou ! Pour moi, qui ai eu affaire aux Académies et qui n'en ai pas toujours été bien traité (tant s'en faut!) je n'aurais jamais ose leur adresser un pareil griffonnage ! Toutes ces remarques, et bien d'autres? encore, sont dans les annexes aux deux rapports.

<c Maintenant, mon brave camarade, que voulez-vous que je fasse? Voulez -vous qu'à la première séance (6 mars), je donne communication de votre lettre? Aimez-vous mieux écrire directement au général Liagre, "secrétaire perpétuel? Voulez-vous que je vous fasse envoyer une copie des annexes? Je suis tout à votre disposition. »

Les reproches de M. Catalan n'étaient aucunement fondés : le Mémoire avait été rédigé avec le soin que j'apporte à tous mes travaux et, du reste, on peut aisément en juger, car je l'ai publié tel que je l'avais adressé à Bruxelles, sauf, comme je le dis plus loin, en ce qui concerne l'application de la théorie aux surfaces du troisième ordre ; la copie en avait été faite très-lisible, sur du papier écolier parfaitement propre et cousu de fil bien blanc.

Mais l'objection de M. Catalan relative aux asymptotes des courbes algébriques, qui les coupent toujours en un nombre pair de points à l'infini, rapprochée de cette phrase de son rapport : « Il y a plus, à l'heure qu'il est, nous sommes divisés sur certains principes d'algèbre et de géométrie analytique », semblait indiquer que le fond avait plus embarrassé que la forme.

Je répondis, le 21 février, à M. Catalan.

« Mon cher camarade, je ne demande aucunement que l'Académie retire la question proposée pour 1876, qui est assez large pour pouvoir rester au concours au delà de cent ans, après le couronnement de cinquante Mémoires à raison de un pour deux ans. Non-seulement je ne le demande pas, mais si l'inspiration ne me fait pas défaut, je concourrai en 1876.

« D'un autre côté, ce n'est pas mon théorème que l'Académie a remis

au concours; par conséquent rien ne s'oppose à ce que l'Aeadémie, après avoir entendu l'auteur dans les explications qu'il aura à donner sur la demande des commissaires, déclare que le Mémoire non jugé a mérité le prix.

« Ce que je dis, c'est que la solution que l'Académie a adoptée n'est pas celle qui eût dû intervenir. L'Académie, ayant besoin d'éclaircissements, devait, à mon sens, dire : Si l'auteur du Mémoire veut autoriser la rupture de son cachet, s'il veut répondre aux objections qui lui seront faites et s'il lève tous les doutes, sans rien ajouter d'essentiel à son Mémoire, il aura le prix.

« Cette solution était la seule équitable envers l'auteur et la seule que l'Académie eût le droit de prendre (je ne suppose pas que vous admettiez la théorie de l'omnipotence des assemblées et de leurs droits contre le droit), je demande qu'on y revienne et je fais remarquer en même temps qu'il y a danger pour l'Académie à ne pas y revenir, car le Mémoire publié d'ici deux à trois mois sera jugé par toute l'Europe, et le jugement de l'Académie sera, par suite même, soumis lui-même au jugement du monde savant.

(! Vous trouvez ma rédaction mauvaise, obscure, etc. J'ai relu mon Mémoire et je l'ai trouvé semblable à tout ce que j'écris. Toutefois la partie intitulée application aux surfaces du troisième ordre pouvait être énormément simplifiée et le sera, mais je ne crois pas que je change rien au reste. Je crois que l'ennui de ne pas saisir le fond vous a fait paraître la forme plus vicieuse qu'elle n'est. Mais enfin je passerai condamnation si vous voulez. Quand il s'agit d'un très-beau théorème, il importe peu que la rédaction en soit plus ou moins défectueuse.

« Quant à l'écriture, c'est celle de mon fils, elle ne m'avait pas paru mauvaise, il me semblait même que le manuscrit était très-lisible.

« Les lemmes nécessaires pour établir mon Mémoire sont tous tombés dans le domaine public, mais ils peuvent n'être pas connus et je ne suis pas étonné qu'ils ne le soient pas. Ces lemmes, énoncés dans mon Mémoire intitulé Classification des intégrales quadratrices des courbes algébriques, auquel j'avais eu soin de renvoyer, sont explicitement établis (sauf le dernier qui se rapporte aux résidus relatifs aux asymptotes, mais qui est très-complètement démontré dans mon Mémoire), dans le premier volume du Cours d'analyse de V École polytechnique de M. Hermite, qui a paru il y a plus d'un an (voir chapitre des Courbes unicursales).

