CB^ - EA^) (GB^ + EA* — DAB) VA^ + B
mais les axes faisant actuellement entre eux un angle ayant pour tangente
— -, il fallait multiplier l'expression précédente par /'.g . r>8 ^^ ^"^
donnait
2ttv/^
C»B^ — E^A* — DCAB'^ + DEBA^ A'B^'
Or cette expression est précisément la différence entre
^-^Sl-i ji et 2.rv-l .
Ainsi, comme on l'avait prévu, les trois périodes se réduisaient à deux» Cette théorie donnait l'explication immédiate d'une des particularités qui m'avaient frappé auparavant et dont je n'avais pu me rendre compte : si l'un des trois résidus était nul, les deux autres seraient égaux et la quadralrice n'aurait plus qu'une période. Était-ce donc le cas de la cissoïde, de la strophoïde ?
Pour éclaircir la question, il ne s'agissait que desavoir à quelle condition un résidu s'annulait. Or si AD — BC était nul Aa; -f- C était facteur commun des termes en y* et en y,
y* [Ax + C) et x (Bx -f D) y, m p. 18
alors l'équation, pour 5?= — - , ne fournissait plus de valeur finie pour
y ; c'est-à-dire que l'asymptote x = — — rencontrait la courbe en
trois points situés à l'infini. La réciproque était d'ailleurs évidente.
Ainsi le résidu relatif à une asymptote s'annulait lorsque cette asymptote coupait la courbe en trois points situés à l'infini et réciproquement.
Or, précisément la cissoïde
et la strophoïde
sont coupées par leurs asymptotes a; = 2a en trois points à l'infini.
Tous les résultats s'accordaient donc merveilleusement.
Mais cette même théorie devait me faire éprouver une satisfaction encore plus grande, parce qu'elle permettait de prévoir que si les résidus relatifs à deux asymptotes étaient nuls, et par suite, le résidu relatif à la troisième, la courbe devrait être quarrable algébriquement.
La vérification , qui était du reste facile à obtenir , marcha à souhait.
L'équation
Axy^ + Bx-^y -f Cy^ + Dxy + Ex^ = 0,
si l'on supposait nul le résidu relatif à l'asymptote -x = — j donnait
et le diamètre conjugué des cordes parallèles à l'axe des y, c'est-à-dire à l'asymptote considérée, devenait rectiligne. Les deux autres asymptotes étaient, dans ce cas,
V= 1^ + ^ et y = — — ;
elles se coupaient sur le diamètre précédent, comme cela devait être, de sorte que ce diamètre était une des médianes du triangle formé par les trois asymptotes,
Mais, par une raison évidente de symétrie, ce même diamètre devait passer par le point double.
La courbe quarrable du troisième ordre devrait donc avoir pour diamètres les trois médianes du triangle formé par les trois asymptotes, et le point double serait le centre de gravité de ce triangle.
Il ne s'agissait plus que de vérifier ces prévisions.
Or, en prenant pour axe des x, l'une des médianes, pour origine le point double, pour axe des y la parallèle à la base du triangle correspondant à la médiane prise pour axe des x, et, en désignant d'ailleurs par 2m la médiane considérée et par 3a la base correspondante du triangle, on trouvait aisément, pour équation de la courbe cherchée,
et l'aire de cette courbe s'exprimait en effet algébriquement par
La discussion de la quadratrice de la courbe du troisième ordre, pourvue d'un point double, étant ainsi complétée, il ne restait qu'à passer au cas où la courbe ne présenterait plus aucune particularité.
Mais en rétablissant dans l'équation les termes du premier degré et le terme constant, on n'altérait en rien les résidus relatifs aux trois asymptotes, qui, par conséquent, restaient toujours liés entre eux par la relation
fo" = it w rfc w';
d'un autre côté, ces résidus constituaient toujours deux périodes de la quadratrice de la courbe, Ainsi la courbe la plus générale du troisième ordre avait deux périodes réductibles à la forme
et que je désignerai sous le nom de périodes cycliques. Mais il restait à constituer la théorie des périodes ultra- cycliques.
Pour étudier le cas d'une courbe quelconque du troisième ordre, il suffisait de supposer que les éléments de la courbe pourvue d'un point double, eussent varié de quantités infiniment petites, ce qui dispenserait de toute discussion nouvelle.
Le point isolé, qu'on avait précédemment considéré, deviendrait un anneau presque évanouissant, et son aire serait une nouvelle période, celle-là réelle.
D'ailleurs, à des différences près infiniment petites, la courbe se com-
poserait toujours, outre cet anneau, des mêmes branches qu'on avait construites précédemment, pourvues des mêmes asymptotes et présentant les mêmes points d'inflexion.
Toutefois, les trois systèmes de conjuguées en forme de huit, sans se déformer qu'infiniment peu, auraient subi une modification capitale en ce que chaque huit se décomposerait maintenant en deux anneaux compris chacun entre l'anneau réel presque évanouissant, qui aurait remplacé le point double, et l'une des trois branches indéfinies de la courbe.
Dans le cas précédent, la boucle d'un liuit ne se fermant que par un point anguleux, cette boucle ne pouvait pas être parcourue d'un mouvement continu et l'aire qu'elle enfermait ne pouvait pas constituer une des périodes de la quadratrice. Dans le cas actuel, au contraire, l'aire d'un anneau imaginaire, substitué à une boucle d'un des huit, fournirait une période de la quadratrice.
Dans le cas précédent, l'une des périodes de la quadratrice était constituée soit par la différence, aflectée du signe y— 1, des aires des boucles d'un des huit, avant la séparation de l'anneau presque elliptique qui devait tendre à se confondre avec l'une des asymptotes, lorsque la caractéristique de la conjuguée tendrait vers le coefficient angulaire de cette asymptote, soit par l'aire même de (;et anneau presque elHp-
tique, affeqtée du signe y — 1- Dans le cas actuel la différence affectée du signe y — 1 des aires de deux anneaux imaginaires serait toujours un des trois résidus, mais l'aire d'un anneau constituerait une nouvelle période imaginaire, appartenant à une classe toute différente de celle des résidus.
Les aires des anneaux compris respectivement entre l'anneau réel, presque évanouissant, et les trois branches indéfinies de la courbe, ne différant d'ailleurs, d'un groupe à l'autre, que par un des résidus, ne fourniraient qu'une nouvelle période imaginaire.
Mais il résultait de ces observations la constatation d'un fait tout nouveau: la formation d'un point double n'avait pas amené seulement la suppression d'une période, par annulation, elle en avait en même temps fait disparaître une autre par la fusion de deux d'entre elles, jusque-là distinctes, sous une figure oii leur différence seule restait perceptible.
Ainsi dans le cas, au moins, du troisième degré, la formation d'un point double amenait la suppression de deux périodes, et ces deux périodes étaient précisément celles qui sortaient de la classe des périodes cyclique -i
La quadratrice de la courbe la plus générale du troisième ordre devait donc avoir quatre périodes dont deux cycliques et deux d'ordre supérieur. De sorte que la formule de M. Jordan se trouvait exacte, pour le troisième ordre.
La théorie des quadratrices des courbes du troisième ordre étant ainsi achevée, je me disposais à reprendre, pour la compléter, celle que j'avais déjà ébauchée pour les courbes du quatrième ordre, mais je m^aperçus aisément qu'il suffirait de peu d'efforts pour étendre aux courbes de tous les degrés celle que je venais de terminer pour les courbes du troisième ordre.
La remarque relative à la réduction de deux unités dans le nombre des périodes ultra-cycliques, par la formation d'un point double, était en effet évidemment générale. Il ne restait donc à constituer que la théorie générale des résidus, ou périodes cycliques.
Le résidu relatif à une asymptote supposée parallèle à l'axe des y, s'obtenait aussi simplement pour une courbe quelconque que pour une courbe du troisième degré, et d'un autre côté, il était aisé de voir que le résidu s'annulait toujours, lorsque l'asymptote coupait la courbe en trois points situés à l'infini.
Toutefois il s'agissait de savoir si les résidus relatifs aux m asymptotes restaient liés entre eux par la relation que j'avais constatée dans le troisième degré.
La transformation que j'avais fait subir à la condition pour qu'un résidu fût nul me le permit aisément, parce qu'il n'était plus nécessaire de faire la somme de tous les résidus, la question se réduisant à savoir si toutes les asymptotes, moins l'une d'elles, coupant la courbe en "trois points situés à l'infini, il pouvait n'en être pas de môme de la dernière. Or, le premier membre de l'équation de la courbe étant mis sous la forme du produit des premiers membres des équations des m asymptotes, augmenté d'un polynôme de degré (m — 2), il était clair que si la partie homogène de degré (m — 2) de ce polynôme était annulée par
les substitutions à - des coefficients angulaires de (m — 1) des asymptotes, elle se réduirait identiquement à zéro; et serait par suite annulée
par la substitution au même rapport - du coefficient angulaire de la ^ièmo asymptote.
Les conclusions, dès lors, se présentaient d'elles-mêmes :
Si une courbe de degré m dégénérait en un faisceau de m droites,
îlatifs aux m (m — 1)
elle présenterait -^ points doubles , les résidus relatifs aux
m asymptotes seraient nuls et les coefficients rempliraient conditions.
Si celles de ces conditions qui exprimaient que les m résidus fussent [ils, cessaient d (m— l)(m — 2)
nuls, cessaient d'être satisfaites, il en resterait --^ ■' — m -f- 1 ou
, qui correspondraient encore à la présence d'autant de
points doubles et la courbe serait redevenue irréductible. Le nombre maximum de points doubles d'une courbe de degré m était
donc , et la formation de chacun de ces points doubles
entraînait la disparition de deux périodes ultra-cycliques, de sorte qu'il pouvait y avoir {m — I) {m — 2) périodes ultra-cycliques.
D'un autre côté, il pouvait exister (m — 1) périodes cycliques ; le nombre maximum des périodes était donc
Je venais d'achever cette théorie quelque temps avant la présentation par M. Puiseux, de son rapport. Je la donnai par extraits dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences, à partir de la séance qui suivit la lecture de ce rapport. Elle constituait une première réponse à la sentence que le rapporteur venait de prononcer contre ma méthode.
Je ne donnerai pas ici ces extraits, parce qu'ils reproduisaient le mémoire à peu près m extenso. Ils correspondent aux séances des 24 mars, 7 et 14 avril 1873.
. On vient de voir que je m'étais d'abord contenté de constater que si les résidus relatifs à (m — 1) des asymptotes d'une courbe de degré m étaient nuls, le m'^""* devait l'être aussi. Il restait à reconnaître la relation qui devait lier entre eux les m résidus. J'ai comblé cette lacune pendant l'impression du second volume. On constate aisément que la somme des m résidus est toujours nulle.
M. Bonnet avait plus ou moins partagé les préventions avec lesquelles on avait accueilli mes premiers travaux, la façon dont il m'avait reçu en 1865 le prouve suffisamment. Je crois qu'il pensait bien en 1872, lorsque je lui reparlai de mon Mémoire sur la série de Taylor, que j'allais faire une pauvre figure en face de M.Puiseux. Mais il ne m'avait, du moins, jamais témoigné une marquante hostilité, de sorte que mes relations avec lui étaient restées amicales.
Sa nomination à la place de directeur des études à l'École me donna de plus fréquentes occasions de l'entretenir et je le tins au courant de mes conversations avec M. Puiseux. Le peu que je lui en disais d'abord me paraissant modifier insensiblement son opinion à mon égard, j'étais de plus en plus explicite et, peu à peu, nous en vînmes à parler de mes autres mémoires, dont il voulut bien lire avec moi les extraits, qui venaient de paraître dans les Comptes rendus. Cette lecture l'impressionna assez favorablement pour que je pusse compter de sa part sur une sincère amitié qui m'est très- précieuse, dont il me donna presque immédiatement des preuves, à l'occasion du rapport de M. Puiseux et dont il ne s'est pas départi depuis.
Une de nos conversations m'amena un jour à lui écrire :
24 avril 1873.
« Mon cher ami, tu me disais ces jours-ci, avec juste raison, et je te remercie du sentiment qui t'inspirait, que le sort de mes idées deviendrait tout autre si quelques géomètres, commençant à s'en inspirer, cherchaient dans la voie que j'ai ouverte, l'origine de nouveaux travaux. Je t'ai répondu que je ne l'eusse pas désiré jusqu'ici, parce que j'aimais fi travailler tranquillement ; à ne produire qu'à mon heure, lorsque j'étais parvenu, par le chemin le plus direct, à l'expression la plus simple et la plus claire de la loi du phénomène qui m'occupait, et que la prise de possession, par des étrangers, du champ que j'avais défriché n'aurait pu m'être que très-désagréable.
« A la vérité, maintenant que j'ai conduit à bien à peu près toutes les recherches que comportait le cadre de mes travaux, je ne demanderais pas mieux que de me voir arriver des disciples.
« Mais je ne partage pas absolument ta manière obligeante de voir, à l'égard de la nécessité pour moi qu'il s'en produise.
a Tu ne fais pas assez attention que j'ai établi, à peu près sur toutes les routes du progrès, des barrages tels que, si la conspiration du silence, qui se perpétue contre moi depuis trente ans, doit se maintenir, il n'y aura plus guère moyen d'avancer.
0 Sans doute on pourra continuer quelque temps encore à enseigner des absurdités au sujet de la condition de convergence du développement: suivant la série de Taylor, d'une fonction d'une seule variable, mais quand on voudra, et il faudra bien qu'on le veuille, autrement le public interviendrait, en venir à exposer une théorie acceptable, il faudra bien que l'on cesse de me passer sous silence.
« Si l'on veut enseigner les conditions de convergence du développement suivant la série de Taylor d'une fonction de deux ou plusieurs va* riables, il faudra bien que l'on me cite.
« On ne laissera pas toujours la théorie des intégrales doubles dans l'état où elle se trouvait en 1840, et il faudra bien alors que j'intervienne.
« Enfin on ne laissera pas dans l'état où je l'ai trouvée la théorie des intégrales d'origine algébrique, puisque l'on peut maintenant enseigner les conditions sous lesquelles la quadratrice d'une courbe de degré quelconque est algébrique.
« N'ayant plus guère que cela à faire, je vais employer tous mes efforts à répandre mes idées et tu sais que je suis tenace.
« Tu ne dois pas douter, je pense, que la lumière ne se fasse bientôt. Mais ne penses-tu pas qu'il vaudrait mieux que les progrès à réaliser dans l'enseignement de l'analyse à l'École, résultassent de l'action volontaire des directeurs de l'École, que d'une pression extérieure?
« Je crois que si tu réfléchis à cette question tu n'hésiteras pas. D'un autre côté il y aurait si peu à faire pour obtenir des résultats importants que je pense que tu ne reculeras pas devant l'urgence de prendre un parti. »
Lorsque parut ma réponse à M. Puiseux, je trouvai à M. Bonnet l'air embarrassé et mécontent. Je lui écrivis :
19 juin 1873.
« Mon cher ami, je n'ai au premier moment rien compris à ce que tu m'as dit au sujet de mes observations sur le rapport de Puiseux.
« Après réflexion, il me semble apercevoir que tu as quelque chose sur le cœur.
« Gomme il eût été tout à fait contraire à mes intentions de te désobliger, je demande à m'expliquer.
« Et d'abord, comme je te Tai dit, si l'audition du rapport m'avait à peu près satisfait, cela tient d'abord à ce que je n'en avais pas bien entendu les dernières phrases, ensuite à ce que, étranger aux usages de l'Académie, j'ignorais que ce qui venait de m'être voté était le minimum minimorum; enfin, à ce que je n'avais pas remarqué que les remerciements qui m'étaient votés se rapportaient exclusivement à
la variante proposée par moi dans la défmilion des points critiques.
« J'avais bien remarqué que le rapport insistait sur ce qu'on pouvait déterminer plus facilement que je ne l'ai fait, (j'ignore encore comment et toi aussi), le véritable point d'arrêt, parmi les points critiques, mais je n'avais pas remarqué que les conclusions ne visaient même pas les résultats que j'avais obtenus à cet égard. .
« La lecture du rapport a changé entièrement mes impressions, cela devait être. D'un autre côté, je n'étais engagé à rien, puisqu'après t'avoir d'abord prié, un peu précipitamment, de remercier M. Puiseux de ma part, je t'avais dit ensuite que je lui écrirais moi-même.
<( Ma manière de voir ayant changé et tous mes amis, mes fils surtout, m'engageant fortement à ne pas me laisser égorger comme un mouton, je me suis décidé à répondre.
« Dans cette disposition d^esprit, et la question me paraissant être exclusivement entre MiM. Puiseux, Briot et Bouquet, d'une part, et moi , de l'autre, j'avoue que je n'ai pas songé un instant à loi, que l'affaire me semblait ne regarder en rien.
« Je crois voir dans ce que tu m'as dit que telle ne serait pas ton appréciation.
(( Si je t'ai blessé, c'est assurément sans le vouloir, mais examinons.
« Tout le monde sait qu'il est dans les usages que l'auteur s'entende comme il peut avec le rapporteur, et que les commissaires n'interviennent généralement que pour signer. Ta responsabilité ne me semble donc aucunement engagée devant le public.
« Je vais plus loin. Tu as essayé de me protéger, je t'en suis trèsreconnaissant, mais tu n'y es pas parvenu, et de fait tu ne pouvais pas y parvenir, parce que si tu avais voulu faire dire à M. Puiseux le contraire de ce qu'il avait résolu de dire, il aurait tout simplement déchiré son rapport.
« Tels sont les faits. Tu as voulu me protéger et tu ne l'as pas pu, ou du moins tu n'y as réussi que très-imparfaitement.