« Je n'ai pas expressément indiqué cette source, parce que je l'avais fait dans celui de mes Mémoires auquel je renvoyais. — (Je vous prie d'accepter ce Mémoire, qui a paru avec beaucoup d'autres dans le dernier cahier du journal de l'École polytechnique et que je fais mettre à la poste avec cette lettre.)

« Gela posé, je vous prie de me permettre les quelques explications*

qui me paraissent les plus uliles pour l'intelligence de mon Mémoire. « Si l'on rapporte une courbe du degré m à une de ses asymptotes prise pour axe des y, l'équation de cette courbe prend la forme

x?/'«-» + {ax^ -\-bx-\-c) 3/«-2 -f {dx^ + ex^ -f fx-\-g) y"^-^ -f- . . . = O;

si c est nul et que g ne le soit pas, l'axe des y coupe la courbe en trois points situés à l'inQni et en trois seulement.

« Donc vous n'avez pas pu démontrer que le nombre des points de rencontre à l'infini d'une courbe avec une de ses asymptotes est nécessairement pair.

« c, dans l'exemple, est ce que Cauchy appellele résidu relatif à l'origine.

C'est le quotient par 2ii y— 1 de la valeur de l'intégrale / ydx, prise dans un contouf infinitésimal entourant l'origine , de sorte que Sttc V — 1 est la valeur de cette intégrale et cette valeur est l'une des périodes logarithmiques ou cycliques de la quadratrice de la courbe.

« Mais tandis que dans la théorie de Cauchy cette période ne se manifeste ou ne peut être signalée qu'autant que l'axe des y a une direction parallèle à l'asymptote considérée, au contraire, d'après ma théorie, les périodes sont permanentes, elles dépendent de la courbe à quarrer et nullement du choix des axes. (Rapport de Cauchy et Sturm, du 8 mai 1854, sur mon Mémoire de 1853, relatif aux intégrales simples et doubles et à leurs périodes.) Le fait est d'ailleursen quelque sorte évident, puisque les aires des segments correspondant à un même arc d'une courbe, rapportée à des axes différents, ne diffèrent que par un trapèze et'la différence de deux triangles, de sorte que les quadratrices d'une même courbe, rapportée à des axes différents ne différant, que par des parties algébriques, ont nécessairement mêmes périodes.

« D'après cela, les périodes logarithmiques ou cycliques de la quadratrice d'une courbe sont les résidus relatifs aux asymptotes (j'appelle

résidu la valeur même Sttc y — 1 de l'intégrale, valeur qui est quelque

chose de tangible, au lieu du quotient de cette valeur par 2tt \/ — 1, quotient qui tombe des nues).

«Cela posé, on savait par les travaux de Clebsch, reproduits par M. Hermite , dans sa Théorie des courbes unicursales , que la quadratrice d'une courbe de degré m qui a le nombre maximum,

— ,de points doubles, n'a que des périodes logarithmiques,

en nombre m — 1, (j'ai démontré de mon côté que si les résidus relatifs à m — 1 asymptotes sont nuls, le m^""^ l'est également), et M. Hermite se donnait un mal infini pour exprimer leur évanouissement, lorsque je suis venu dire : Pour que les périodes logarithmiques disparaissent et

que la courbe soit, par suite, quarrable algébriquement, il suCfît que chacune des asymptotes de cette courbe la coupe en trois points situés à l'infini, c'est-à-dire que son équation rentre dans le type

{y — a, X— b,)[y — a.—b^i {y — a,nX — b,n) + ^m-z {x.y)=0

0,„3 désignant un polynôme complet du. degré (m— 3).

a Non-seulement M. Hermite a reconnu l'excellence de cette solution en disant hautement que j'avais exprimé de la façon la plus élégante la condition d'évanouissement des périodes logarithmiques, mais dans une lettre que j'ai de lui, il a reconnu l'erreur qu'il avait commise, dans son chapitre des Courbes unicursales, et que je lui avais signalée, en citant comme exemple de courbes du troisime degré quarrables algébriquement, le folium de Descartes, tandis que cette courbe et sa conjuguée, sauf les courbes paraboliques, dont on ne parle pas, sont les seules courbes du troisième ordre qui se quarrent algébriquement.

« Je n'énoncerais pas mon théorème comme vous le faites, car j'aurais pu prendre pour point de départ évident que pour qu'une surface algébrique puisse être cubée algébriquement, il faut que toutes ses sections planes soient quarrables algébriquement, puisque si la quadratrice S de la section par un plan parallèle à un plan donné, mené à la distance u de l'origine, était transcendante et périodique, la cubatrice

S du

ne serait assurément pas algébrique.

« Mon théorème consiste dans l'intégration des conditions (B), (C) et (D), qui jointes à celle que la surface ait une courbe double de l'ordre

— —, expriment que toutes les sections planes de la surface

sont quarrables algébriquement.

« Sans cette intégration, le théorème n'aurait que la valeur d'un énoncé presque évident, il ne pourrait pas être appliqué. Avec celte intégration, il permet de dire que les surfaces de degré m, cubables algébriquement, ont leurs équations comprises dans le type

{a,x + b^y -f c,z + (/i) . . . («m x -\- b„xy -f c^z + dm) + ^m-2 (ar, y , 2) = 0

et présentent d'ailleurs une courbe double de degré ,

condition qu'il est possible d'exprimer en quantités finies.

« Quant à la suffisance de ces conditions, j'y crois sans hésitation, mais je ne l'ai pas démontrée. Je n'y ai pas même essayé.

« J'ai écrit au président de l'Académie de Belgique pour lui demander de faire prévaloir la solution que je vous ai indiquée. Je vais lui écrire

de nouveau, en rompant l'anonyme, qui n'a plus aucune raison d'être, et j'écrirai aussi à M. de Tilly. — Mais je vous demande de plus en plus de plaider ma cause, prenant la liberté de vous faire remarquer que si justice ne m'est pas rendue par l'Académie, elle me le sera certainement par l'opinion, aux dépens de l'Académie, ce qu'il faut éviter dans l'intérêt de tous.

«Je vous remercie de vos souhaits de meilleure santé. Grâce à la force de ma constitution, j'ai heureusement échappé. Il n'y a eu qu'amélioration continue depuis le premier jour de la maladie, et je suis depuis dix jours au moins en pleine convalescence ; seulement le temps est si mauvais que je resterai encore quelque temps astreint aux plus grandes précautions. »

J'écrivis à M. de Tilly, le 22. février.

« Monsieur, je ne puis que vous remercier des termes flatteurs dans lesquels vous parlez de moi, dans votre rapport du 15 décembre dernier et, surtout, des soins consciencieux que vous avez apportés à l'étude de mon Mémoire.

« Je regrette la peine qu'il vous a donnée.

« Les théorèmes connus ou du moins tombés dans le domaine public, sur lesquels je m'appuyais, sont établis dansla Théorie der Abêlschen Functionen de Clebsch, de 1866, que je cite dans mon mémoire intitulé : Classification des intégrales quadratrices des courbes algébriques, mais qui, j'en conviens, est d'une lecture presque impossible, et dans le p/'emier volume du Cours d'analyse de l'École polytechnique de M. Hermite, chapitre des Courbes unicursales, qui a paru il y a plus d'un an, mais que vous ne connaissez peut-être pas.

« Comme je citais M. Hermite dans le mémoire auquel je renvoyais je n'ai pas cru nécessaire d'indiquer spécialement son ouvrage. Je le regrette, parce que vous y auriez trouvé les énoncés, dans lesquels vous eussiez pu avoir confiance, de toutes les propositions qui paraissent vous avoir embarrassé dans la lecture de ma classification des intégrales quadratices des courbes algébriques, et par conséquent de toutes celles non démontrées dans mon Mémoire soumis à l'Académie de Belgique, qui étaient nécessaires pour en faciliter l'intelligence.

« Vous comprendrez. Monsieur, je l'espère, que je pouvais supposer connus de l'Académie tous les ouvrages suffisamment recommandés par les noms de leurs auteurs, qui se rapportaient à la question mise au concours.