(( Eh bien! je m'adresse sans crainte à tes sentiments. Serait-il juste, pour des motifs de susceptibilité, non fondés en fait, de me reprocher de m'être protégé moi-même? L'intérêt que j'y avais peut-il entrer en balance avec celui, très-détourné, que tu aurais pu avoir à mon silence? Je ne le crois pas et j e pense qu'en y réfléchissant tu j ugeras qu'après tout, ayant fait ce que tu avais pu et n'ayant pas réussi, tu n'as pas à te préoccuper de la manière dont j'ai cru devoir intervenir ensuite. »
Je reçus vers cette époque, de M. Angelo Genocchi, professeur de mathématiques à l'Université de Turin, la note suivante extraite du Bulletin de Biographie et d'Histoire des sciences mathématiques et physiques, qui se publie à Rome :
RiCHTAMO A FAVORE Di Felice Goiô , pcr Ançelo Genocchi, professore di matematica nella R. Università di Torino.
Nell'adunanza del 10 marzo d873 l'illustre geometrasignor Puiseux leggeva ail' Accademia délie Scienze di Parigi una Relazione intorno a due Memorie del signor Massimiliano Marie in oui si cerca di determinare la regione di convergenza délia série di Taylor, e che ora sono stampate nel giornale del Liouville, 2* série, tom. XVIII, pag. 53-100 (1). Il dotto Relatore proponeva ail' Accademia « de remercier M. Marie de « ses Communications, dans lesquelles il insiste avec raison sur des « distinctions qui n'avaient pas été faites avec assez de précision (2). »
Tali distinzioni sono indicate corne segue dallo stesso signor Marie nel preambolo délia sua prima Memoria : « J'ai établi dans un Mémoire « quia paru en 1861 dans le Journal de mathématiques pures et appli- « quées, que les points oi!i peut être limitée la région de convergence « de la série suivant laquelle se développe, d'après la formule de Taylor, « une fonction y, explicite ou implicite, sont exclusivement ceux où « la fonction ou ses dérivées, à partir d'un certain ordre, deviennent « infinies, à l'exclusion, par conséquent, des points multiples qui ne « remplissent pas cette condition. J'ai établi en même temps l'inexacti- « tude de la règle, donnée par Gauchy et adoptée depuis, explicitement (( ou implicitement, par tous les géomètres qui ont écrit sur ia ma-
« tière, d'après laquelle le cercle de convergence passerait par
« le point critique le plus voisin du point origine. L'erreur que j'ai « relevée alors tient à une confusion qui avait été maintenue jtisque-là : « il ne suffit pas, pour que la convergence de la série de Taylor soit « limitée à une certaine valeur de x, que cette valeur soit critique, ou « plutôt qu'il y corresponde une valeur critiqué de y : il faut surtout « que y, variant d'une manière continue avec x à partir de sa valeur « initiale, arrive à sa valeur critique en même temps que a?, sans que « X ait dépassé la limite en question. » Egli soggiunge : «' C'est de ce « principe que naît la question qui sera résolue dan-s ce Mémoire (3). »
L'avvertenza qui menzionata in secondo luogo era già slala fatta espressamente e chiaramente dal prof. Ghiô ; ma prima di darne le prove riferirô le parole colle quali rendeva conto di quell' avvertenza il signor
(1) Il signor Marie aveva pubblicata nello stesso giornale una lunga Memoria intitolata Nouvelle théorie des fonctions de variables imaginaires, cominciata nel tom. III, pag. 361-383, e terminata nel tom. VII, pag. 425-404 (2» série, 1858-1802).
(2) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, tom. LXXVI, pag. 622 (1873).
(3) Journal de mathématiques, tom. XVin, pag. 53 (2" série, 1873).
Puiseux. Dopo aver ricordato il célèbre teorema del Cauchy, quegli cosi prosegue : « Mais il convient de faire ici une distinction sur laquelle « M. Marie insiste dans son premier Mémoire. Le point M » (avente per
coordinate ortogonali la parle reale e il coefficiente di y/— i nelvalore délia variabile immaginaria x) « décrivant un chemin continu à partir « de la position initiale A, peut arriver dans une position C, qui soit « critique pour quelques-unes des valeurs de y, que détermine l'équa- « tion
(( et qui ne le soit pas pour les autres. Dans ce cas, la circonférence dé- « crite du point A comme centre avec AG pour rayon ne limitera la (I convergence de la série que si le point G est critique pour la racine « particulière y que l'on considère. Il ne serait donc pas exact de dire « d'une manière générale que la convergence est limitée par la circon- (( férence dont le rayon est la distance du point A au plus voisin de « tous les points critiques répondant aux diverses racines de Téqua^ « lion
Non debbo ommettere le dichiarazioni che seguono immediatamente : « Gette distinction n'a sans doute pas échappé à la plupart des « Géomètres qui se sont occupés de ces questions; cependant elle n'a
« pas toujours été formulée assez nettement Quoi qu'il en soit,
« M. Marie a eu raison d'insister sur la nécessité de faire cesser la conte fusion qui pourrait rester à cet égard dans quelques esprits (2). »
Un linguaggio cosi temperato e circospetto non puô certo dar pretesto a lagnanze per non curati dirilti d'anteriorità : anzi ciô che abbiamo a dire servira piutlosto a corroborare che ad infirmare le asserzioni del signor Puiseux; ma l'importanza che la-Gommissione Accademica e il suo Relatore giustamente attribuirono alla distinzione testé accennata, e quella anche maggiore che le attribuisce un matematico stimabile come il signor Marie, ci persuadono che non sia fuor di proposito l'avvertire come il compianto nostro concittadino prof. Chiô avesse già fin dal i847 esposta la medesima distinzione nelle sue Ricerche trasmesse al Cauchy e relative alla série del Lagrange. Ci6 apparisce da una nota del Rapporto che il Cauchy fece nel 1° marzo 1852, espressa in questi termini : « En appliquant ce même théorème » (il teorema suUa convergenza délia série di Taylor) « dans mes Exer- « ct'ces d'Analyse, à la série de Lagrange, et en supposant cette série
(1) Comptes rendus, ecc, tom. LXXVI, pag. 620.
(2) Ibid
« ordonnée suivant les puissances ascendantes d'un paramètre variable, « j'ai dit qu'elle demeure convergente quand le module du paramètre « est inférieur au plus petit de ceux qui introduisent des racines « égales dans l'équation donnée. Cette proposition est exacte. Mais il « convient d'ajouter, avec M. Chio, que la série de Lagrange demeure « convergente, quand le module du paramètre est inférieur au plus (( petit de ceux qui rendent égales deux racines dont l'une est précisé- « ment la somme de la série. Telle est, en effet, la conséquence qui se « déduit naturellement du simple énoncé du théorème général (1). »
Ma possiamo inoltre notare che il Chio s'era attenuto a questi principii anche nella sua prima Memoria del 1844, approvata nel 1846 dair Accademia délie Scienze di Parigi, ove cercando il valore del parametro ^che rende infmita la prima derivala di x, avvertiva esplicitamente e ripetutamente doversi ricorrere alla radice a espressa dalla série : « appelons a celle des racines de l'équation... qui est donnée par cette « série... Pour qu'elle soit développable en série convergente suivant « les puissances ascendantes de t... il faudra chercher le plus petit
(( module t de t par rapport auquel — devient discontinu. Pour cela,
« il faudrait établir l'équation 1 — ^/'(a) =0, où d'abord l'on devrait « mettre pour a sa valeur en fonction finie de t, si cette valeur nous « était connue, et ensuite il faudrait chercher le plus petit module des (I racines t de l'équation en t, dans laquelle se réduirait la dernière (( après la substitution dont nous venons de parler (2). »
Sopra quella stessa'distinzione il Ghiô insisteva piùtardi ampiamente conragioni ed esempi scrivendo una terza Memoria intorno alla série del Lagrange, délia quale un sunto fu presentato nel 1868 alla Società Filomatica di Parigi. Questo sunto fu pubblicato, grazie principalmente aile gentili cure dell' illustre Principe Boncompagni che ottenne di far eseguire una copia del manoscritto, e trovasi negli Atti dell' Accademia délie Scienze di Torino, la quale aveva già mentre iveva il Chio data ospitalità ad altri suoi lavori (3). Da esso togliamo il seguente passo a conferma del nostro assunto :
« Enfin, il y a un troisième point qui a besoin d'être éclairci et dégagé « de toute incertitude... Tous les Géomètres qui ont appliqué le théo-
(1) Comptes rendus, ecc, tom. XXXIV, pag. 304-305.
(2) Mémoires présentés par divers savants à l^ Académie des Sciences, tom. XII, pag. 350-351 (Parigi, J854). La prima presentazione délie ricerclie del Ghiô è riferita nel Compte retidu del 16 Settembre 1844 (C. R. tom. XIX, pag. 556).
(3) Atti délia R. Accademia délie Scienze di Torino, \ol. VII, pag. 647-661 (1872) : alla stampa servi la detta copia, donata dal Principe Boncompagni. Questa pubblicazione è indicata nella seconda ediziome (Ronia, 1872) dell' accuratissimo Catalogodei lavori di Felice Chib, compilato dallo stesso benemerito Principe, pag. 16, n° 16.