(c Quoi qu'il en soit, je vous prie de me permettre quelques observations au sujet de la résolution adoptée par l'Académie, résolution qui ne me paraît pas pouvoir être maintenue, tant parce qu'elle viole l'équité

à mon égard que parce qu'elle engage d'une façon trop grave la responsabilité de l'Académie.

« Il me semble que l'Académie, dans l'embarras où elle se trouvait, devait dire ; Si l'auteur autorise la rupture de son cachet, qu'il se soumette aux demandes d'explications qui lui seront faites et qu'il réponde victorieusement, il obtiendra le prix ; c'est la solution que l'on voit que vous avez eu au bout de la plume. C'était la seule admissible.

« J'ai écrit à M. le Président de l'Académie pour le prier de proposer à l'Académie de revenir à cette solution, lui montrant combien la décision prise était contraire au droit, en ce qui me concerne, et combien elle pouvait être préjudiciable à l'Académie, si mon Mémoire, publié tel quel, dans quelques mois (il doit l'aire partie du second volume de ma Théorie des fonctions de variables imaginaires, qui est sous presse) était jugé bon par tous les hommes au courant des derniers progrès de la science.

« Je vous prie également. Monsieur, de peser ces considérations et, si elles vous paraissent justes, d'appuyer ma réclamation lorsqu'elle viendra devant l'Académie.»

J'écrivis peu de jours après à M. le Président de l'Académie de Belgique.

« Monsieur le Président, je ne sais pourquoi j'ai conservé l'anonyme dans la lettre que j'ai eu l'honneur de vous écrire il y a huit jours; l'Académie d'une part ayant rendu son jugement et moi de mon côté renonçant à reporter mon Mémoire pour le concours de 1876, il vaut mieux à tous égards que je me fasse connaître.

(( Je ne veux du reste rien ajouter à ma dernière lettre, dont j'espère que le contenu aura frappé votre esprit.

«Mais je tiens à vous faire connaître les motifs qui me font renoncer à profiter des offres bienveillantes (quoique arbitraires) de l'Académie à mon égard. Mon Mémoire doit paraître dans le second volume de ma Théorie des fonctions de variables imaginaires, dont la publication a été promise aux souscripteurs pour le mois de mars 1875 et dont j'ai déjà six bonnes feuilles.

'I Je serais heureux, monsieur le Président, que vous voulussiez bien me faire savoir si mes raisons vous ont paru fondées et si vous me ferez l'honneur de défendre ma proposition devant l'Académie.

« Je vous ferai remarquer qu'en l'adoptant, l'Académie ne s'obligerait en rien à modifier les termes du concours pour i876, le sujet étant assez vaste pour rester utilement à l'étude, pendant bien des années, après avoir donné lieu à bien des récompenses. »

M. de Tilly me répondit le 20 février 1875.

Hi" p. 22

« Monsieur, je viens de recevoir aujourd'liui l'ouvrage que vous m'annonciez il y a quelques jours et je m'empresse de vqus remercier pour cet envoi.

a La lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire renferme des considérations relatives, d'une part, à la décision prise par l'Académie; d'autre part, à la question même qui était et est de nouveau mise au concours,

« Je ne pourrais guère discuter la décision prise sans mettre en cause, ou bien les autres commissaires, ce qui ne serait pas convenable, ou bien les règlements de l'Académie, ce qui paraît inutile, tout concurrent étant censé les connaître et en accepter les conséquences.

(( Je me bornerai à une simple observation : si la lecture des rapports vous a fait croire que l'un des commissaires avait au bout de la plume une solution autre que celle qu'il a proposée, vous auriez dû logiquement en conclure qu'il s'est trouvé devant une impossibilité. L'Académie se trouvera, je pense, devant la même impossibilité lorsqu'elle recevra la lettre que vous avez adressée à son président.

« Quant au fond de la question, je dois m'en référer à mon Rapport. 11 est vrai que sa partie la plus importante n'a pas été publiée, mais c'est uniquement pour la raison loyalement exprimée dans l'autre partie, que vous avez lue. Du moment qu'il sera prouvé que cette raison n'existe pas ou n'existe plus, soit par votre déclaration, soit par la publication de votre travail, en dehors de l'Académie, je serai tout prêt à demander que mon Rapport soit complété par la reproduction textuelle au Bulletin, de l'Annexe actuellement déposée aux Archives. Alors la discussion du fond sera possible. Si elle doit avoir lieu, elle prouvera, sans aucun doute, votre compétence et même votre supériorité dans la question dont il s'agit, mais elle prouvera en même temps, j'espère, que les conclusions des Rapports ont été mûrement réfléchies, et par des hommes moins arriérés que vous ne paraissez le supposer dans votre lettre, écrite, d'ailleurs, avec une courtoisie de forme que je me plais à reconnaître. Veuillez agréer, Monsieur, l'expression de mes sentiments de respect et de sincère sympathie. »

Croyant devoir aller jusqu'au bout> je répondis à M. de Tilly le 27 février.

<i Monsieur, je n'ai rien dit, je crois, qui pût donner à penser que je supposasse arriérés les honorables membres de la commission appelée à juger mon Mémoire.

a Vous avez dit dans votre rapport :

« L'auteur renvoie, il est vrai, à un mémoire inséré dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, mais ce mémoire lui-même.

« sauf en un point signalé dans l'Annexe, me paraît un tissu d'assertions (t sans preuves. »

« J'ai bien dû conclure de là que vous ne connaissiez pas les théorèmes, très-connus aujourd'hui, que renferme ce Mémoire, mais j'ai d'autant moins songé à vous en faire un reproche que je ne les connaissais pas moi-même, il y a deux ans, et que je les ignorerais peut-être encore si je n'avais pas eu à produire un travail personnel sur la matière.

« Seulement, le fait étant constant, j'ai cru pouvoir dire : Vous trouverez dans l'ouvrage de M. Hermite les démonstrations rigoureuses que vous demandez et auxquelles je n'ai songé à apporter que des éclaircissements; et je crois que vérification faite vous jugerez bon vous-mêmes de revoir votre jugement.

«Maintenant, Monsieur, je vous prie de me permettre de vous poser une dernière fois la question, avant que la discussion ne vienne devant l'Académie : à quoi pourra-t-il servir de refuser de m'enlendre? A quoi pourra-t-il servir de maintenir un jugement que, d'après son aveu même, la commission n'a formulé qu'à son corps défendant, parce qu'il fallait bien en rendre un, et, au fond, en évitant de se prononcer, faute d'avoir la certitude de ne pas se tromper? Je prendrai la parole quand je le voudrai, et il est bien clair que l'opinion me donnera d'autant plus raison qu'on m'aura plus opiniâtrement refusé une chose juste, naturelle et simple. Pourquoi ne pas éviter ces tiraillements? A quoi bon me forcer à porter devant le public une question qui peut se résoudre sans éclat, par l'application la plus simple des principes les plus élémentaires de la justice?

«Vous me parlez de règlements de l'Académie, mais la première règle du juge (c'est le premier article du Code civil) est déjuger, dans les affaires qui lui sont soumises; or vous n'avez pas jugé dans celle dont il s'agit, vous avez remis votre jugement à deux ans. Comme plaideur, je réclame, mais, plaideur de bonne foi, je n'en appelle qu'à mes premiers juges, les priant seulement de ne pas repousser les preuves qui peuvent porter la lumière dans leur conscience.

« Je ne puis pas m'empêcher d'espérer, tant ma cause me paraît juste, d'obtenir votre assentiment personnel.

Je crois que l'Académie de Belgique se serait fait honneur et eût donné un bon exemple en consentant à reviser mon procès. Tous les hommes se trompent, et à plus forte raison les groupes d'hommes, mais une erreur réparée grandit; maintenue, elle amoindrit au carré.

Le rejet de ma demande me fut annoncé par les deux lettres suivantes de M. de Tilly et de M. Liagre.

Bruxelles, le 8 mars lb7 5. <

« Monsieur, je dois une réponse à la dernière lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire. J'ai présenté votre demande à l'Académie qui a entendu d'ailleurs la lecture de la lettre que vous avez adressée à son président), mais, après y avoir mûrement et consciencieusement réfléchi, je n'ai pu l'appuyer formellement, ce qui du reste eût été parfaitement inutile. Jamais la classe n'y eût consenti. Elle a déclaré maintenir sa première décision. Vous traitez trop légèrement les questions réglementaires et l'exemple que vous empruntez au droit civil n'est nullement concluant. La première règle du juge est déjuger, dites-vous. Oui, mais en se conformant aux lois et au Gode de procédure. Certains modes de recherche de la vérité, qui seraient quelquefois très-efficaces, sont cependant interdits à cause des abus graves auxquels ils pourraient donner lieu.