« rème de Gauchy... à la recherche de la règle de convergence de la « série de Lagrange, représentant l'une des racines de l'équation
(-2) X — tTZ {x) = 0,
« ou bien de l'équation
(3) a~x-^tf{x)=0,
K OU se sont bornés à dire que la série reste convergente tant que pour « des valeurs croissantes du module T de ^ l'équation (2) ou (5) n'ac- « quicrt pas des racines égales ou infinies : ce qui est vrai, mais laisse « indécis le module de la série; ou bien ils en ont conclu que la valeur « limite T' des modules de^, pour lesquels la série reste convergente, « est donnée par le module le plus petit de t qui fait acquérir à l'équa- (1 tion (2) ou (o) des racines égales ou infinies. Or, cette dernière asser- « tion est inexacte. Nous produisons en effet des exemples oh la série de « Lagrange continue d'être convergente même après que le module de t « a dépassé le plus petit, qui introduit des racines égales dans l'équa- (( tion proposée (i). »
Nel sunto è riportato uno di tali esempi, dopo di che il Ghiô rammenta la regola di convergenza data nella sua Memoria del 1844 dicendo : « Cette règle, en peu de mots, consiste en ce que, si l'équa- « tion donnée est
X — tu {x) = 0, « la limite T', dont il s'agit, est égale à l'inverse du module qu'acquiert
"TC (x)
« le rapport , lorsqu'on y met pour x la valeur a qu'obtient la ra^
u cine fournie par la série de Lagrange au moment où elle devient une « racine multiple ou infinie (2). »
L'altra distinzione, che il signor Puiseux menzionava con Iode, e indicata per prima nel citato passo del signor Marie, si riferisce alla determinazione dei punti o valori critici. Secondo la definizione più comunemente ammessa, si chiamano critici i valori délia variabilex^ per cui la funzione y diviene infinita o radice multipla dell' equazione tra x ed y; ma questa definizione è soggetta a qualche eccezione. « Pour " éviter (dice il Puiseux) les exceptions que comporte la définition pré- « cédenle, M. Marie appelle valeurs critiques de x les valeurs qui ren- « dent infinie y ou l'une de ses dérivées. Cette définition nous semble (c préférable à l'autre, surtout quand on se propose d'étudier les con-
(1) Atli, ecc. vol. Vil, pag. 656-667.
(2) Ibid., pag. 658.
« ditions de possibilité du développement de la fonction y par la série « de Taylor(l). »
L'eccezione relativa aile radici multiple era stata riconosciuta e additata dal Cauchy stesso nel 1844 (2), e in quel medesimo tempo egli aveva modificato i termini del suo teorema esprimendolo in modo che ne risultava la stessa nozione dei valori critici ora giudicata preferibile dal signor Puiseux (3). Questo fra i diversi enunciati di un taie teorema è appunto quello che il Chiô preferi nella sua Memoria del 1844 riportandolo come segue :
« Théorème de M. Cauchy. -- Supposons que f [t) et f {() restent a fonctions continues de la variable t = re^^ -^ pour toutes les valeurs « du module r de cette variable inférieures à une certaine limite k; sup- « posons encore que la fonction f{t), ou l'une quelconque de ses dérivées «devienne infinie pour r = k, et pour une valeur convenablement <c choisie de l'argument p : alors k sera la limite extrême et supérieure « au-dessous de laquelle le module r pourra varier arbitrairement, sans « que la fonction f{t) cesse d'être développable en une série conver- « gente, ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes « de t (4). »
Sembrami pertanto dimostrato che dal Cauchy e dal Chiô non fu trascurata ne ladistinzionetra le diverse radici per determinare se diventando eguali alcune di esse non sussistanopiù le série che rappresentano le altre, ne la distinzione tra i valori che rendono multipla una data radiée senza render infinité le derivate e quelli che rendono infînita la funzione o alcuna délie sue derivate ; e che il Chiô, profittando di ambedue le distinzioni, expresse nitidamente e con precisione la prima, sulla qùale non era ancora stata chiamata l'attenzione dei Geometri.
(I) Comptes rendus, ecc. tom. LXXVI, pag. 619-620.
(2)Supposta un'equazione(l) F {x,u) =0, « si le module r de x varie par degrés insen « sibles, la fonction m, tant qu'elle restera finie, variera elle-même par degrés insen- « sibles, et par conséquent elle ne cessera pas d'être fonction continue de x jusqu'à ce « que le module r acquière une valeur qui puisse rendre la fonction F {x, u) infinie ou « discontinue, ou qui introduise dans l'équation (t), résolue par rapport à u, des racines « égales. D'ailleurs, dans cette dernière hypothèse, on aura (2) D^F [x, u) = 0, et, par « suite, la valeur de D u tirée de l'équation (l), savoir :
DxF (x, u)
« deviendra généralement infinie. On doit seulement excepter le cas particulier où la « valeur de x, qui introduit dans l'équation (I) des racines égales, vérifierait, non-seule- « ment l'équation (2), mais encore la suivante (4) D^F {x, u) = 0. » (Comptes rendus, ecc. tom. XIX, pag. 157.)
(3) Ibtd., pag. 152, 3* Théorème.
(4) Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des scie?ices, tom, XII, pag. 350. Vedi anche Antologia italiana, tom. I, pag. 562 (Torino, 1846).
Desideriamo quindi ch'esso non sia defraudato délia Iode che gli è dovuta. Ma siamo ben lungi dal pensare che il signor Marie non sia giunto col solo suo ingegno e co' suoi studi ai risultati chepubblicô, ne possiamo rimproverarlo di non aver conosciuto le conforrai ricerche del Chiô faite pubbliche nel 1852, come non teniamo in colpa il Chiô che nel 1868 non conoscevale cose stampatedal signor Marie nçl 1861. Anzi ci saremmo forse astenuti anche dallo scrivere le presenti osservazioni, se mentre la immatura morte del nostro concittadino dava occasione ad uomini eminenti di pronunziarsi con atti e parole d'ossequio e di coinpianto (1), non fossero sorte inopportune opposizioni che ci fanno piti vivamente sentire il dovere di onorarne la memoria.
A. Genogchi.
(1) Fra qiiesti benemeriti nomiiierô in primo luogo il principe Baldassarre Boncompagni, che appena saputa la morte del Chiô si adoperô a raccogliere notizie intorno alla vita e ai lavori del medesimo per pubblicarle nel suo Bullettino, si diede a compilare con ogni diligenza il Catalogo dei suoi scritti scientifici, cercô di promuovere la pubblicazione dei lavori inediti, e fu tra i più generosi oblatori al modeste monumento che gli fu eretto nell' Università di Torino. Devo poi menzionare due insigni scienziati, Michèle Chaslesed Élie deBeaumont, che innanzi ail' Accademia délie Scienze dl Parigi accennarono ai meritï e ail 'immatura morte del Chiô, il primo nel 20 Maggio 1872 presentando il Bulîeltino del Boncompagni, settembre 1871 {Comptes rendus, ecc. tom. LXXIV, pag. 1351), il seconde nella tornata solenne del 25 novembre 1872, recitando l'elogio di Giovanni Plana {Éloge historique de Jean Plana, Parigi, 1872, pag. 56). Aggiungiamo a questi iiomi quelle del signor Giorgio Darboux, che nel suo Bulletin des sciences mathématiques et (istronomiques, tom. 111, pag. 68-69 (ariicolo citato nella seconda edizione del Catalogo già menzionato, pag. 15) lodava uno particolarmente degli ultimi lavori del Chiô, e diceva ch'esso « ajoute aux regrets que doit inspirer à tous les géomètres la « perte de cet estimable savant. »
M. Bonnet m'avait déjà parlé de ce Richiamo, avec une insistance qui m'avait étonné.
D'un autre côté, la mention que faisait, dans sa dernière note, M. Genocchi, del signor Giorgio Darboux , enveloppé nel suo Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, bulletin où, par parenthèse, j'ai toujours été assez mal traité, sans que je sache pourquoi, m'amenait naturellement à me demander si la confrérie des disciples de Gauchy était entièrement étrangère à la publication du dit Richiamo.
En tout cas, je voulais amener M. Genocchià me parler clairement; je lui écrivis le 24 juin 1873.
« Monsieur, je n'ai pas besoin de vous dire que j'ai lu avec un vif intérêt la note que vous m'avez fait l'honneur de m'envoyer, intitulée : Richiamo a favore di Felice Chio.
« La recherche de la vérité doit être notre préoccupation exclusive, et tout ce qui nous aide dans cette recherche est toujours bienvenu.
« J'ai un peu tardé à vous remercier par deux raisons^ la première qu'outre que j'ai toujours, à cette époque de l'année, beaucoup d'occupations, je suis assez mal portant ; la seconde, qu'ignorant entièrement votre belle langue, j'ai dû relire plusieurs fois votre note, pour parvenir à en comprendre le sens, au moyen des analogies que présentent les termes dont vous vous servez, avec leurs synonymes latins et français.
« Je crois maintenant avoir à peu près compris et je m'empresse de vous répondre.
(( Je vois par votre note que M. Chiô avait, dans un Mémoire présenté à l'Académie des sciences de Paris, en 1847, affirmé ce fait évident que pour que la série qui forme le développement d'une fonction suivant la formule de Mac-Laurin, devienne divergente, il ne suffit pas que deux valeurs de cette fonction aient pu devenir égales, mais qu'il faut que celle que l'on développe soit devenue égale à une autre.
« J'y vois aussi que dans un Mémoire antérieur, de 1844," également présenté à l'Académie des sciences de Paris, M. Ghiô, convaincu que pour qu'une fonction cesse d'être développable, il ne suffit pas qu'elle vienne se confondre avec une autre de ses valeurs, si les dérivées des deux formes se séparent à un certain ordre, avait imposé au point d'arrêt de la convergence la condition que les dérivées de la fonction considérée y devinssent infinies à partir d'un certain ordre (1).
(1) Il y avait sans doute exagération à donner une "forme si précise à Tobservation de M. Chiô, mais je n'étais pas très-exactement fixé^ je ne le suis, du reste, pas encore;
«Enfin j'y vois que, dans un Mémoire de 1868, M. Chiô établissait quele point d'arrôt de lii convergence n'est pas toujours le point critique le plus proche du point origine, proposition qui, si on l'entend bien, reproduit, sous une autre forme, la première observation.
« M. Chiô avait pris pour objet de ses études la série de Lagrangc, Cti qui était un tort, parce que cette série ne différant de celle de Taylor que par Tattribulion aux coefficients d'une nouvelle forme algébrique, qui n'en changeait pas les valeurs, cette modification, plus apparente que réelle, ne pouvait en rien changer les conditions de convergence.
« D'un autre côté, il est probable qu'en traduisant, dans ce qui précède, les idées de M. Chiô, je leur ai donné unf forme pUis précise et plus exacte que celle qu'elles avaient reçue de lui,
« Enfin, comme vous me faites la gracieuseté de le reconnaître, la dernière observation de M. Chiô ne date que de 1868 et est, par conséquent, postérieure de plusieurs années à celle, identique, que j'ai insérée dans le journal de M. Liouville.
« Mais malgré ces légères restrictions, je ne ferais aucune difficulté do reconnaître que M. Chiô a su, de lui-même établir exactement les principes de la détermination de la limite précise de la région de convergence.
« Seulement je crois que vous vous méprenez à l'égard de mon opinion au sujet de l'Importance de ces principes préliminaires.
« Je ne vois pas qu'il résulte le moindre mérite pour personne de co que M. Cauchy, M. Puiseux, MM. Briot et Bouquet, ainsi que d'autres géomètres, avaient fait de grosses erreurs.
« Ces messieurs n'avaient aucune raison quelconque de formuler les principes qu'ils avaient énoncés, et il n'était pas difficile de le reconnaître.
« Cinq minutes de réflexion étaient déjà beaucoup t^op pour apercevoir,non-seulement,que les ordonnées de toutes les courbes qui auraient les mêmes tangentes parallèles à l'axe des y, ne se comporteraient pas nécessairement de la même manière, mais, môme, que les m ordonnées d'une même courbe de degré m, ne cesseraient pas nécessairement en môme temps d'être développables.
« S'il m'a fallu près de vingt années pour faire accepter ces notions, cela ne prouve pas qu'elles ne soient pas évidentes, mais seulement qu'il est difficile de faire pénétrer la vérité dans les esprits de gens naturellement tentés de croire leur mérite attaché au maintien d'erreurs dont
et je ne voulais pas rester en deçà de la justice vis-à-vis do M. Cliio. —Si j'(3tais alItS trop loin, mon interlocuteur rectiQerait mon dire.
iu° P. 19
l'édificalion, difficile en effet, les avait placés hors de pairs, le public ayant admiré faute de comprendre.
(i Si vous avez lu, dans le numéro de juin du journal de M. Liouville, ma réponse t\ M. Puiseux, vous avez pu voir que j'ai su rendre justice à MM. Tchebycheff et Lamarle, et vous ne douterez pas que je ne l'eusse également rendue à M. Chiô, si j'avais connu ses titres. Cela m'eût été agréable dans tous les cas, mais j'y aurais eu d'autant moins de mérite que, comme je viens de vous le dire, je ne tiens aucunement à cette partie purement négative de mes travaux, parce que, je le répète, nonseulement il n'y a de mérite pour personne à ce que quelques absurdités aienteu cours plus ou moins longtemps, mais que, môme, l'empire qu'ont obtenu ces absurdités nous rabaisse un peu tous, notre valeur moyenne s'en trouvant diminuée.
« Sans doute, il importait d'abord d'enlever la couche déneige glacée que MM. Cauchy, Puiseux, Briot et Bouquet avaient ^4endue sur la question, mais ce n'était évidemment rien que de ramener cette question au zéro, c'est-à-dire un point de départ, en la déblayant des absurdités, des solutions préconçues, en un mot des préjugés sous lesquels on l'avait ensevelie.
« Quant à moi, je ne fais dater mon travail que du moment où j'ai pu m'occuper de déterminer le véritable point d'arrêt, parmi les points critiques, en raison de la position du point origine.
« Autrement, je remonterais jusqu'à 4853, époque à laquelle j'ai dit ouvertement à tout le monde que le théorème de Cauchy était faux, sans avoir employé, pour le découvrir, plus de cinq minutes, comme je vous l'ai dit. Ui legi, ut solvi, comme ditViète.
« Mais je reviens à M. Chiô. L'extrait du rapport présenté en 1852 par M. Cauchy, et principalement la phrase qui le termine, ont particuhèrement attiré mon attention. M. Cauchy dit :
« Mais il convient d'ajouter, avec M. Chiô, que la série de Lagrange « demeure convergente, quand le module du paramètre est inférieur au « plus petit de ceux qui rendent égales deux racines dont l'une est préa cisément la somme de la série. Telle est, en effet, la conséquence qui se « déduit naturellement du simple énoncé du théorème général. »
« Il est évident pour moi que Cauchy a cherché, par cette dernière phrase, à s'appro prier un mérite qui appartenait en totalité à M. Chiô, ce qui rentre dans les habitudes dont il était coutumier, habitudes que l'on a religieusement conservées dans son école. ,
« M. Chiô s'est laissé faire. C'est là à mes yeux un tort grave, non pas parce qu'il a été dépouillé, car il l'avait bien mérité, mais parce que son silence a eu pour résultat définitif de tellement ensevelir sa découverte que les disciples de Cauchy, eux-mêmes, qui ont dû compulser ses moindres écrits, n'en eurent pas connaissance, puisqu'ils n'en ont pas profité.
et qu'ainsi la science en resta privée pendant une vingtaine d'années.
« Mais, permettez-moi de vous le dire, Monsieur, il me semble que le tort que s'est fait M. Chiô, en ne réclamant pas contre la prise de possession de sa propriété, vous l'aggravez encore par vos observations.
« Vous dites d'abord :
« Anzi ciô che abbiamo a dire servira piuttosto a corroborare che ad « infirmare le asserzioni del signor Puiseux. »
(t C'est-à-dire, je crois : « Aussi ce que nous avons à dire servira « plutôt à corroborer qu'à infirmer les assertions de M. Puiseux. » . « Et, après avoir rapporté sans commentaires la phrase que j'ai citée plus haut du rapport de Cauchy, vous ajoutez enfin :
(( Sembrami per tanto dimostrato che dal Cauchy e dal Chiô non fù « trascurata ne la dislinzione tra le diverse radici per determinare se « diventando equali alcune di esse non sussistano più le série che repre- « sentano le altre, ne ladistinzione tra i valori che rendono multipla una « data radice, senza render infinité le derivate e quelliche rendono in- « finita la funzione o alcuna délie sue derivate. >)
« Mais si Cauchy savait tout cela, que reste-t-il à votre concitoyen? N'abandonnez-vous pas là tous ses droits, bien plus qu'il ne l'eût fait luimême?
« Les textes, que vous connaissez certainement, des ouvrages de MM. Puiseux, Briot et Bouquet démontrent clairement que les opinions de M. Chiô ne s'étaient pas fait jour en France, pourquoi donc faitesvous hommage à Cauchy de ses découvertes?
« M. Cauehy, tout le monde le sait, a dit alternativement le pour et le contre, sur toutes sortesde questions, sans convictions, que passagères. Pourquoi lui attribuez-vous les opinions réfiéchies de M. Chiô?
« M. Puiseux a dit exactement le contraire de ce qu'avait dit M. Chiô et M. Cauchy a également approuvé ce que tous deux avaient dit. Pourquoi voulez-vous qu'il ait été sérieux dans son rapport sur le Mémoire de M. Chiô et léger dans celui qu'il a présenté sur le Mémoire de M. Puiseux, — plutôt que le contraire?
« La question, quanta moi, me paraît tout à fait indéterminée.