« C'est ici le cas. Nous avons jugé d'après ce que nous savions.

« La discussion entre l'auteur et les commissaires est admise pour les Mémoires ordinaires. Elle est formellement interdite dans les concours. L'auteur doit prendre ses précautions pour que les commissaires trouvent aisément les sources auxquelles il a puisé . Reste à savoir si ces commissaires ont fait preuve, dans l'examen du Mémoire tel qu'il est, de négligence, de mauvais vouloir ou d'ignorance. J'attendrai que cela soit dit pour y répondre. Mais je dois vous faire observer que la phrase que vous extrayez de mon Rapport ne prouve pas que je n'aie fait aucune objection en dehors des points pour lesquels vous renvoyez aux comptes rendus.

« Je regrette. Monsieur, que cette affaire n'ait pas pu aboutir à un résultat plus satisfaisant pour vous, et j'espère bien sincèrement pouvoir mieux vous prouver, dans une autre occasion, l'estime que m'inspirent vos travaux.

« J'ai l'honneur d'être, avec respect, votre bien dévoué serviteur. »

Jh DE TiLLY.

Bruxelles, le 9 mars 1875.

(( Monsieur, dans sa séance du 6 de ce mois, la classe des sciences de l'Académie royale de Belgique a pris connaissance des observations que vous lui avez adressées au sujet du jugement qu'elleavait porté sur votre Mémoire de concours.

H La classe a cru devoir maintenir sa décision, et la question relative aux fonctions d'une variable imaginaire continuera par conséquent à figurer au programme du concours de 1876.

M Veuillez agréer, Monsieur, l'expression de mes sentiments les plus distingués.

« Le secrétaire perpétuel de l'Académie,

J. LlAGRE.

« Je saisis cette occasion pour vous offrir les remercîments de l'Académie au sujet de votre travail imprimé que j'ai offert, en votre nom, h la classe des sciences, lors de la séance mensuelle de samedi dernier. »

Dès que j'eus connaissance de la décision prise à Bruxelles, j'adressai mon Mémoire à l'Académie des sciences de Paris.

L'extrait que j'envoyai, en même temps, pour le Compte rendu et qui parut dans le numéro correspondant à la séance du 22 mars 1875, contenait seulement la démonstration de ce théorème que, pour qu'une

intégrale double / / zdxdy n'ait aucune période, il faut que la surface

dont les coordonnées sont x^y Qiz contienne une courbe double de

degré ^ , m désignant le degré de cette surface, que son

équation puisse se mettre sous la forme du produit de m fonctions linéaires, augmenté d'un polynôme de degré (w — 3) et que les asymptotes des sections parallèles aux m plans représentés par les équations à zéro des m fonctions linéaires, ne coupent ces sections qu'en (m — 4) points à distance finie.

Voici le préambule de cet extrait.

Classification des intégrales cubatrices des volumes terminés par des surfaces algébriques. Définition géométrique des surfaces capables de cubature algébrique.

« Ne pouvant aborder dans cet extrait toutes les questions traitées dans mon Mémoire, je me bornerai au point le plus saillant.

« Pour qu'une surface algébrique puisse être cubée algébriquement, il fautévidemment que toutes ses sections planes soient quarrables algébriquement. Or, pour qu'une courbe algébrique de degré m soit quarrable

algébriquement, il faut que cette courbe présente ^ -^ -

points doubles, ce qui résulte des travaux de M. Glebsch, et que toutes

ses asymptotes la coupent chacune en trois points situés à l'infini, ce

que j'ai établi dans mon Mémoire intitulé : Classification des intégrales

quadratrices des courbes algébriques.

(fil — ^)(m 2)

« Pour que toutes les sections planes d'une surface aient ^ ^

points doubles, il faut que cette surface présente une ligne double de

degré -^ — ^. Cette condition s'exprimera par des équations

en quantités finies que l'on sait former.