« J'espère que vous me pardonnerez, Monsieur, ces observations aussi sincères que cordiales, et je vous prie d'agréer mes remercîments pour m'avoir fait connaître des travaux dont je prendrai avec plaisir connaissance, dès que je le pourrai. »
Je voudrais pouvoir reproduire la réponse de M. Genocchi, mais, comme on le verra plus loin, je n'y suis pas autorisé. J'en donnerai donc une analyse très-courte. M. Genocchi commençait par me dire :
« Je vous remercie bien vivement de vos observations et je vois avec plaisir que nous sommes à peu près d'accord. »
M, Genocchi me faisait ensuite l'historique des travaux de Ghiô et des déboires qu'il avait eu à essuyer devant l'Académie de Turin, et il ajoutait :
« C'est alors que M. Chiô s'adressa à Gauchy, qui lui témoigna la plus grande bienveillance et fit approuver ses recherches par l'Académie des sciences de Paris. Vous comprenez, Monsieur, combien dut être vive et profonde la reconnaissance de M. Chiô envers Gauchy, et ce sentiment explique tout à fait pourquoi il ne réclama pas contre cette note oii Gauchy cherchait, comme vous le dites, à s'approprier un mérite qui appartenait à Ghiô. »
M. Genocchi ajoutait, ce que je comprends moins :
« D'ailleurs la remarque de Chiô étant rapportée dans la note de Gauchy, il put croire que ses droits étaient sauvegardés et que le public en était informé. »
Gomment les droits de Chiô étaient-ils sauvegardés, M. Gauchy ayant dit de l'observation de Ghiô : « Telle est en effet la conséquence qui se déduit naturellement du simple énoncé du théorème général n ? Le théorème général c'est celui de Gauchy, et la phrase signifie très-clairement que si M. Ghiô avait bien entendu le théorème, il n'aurait pas présenté sa remarque.
M. Genocchi ajoutait :
« La déférence de M. Chiô pour Gauchy était telle qu'il consentit, d'après ses conseils, à supprimer certaines parties de son deuxième Mémoire et il s'ensuivit que des recherches et des propositions citées dans le rapport, ne se trouvent plus dans le Mémoire imprimé. »
11 y a, ce me semble, dans cette révélation quelque chose de grave, et il serait peut-être désirable que M. Genocchi donnât au public l'historique complet des travaux de Ghiô et de ses relations avec Gauchy. M. Genocchi ajoute bien que Ghiô a reproduit en 1868 les parties retranchées de son deuxième Mémoire, mais il serait intéressant d'avoir le texte même des parties supprimées, si ce texte a été conservé.
En réponse à l'observation que je lui avais faite qu'il abandonnait beaucoup les droits de Ghiô, M. Genocchi me répondait :
« Les sentiments de M. Ghiô pour Gauchy, ontdû exercer une influence sur le biographe de M. Ghiô, et ici, Monsieur, je place mon excuse pour mes torts personnels. Il me répugnait d'accuser Gauchy de mauvaise foi; et d'ailleurs, je n'avais aucun texte de M. Chiô, pour prouver qu'il avait fait en 1847 cette remarque)) (à laquelle faisait allusion la note de Gauchy).
Je répondis à M. Genocchi, le 5 août :
« Monsieur, je vous demande pardon d'avoir tant tardé à répondre à
votre aimable lettre, les travaux de fin d'année et l'indisposition dont je souffre m'excuseront, j'espère, auprès de vous.
« Je vous prie tout d'abord, Monsieur, de vouloir bien être mon interprète près de madame Ghiô, et de la remercier en mon nom de l'envoi qu'elle a bien voulu me faire du troisième Mémoire de M. Ghiô, que j'ai lu avec un vif intérêt, et qui montre quelle rectitude de jugement M. Ghiô apportait dans les difficiles recherches qui l'ont occupé.
a Je vous remercie aussi, Monsieur, de l'envoi de la controverse entre M. Ghiô et M. Ménabréa.
« J'ai relu plusieurs fois votre lettre avec le plus vif plaisir, parce qu'elle confirmait les idées que je m'étais faites à priori relativement aux rapports de M. Ghiô avec M. Gauchy, et maintenant je viens me mettre à votre disposition au sujet de ce qu'il conviendrait de faire dans l'intérêt de la mémoire de M. Ghiô.
« Je me prêterais volontiers à tout ce que vous désireriez, ainsi que madame Ghiô, à la condition cependant que les faits seraient exposés sans réticences.
« Voyez donc, Monsieur, à décider ce qu'il conviendrait de faire.
« Quant à moi la solution qui me paraîtrait remplir le but que nous devons nous proposer, serait de publier ma lettre et votre réponse.
«Mais, je vous le répète, je me mets à votre disposition.
«Agréez, je vous prie. Monsieur, avec l'expression nouvelle de mes remercîments, l'assurance de ma parfaite considération. »
M . Genocchi me répondit le 10 août qu'il me remerciait au nom de madame Ghiô et au sien de mon offre gracieuse au sujet de ce qu'on pourrait faire dans l'intérêt de la mémoire de M. Ghiô, mais que nos lettres étaient peut-être un peu longues, « plus longues qu'il ne faudrait pour l'objet que nous nous proposions et pour ne pas excéder la patience du public. » 11 ajoutait :
« Nous croirions préférable qu'à l'occasion de la continuation de vos recherches, vous pussiez insérer quelques mots pour citer les remarques de M. Ghiô. Vous choisirez les termes de la citation comme vous le jugerez convenable, car nous ne doutons pas de votre impartialité. »
M. Liouville me fit l'honneur de m'adresser, quelque temps après, le Bulletin de M. Boncompagni, auquel M. Genocchi faisait allusion dans sa dernière lettre, avec ce petit mot :
« M. Liouville prie M. Marie de lui renvoyer ce Bulletino, après avoir lu ce qui peut l'intéresser, dans l'article qui le concerne ainsi que MM. Gauchy, Puiseux.ét Ghiô, au sujet de la série de Taylor, ou de Lagrange. »
Cet article n'était autre que le Richiamo reproduit plus haut.
M. Liouville, que je rencontrai peu après, m'offrit de répondre dans son Journal, mais il aurait fallu entamer des négociations avec M. .Genocchi pour savoir jusqu'à quel point je pourrais le faire intervenir. Je ne pensai pas être assez intéressé à l'affaire pour m'en donner les soucis. Au reste, j'avais fait pour M. Chiô ce que je devais, et M. Genocchi ayant rejeté ma proposition de publier nos deux lettres, c'était désormais à lui à se servir de mon témoignage comme il l'entendrait.
Lorsque parut mon premier volume, j'écrivis à M. Genocchi pour le prier de me permettre de lui en adresser deux exemplaires, un pour lui et l'autre pour l'Académie de Turin.
Il me répondit le 17 décembre 1874 :
« Je m'empresse d'accepter avec reconnaissance votre offre trèsobligeante d'un exemplaire de la Théorie des fonctions de variables imaginaires. Je présenterai à notre Académie l'autre exemplaire que vous lui destinez, et je vous adresse à l'avance ses remercîments. »
(( Je pourrais profiter de cette présentation pour citer quelques passages de vos lettres, dans lesquels vous avez si généreusement et si loyalement reconnu la priorité de M. Chiô sur certains points, et vous avez bien voulu vous mettre à ma disposition (c'était votre expression) au sujet de ce qu'il conviendrait de faire dans l'intérêt de sa mémoire. Mais hélas I je crains que le nom seul de M. Chiô ne suscite quelques tempêtes, à cause de ma polémique récente avec M. Ménabréa. »
Le mot priorité dont se servait M. Genocchi n'était peut-être pas bien exact, envers moi du moins, puisque le Mémoire de M. Chiô n'avait été connu que de M. Cauchy, qui en avait fait supprimer la partie qui eût établi la priorité àe Chiô.
Priorité inpartibus, oui; m peî^o, très-bien! mais priorité sans complément, j'aurais pu réclamer, si la chose en eût valu la peine.
M. Genocchi m'écrivit de nouveau le 7 janvier 1875.
«Je viens de recevoir les deux exemplaires du premier volume de votre ouvrage, que vous m'avez fait l'honneur de m'adresser. Veuillez en agréer mes sincères remercîments.
«Je l'annoncerai dans une revue assez estimée de Florence (la Revista Europea); mais je crains que les résultats ne ré'pondent pas à mes désirs. Les théories de Cauchy sont aujourd'hui si répandues que tout le monde trouve une grande difficulté à se familiariser avec une ma-
nière différente, quoique plus avantageuse, d'interpréter les quantités •imaginaires.
« Je crois que dans la suite de votre ouvrage vous aurez l'occasion de citer les Mémoires de mon ami Félix Chiô. En attendant, j'espère que vous ne serez pas fâché si je cherche à lui faire rendre justice. Ce n'est pas pour vous, mais c'est peut-être par crainte de déplaire à M. Puiseux qu'on persiste à se taire sur l'objet de ma réclamation. — Voyez le Bulletin Darboux! on a inséré (je n'en savais rien) tout au long, le rapport de M. Puiseux, et on n'a indiqué votre réponse que d'une manière tout à fait succincte ; et de ma réclamation on n'a cité que le titre. Gela m'a indigné. »
J'avais dit à M. Genocchi, dans ma première lettre, qu'il me semblait qu'il s'y était mal pris pour défendre son ami, je n'avais qu'à attendre qu'il changeât de tactique.
M. Genocchi ayant démontré « che dal Gauchy e dal Chiô non fu trascurata ne la distinzione tra le diverse radici per determinare se diventando eguali alcune di esse non sussistano più le série che representano le altre, ne la distinzione tra i valori che rendono multipla una data radice, senza render infinité le derivate e quelli che rendono infînita la funzione o alcuna délie sue derivate » , les partisans de Cauchy n'avaient qu'à enregistrer l'aveu. Quant à Chiô il disparaissait naturellement dans l'ombre de Cauchy.
M. Genocchi m'écrivait encore le 2 février, pour m'annoncer que madame Chiô désirait prendre part à la souscription pour la vente de mon ouvrage, voulant le joindre à la bibliothèque mathématique laissée Rar son époux à son fils. » Il ajoutait :
« J'ai pensé que vous ne seriez pas fâché si, en profitant des offres très-obligeantes exprimées dans vos lettres, je citais quelques passages qui ne font pas moins d'honneur à vous qu'à M. Chiô, car ils donnent la meilleure preuve de votre loyauté et générosité. Voici ces passages.
« Dans une de ces lettres., vous regrettez le silence de M. Chiô, « parce « que son silence a eu pour résultat définitif de tellement ensevelir sa « découverte, que les disciples de Gauchy eux-mêmes, qui ont dû com- « puiser ses moindres écrits, n'en eurent pas connaissance, puisqu'ils « n'en ont pas profité ; et qu'ainsi la science en resta privée pendant une « vingtaine d'années. »
« Dans une autre lettre vous parlez du troisième Mémoire de M. Chiô, « que j'ai lu, dites-vous. Monsieur, avec un vif intérêt et qui « montre quelle rectitude de jugement M. Chiô apportait dans les dif- « ficiles recherches qui l'ont occupé. »
« Enfin dans cette même lettre, vous vous mettiez à ma disposition
(c'étaient vos expressions) au sujet de ce qu'il conviendrait de faire dans l'intérêt de M. Ghiô. »
M. Genocchi ne me disait pas ce qu'il se proposait de faire et je n'avais pas à m'en préoccuper. Je lui répondis, relativement à ce qu'il me mandait dans ses deux dernières lettres, que j'aurais occasion de parler de M. Ghiô dans mon troisième volume, mais que, pour le moment, je ne voyais rien autre chose à faire, dans l'intérêt de M. Ghiô, que de publier, comme je l'avais déjà proposé, nos deux lettres.
J'ajoutais probablement (je n'ai pas gardé copie de cette lettre) qu'au reste M. Genocchi pourrait user de mon témoignage comme il l'entendrait.
Je rencontrai peu de temps après, à Sainte-Barbe, M. Gérono, qui me dit que M. Genocchi venait de lui adresser, pour les Nouvelles Annales, nn article où il était question de moi et de M. Ghiô. — Je priai M. Gérono de me communiquer les épreuves de cet article, parce que j'aurais peutêtre quelque chose à y ajouter. — Je me proposais, si M. Genocchi n'était pas plus clair que dans son Richiamo, c'est-à-dire s'il persistait à défendre son ami comme il l'avait fait jusque-là, de rétablir les faits en faveur de M. Ghiô. — M. Gérono me promit de m'envoyer les épreuves.
Il annonça sans doute à M. Genocchi mon intention d'ajouter quelques réflexions à l'article qu'il avait envoyé, car M. Genocchi m'écrivit de nouveau le i 1 février :
« J'ai écrit à M. Gérono à l'occasion d'un article de M. Picart. »
(C'était la première nouvelle que j'eusse de cet article qui avait déjà un an de date, et que je citerai plus loin). .
« Je ne demandais que deux lignes de rectification : il préfère ( M. Gérono) insérer ma lettre. Je crois n'avoir rien écrit qui ne soit honorable pour vous; si toutefois j'ai omis quelque chose qu'il soit dans votre intérêt d'ajouter, je hrai avec bien du plaisir les compléments que vous promettez. »
« Mais je vous demande la permission de faire quelques observations sur votre projet de publier les lettres que vous^ m'avez fait l'honneur de m'écrire.
« Personnellement je n'ai aucun intérêt dans la question et, pour ce qui regarde Ghiô, il me suffirait de vous prier, en publiant votre lettre du 24 juin 1873, de publier aussi ma réponse. TNIais la publication de ces lettres me parait peu convenable sous d'autres rapports.
« Quels qu'aient été les travers ou les faiblesses de Cauchy, on ne saurait nier qu'il ne soit l'un des géomètres contemporains qui font le plus d'honneur à votre pays. En cherchant à amoindrir son mérite (il ne s'agissait pas du mérite de Cauchy, que j'apprécie mieux que personne, il s'agissait de ses procédés, et,, du reste, il ne s'en agissait qu'à
propos de M. Ghiô), on ne peut faire plaisir qu'aux ennemis de la France. Dans votre lettre du 24 juin il y a trop de phrases hostiles à Gauchy. »
Je n'entends pas tout à fait ainsi le patriotisme. Je pense au contraire qu'une nation ne peut que se déconsidérer en soutenant ses grands hommes, jusque dans leurs torts les mieux caractérisés.
v( Je crois devoir aussi vous signaler son rapport du 8 mai 1854» sur l'un de vos Mémoires. 11 me semble qu'il vous a rendu justice. »
Sans doute, mais le contraire est également vrai, comme je l'ai montré plus haut.
« Relativement à la question du développement des fonctions implicites déterminées par des équations qui acquièrent des racines égales, j'appellerai votre attention sur un autre Mémoire de Gauchy, présenté en 1854, dans lequel les conditions de convergence et le point critique où s'arrête la convergence me paraissent indiqués d'une manière complètement nette et exacte (voyez Compte rendu^ tome XXXVIII, page 1104).
(( Vous ajoutez, Monsieur, que vous comptez entrer dans quelques détails nouveaux au sujet de mon ami. »
Il s'agit ici du projet que j'avais annoncé de parler de M. Ghiô dans mon troisième volume.
a J'avoue que je ne comprends pas bien ce que peuvent être ces détails nouveaux. Dans une lettre du 5 août 1873 vous disiez vous mettre à ma disposition et à la disposition de madame Ghiô, au sujet de ce qu'il conviendrait de faire dans l'intérêt de la mémoire de M. Ghiô. Je ne pense donc pas que vous soyez disposé à vous associer à la polémique haineuse engagée contre moi par M. Ménabréa. »
En effet, je ne songeais qu'à rétablir M. Ghiô dans ses titres légitimement acquis à l'estime des géomètres.
« Je ne doute pas que vous ne persistiez dans vos intentions bienveillantes pour procurer une réparation à la mémoire de mon ami. »
J'y persiste bien volontiers.
Mais pourquoi l'hypothèse précédente ?
Sur ces entrefaites, je trouvai dans les Comptes rendus du 8 février, pour la séance du 1", une lettre à M. Bertrand, où M. Genocchi, reprenant M. Darboux à propos de la démonstration de l'existence de l'intégrale d'une équation aux différences partielles, concluait que « pour les équations aux dérivées partielles, comme pour les équations différentielles, la première démonstratioQ de l'existence de l'intégrale est due à Gauchy » (ce que je contesterai d'autant moins que je suis au contraire tout disposé h. affirmer que M. Gauchy a en effet introduit, le premier, la mode de démontrer les choses évidentes), et ajoutait :
« Sans doute, le très-grand nombre des écrits du célèbre analyste
doit excuser ceux qui n'ont pas connaissance de tous les résultats obtenus par lui.
« C'est ainsi que dans un Rapport du iO mars 1873 (c'est celui qui me concerne) M. Puiseux a pu signaler certaines distinctions importantes pour le développement des fonctions implicites , comme n'ayant pas encore été faites avec assez de précision, quoiqu'elles aient été indiquées dans des articles signés par Cauchy et développées dans des Mémoires de Félix Ghiô. »
Cette lettre après la lecture de laquelle (le compte rendu le dit) M. Bertrand fit remarquer qu'elle apportait un motif nouveau de désirer la prompte publication des œuvres de Cauchy (j'espère qu'on y joindra les errata nécessaires), avait d'autant plus lieu de m'étonner, qu'elle allait nécessairement donnera M. Puiseux l'occasion de triompher de nouveau de M. Chiô et de moi, s'il était possible.
Et en effet M. Puiseux faisait insérer dans le Compte rendu relatif à la séance du 8 février cette note caractéristique :
« M. Genocchi semble dire, dans sa lettre, que j'aurais désigné Cauchy comme n'ayant pas indiqué avec exactitude les conditions sous lesquelles subsisie le développement d'une fonction implicite; (M. Puiseux s'en était bien gardé en effet) si l'on veut reUre le Rapport cité par M. Genocchi, on verra que je signale, à la page 316, une certaine distinction comme n'ayant pas toujours été formulée assez nettement (ces italiques sont dans le texte, mais toujours eût mérité d'être écrit en capitales) ; mais dans ma pensée, cette critique ne s'adressait nullement (pour aucunement) à l'illustre analyste qui a porté la lumière dans la théorie du développement des fonctions en série ». (Elle ne s'adressait ni à Cauchy, ni à M. Puiseux, ni à MM. Briot et Bouquet, la critique ne s'adressait qu'à moi qui étais malencontreusement venu troubler l'harmonie du plus beau des concerts.)