« Quant aux autres conditions, elles s'expriment par des équations aux différences partielles du second ordre dont il s'agissait d'obtenir les intégrales générales, ce à quoi je suis parvenu, ce qui me permet de formuler le type le plus général des équations des surfaces algébriques, capables de cubature algébrique. »

L'article se terminait par ces mots :

« En appliquant la méthode aux surfaces du troisième ordre, on trouve que, en dehors des surfaces qui auraient partie de leurs plans asymptotes à l'infini, les seules qui soient capables de cubature algébrique sont les cylindres à base de folium et à base de trèfle,

ax . x-^-'àm | ^-^ 4 /

^ ~ ~" iw V x — m ^ -^ ~ ~ 2m V

conjugués l'un de l'autre. »

J'ai déjà dit qu'au moment de donner la fin de la copie pour mon second volume, j'avais voulu déterminer la relation qui devait exister entre les m périodes cycliques, ou résidus, de la quadratrice de la courbe la plus générale du nè^'^^ degré .

La question, en raison de l'état d'avancement de la théorie et des avantages de la méthode dont je me sers, était beaucoup plus simple qu'elle ne le paraissait et je la résolus aisément. J'en adressai la solution à l'Académie des sciences, avec la lettre suivante pour le président.

« Monsieur le Président, j'ai démontré, dans mon Mémoire intitulé : Classification des intégrales quadratrices des courbes algébriques, que si les résidus relatifs à (m — 1) asymptotes d'une courbe de degré m venaient à s'annuler, le m*'^'«« s'annulerait aussi; ou que les m périodes cycliques de la quadratrice d'une courbe de degré m sont liées entre elles par une relation telle que, si (m — \) d'entre elles s'annulaient, la ^ième devrait s'annuler également.

a Cette proposition permettait de préjuger que les m périodes cycliques devaient être liées entre elles par une relation linéaire.

« Cette relation, au reste, était déjà connue dans le cas particulier des courbes unicursales. M. Hermite a démontré, en effet, d'après M. Clebsch, je pense, que, dans ce cas particulier, la somme des m périodes cycliques est nulle.

« La même relation lie entre elles les m périodes cycliques.de la quadratrice de la courbe la plus générale de degré m, je le démontre dans la note ci-jointe. J'espère que vous voudrez bien autoriser l'insertion de cette note aux Comptes rendus, en raison de l'intérêt qui s'y attache, au point de vue des progrès ultérieurs des théories les plus générales du Calcul intégral. »

Ma note parut dans le numéro des Comptes rendus relatif à la séance du 5 avril 1875.

En voici le préambule.

Relation entre les m périodes cycliques de la quadratrice d'une courba algébrique de degré m.

« J'ai démontré, dans mon Mémoire intitulé : Classification des intégrales quadratrices des courbes algébriques, que si les résidus relatil's à (»n — 1) asymptotes d'une courbe de degré m venaient à s'annuler, le jflième s'annulerait aussi ; ou que les m périodes cycliques de la quadratrice d'une courbe de degré m sont liées entre elles par une relation telle que, si (m — 1) d'entre elles s'annulaient, la m'^"'« s'annulerait également.

« Cette proposition permettait depréjugerque les wpériodescycliques devaient être liées entre elles par une relation linéaire.

« Cette relation, au reste, était déjà connue, dans le cas particulier des courbes unicursales. M. Herniite a démontré, en effet, d'après M. Clebscb, je pense, que, dans ce cas particulier, la somme des m périodes cycliques est nulle.

« 11 est facile de voir que la même relation lie entre elles les m périodes cycliques dé la courbe la plus générale du degré m.

Suivait la démonstration, telle que je l'ai donnée dans le chapitre

Le premier volume de cet ouvrage a paru au commencement de septembre 1874, le second en juin 1875 et le troisième va paraître en janvier 1876. Ces intervalles étaient prescrits par la teneur de la décision ministérielle, qui avait réparti la souscription du département de l'Instruction publique sur les trois exercices 1874, 1875 et 1876, mais leur longueur m'a permis d'apporter plus de soins aux dernières retouches.

L'aide puissante que m'avait accordée le Gouvernament m'avait permis de réduire le prix fort de l'ouvrage h la faible somme de vingt francs.

Mais je désirais répondre à la confiance des premiers souscripteurs, en abaissant encore ce prix en leur faveur. J'ai pu le réduire à 13 francs.

Au mois de juin 1875, 118 souscripteurs avaient répondu à mon appel, et mes espérances étaient de beaucoup dépassées.

Depuis cette époque le nombre des souscriptions s'est élevé à 175.