Un peu irrité, je l'avoue, j'écrivis à M. Genocchi le 1" mars :
« Je vous demande pardon du retard que j'ai mis à vous répondre. J'ai été pris d'une fluxion de poitrine le 1" février et à peine entré en convalescence, vers le 15, j'ai eu beaucoup à faire pour mon livre.
« L'intention que je vous ai indiquée de parler de M. Chiô dans mon ouvrage, résulte du projet que j'ai de donner dans mon troisième volume une histoire de la série de Taylor, pour laquelle, par parenthèse, j'aurai à vous demander vos lumières que, je l'espère, vous voudrez bien m'accorder. M. Chiô aura naturellement dans cette histoire la place qu'il mérite, parla justesse des idées qu'il a émises sur la^série de Lagrange, dans les petites brochures que vous avez eu l'obhgeance de
me communiquer, et que j'avais déjà remarquées dans votre Richiamo. Ce que j'ai eu l'honneur de vous dire une fois n'a pas besoin d'ôtre répété. Je ferai, dans les limites de mes moyens, rendre justice à votre ami.
« Quanta M. Ménabréa, je l'ignore entièrement.
« Je vous remercie bien sincèrement des conseils que vous voulez bien me donner au sujet de M. Cauchy, mais j'y réponds :
«Le Rapport du 8 mai 1854 contient une tentative de spoliation à mon égard, qui m'a été très-sensible et que je relèverai dans mon troisième volume; elle est contenue dans ces mots : « Cette proposition. (Il s'agit de mon théorème de l'équivalence des aires des conjuguées fermées comprises entre les mômes branches de la courbe réelle) qui peut se déduire d'un théorème donné par l'un de nous
« Ce même rapport contient une absurdité qui, à la vérité, ne retombe que sur M. Cauchy, mais il renferme aussi une naïveté dont j'y parais solidaire.
« Ce Rapport n'est peut-être pas tout à fait étranger à l'espèce d'animosité que j'ai mise depuis vingt ans à poursuivre M. Cauchy, mais j'ai été mû dans cette lutte par des motifs plus sérieux, plus dégagés d'intérêt personnel.
« Je crois, c'est chez moi une conviction profonde et invétérée, que l'adoption des méthodes de Cauchy ne saurait avoir que les plus déplorables effets non-seulement sur le progrès futur des sciences mathématiques, mais encore sur le développement des sens du beau et du vrai, chez les esprits qui auraient subi cet enseignement.
« Dégager la loi morale des erreurs et préjugés qui en forment la gangue est à mes yeux le but suprême de la science. Or, ce ne serait déjà guère un bon moyen de développer en soi le sens moral que de confiner son intelligence dans des abstractions mathématiques. Mais que dire d'une tendance, telle que celle de l'école de Cauchy, à pousser l'abstraction jusqu'à une sorte d'interdit jeté sur les considérations géométriques ? Que dire de la rupture éclatante effectuée par Cauchy entre les deux théories, jusqu'à lui si bien assorties, des fonctions analytiques et des lieux géométriques? Y eut-il jamais tentative plus rétrograde?
a Je ne connais pas la règle que Cauchy a donnée en 1854, pour la convergence de la série de Taylor. Je serais étonné qu'elle fût exacte, car MM. Briot et Bouquet n'en auraient donc pas profité.
« A ce propos, il me semble que vous frappez un peu sur mon dos, dans votre note insérée aux Comptes rendus (séance du 1" février). Je ne m'en plains pas, parce que, comme je vous l'ai dit dans la première leilre que j'ai eu l'honneur de vous écrire, je ne vois absolument aucun mérite à avoir reconnu l'absurdité évidente des règles données par MM. Cauchy, Puiseux, Briot et Bouquet, etc.
« Mais je constate que M. Puiseux n'a pas manqué le coche à la séance suivante.
« Grand bien lui fasse !
« Il essaye, après vous, de sauver Cauchy, après avoir été obligé de confesser ses erreurs, qu'il n'avait cependant puisées que dans Cauchy.
(î II paraîtra s'être sauvé par la même occasion, aux yeux des gens qui n'examinent pas les choses de près ; mais je le rattraperai.
M. Genocchi me répondit le 10 mars. Il me disait :
« Je vous rernercie de votre très-aimable lettre. » « Je regrette que votre santé, etc. »
« Je vous remercie surtout de vos intentions bienveillantes pour la mémoire de mon compatriote et ami M. Chiô. »
« Je ne suis pas très- satisfait de la rédaction de ma note du 1®^ février. En voulant être concis je n'ai pas été assez exact. J'ai mieux exprimé ma pensée dans les Nouvelles Annales (février 1875). Puis-je espérer que vous reconnaîtrez qu'en cherchant h sauver les droits de mon compatriote, je n'ai pas porté préjudice aux vôtres? L'intention aété bonne.»
« Pour M. Puiseux, je vous l'abandonne. Il aurait dû s'expliquer ma note des Com.ptes rendus par les détails que j'avais donné précédemment, dans l'article du Bulletin Boncompagni. Mais il a préféré s'en tenir à cette note, pour avoir raison de moi. C'est en vérité un beau triomphe •
Ce que dit là M. Genocchi n'est pas exact: l'article au Bulletin Boncompagni n'est autre chose que le Richiamo oii M. Genocchi avait voulu établir, ce qu'il avait répété dans sa note du 1" février, que Cauchy ne s'était jamais trompé sur la condition de convergence de la série de Taylor ; Et M. Puiseux n'a fait qu'enregistrer l'affirmation de M. Genocchi.
M. Puiseux sait bien que cette affirmation est inexacte, puisqu'il ne s'est trompé lui-même que d'après Cauchy; il cache la vérité au public, dans l'intérêt de la coterie à laquelle il appartient, mais M. Genocchi n'a le droit de s'en plaindre ni en son nom, ni au nom de son ami. II n'y aurait que moi de lésé dans tout cela, si le public croyait tout ce qu'on lui dit.
« Mais pour Cauchy, je crois toujours que le mieux serait de le ménager. Soutenez vos droits, démontrez la supériorité de vos méthodes,
— sommais ne l'attaquez pas avec animosité, car c'est, je vous le répète, le plus admiré à l'étranger, parmi les mathématiciens français contemporains. En supprimant Cauchy, quel nom opposerait-on en France aux Jacobi et Riemann de l'Allemagne ? »
• Il ne s'agit pas de supprimer Cauchy, quia rendu d'immenses services. Il s'agit d'abord de ne pas pousser l'admiration envers lui jusqu'à persévérer dans les erreurs qu'il a pu commettre, mais qui lui sont d'autant moins reprochables qu'il a abordé avec succès, au moins partiel, une masse énorme de questions neuves de son temps ; il s'agit en outre de remplacer par d'autres méthodes plus rationnelles et mieux appropriées à l'enseignement, celles que Cauchy a employées pour faire faire à la science d'importants progrès et qui, lui ayant réussi, sont naturellement, par le fait même, au-dessus de toute attaque, mais qui cependant reflètent le désordre d'un génie purement créateur, nullement philosophique. Il s'agit enfin de conserver à chacun ses droits et de réagir contre les prétentions d'une école qui, sous le prétexte que Cauchy a été un grand homme, voudrait, d'abord, que ses disciples seuls eussent du mérite, et, en second lieu, que les progrès réalisés en dehors d'eux, leur fissent cependant retour.
Quant à attaquer Cauchy, avec animosité, je ne l'ai jamais fait. Je n'ai jamais parlé de lui que commej'en parle en ce moment.
Au reste il était plus juste et moins personnel que ses disciples, et avait l'esprit plus large.
11 se laissait bien aller à commettre de petits détournements, mais il le faisait sans réflexion, par entraînement, et il est remarquable même qu'il le faisait surtout aux dépens de gens auxquels, comme moi, il rendait en même temps service. Ses petites supercheries étaient noyées dans des jugements éclairés et bienveillants. Il n'aurait certainement pas poursuivi, pendant quinze ans le projet de dépouiller un autre savant. Je vais plus loin, je pense que si on eût réclamé près de lui au sujet d'une de ses petites spoliations, il eût cédé de bonne grâce. Il était du reste assez riche de son propre fonds.
J'ai poursuivi Cauchy dans ses erreurs, mais c'est là le progrès. Cela ne m'empêche pas de l'admirer.
Au reste si j'ai été obligé de mettre dans ma poursuite un peu d'acharnement, ses disciples ne peuvent s'en prendre qu'à eux du tort que j'ai pu faire à leur maître.
En effet, quand j'ai signalé une première erreur, on m'a ri au nez : alors j'en ai signalé une autre, pour faire croire à la première, puis une troisième, pour faire croire aux deux premières, et ainsi de suite. Plus lard, quand il n'y a plus eu moyen de rire, on a voulu faire croire qu'on n'avait jamais pensé autrement que moi : j'ai trouvé le procédé singulier;
je n'ai cependant rien dit pendant dix ans. Mais il fallait bien chercher une explication du fait : j'ai trouvé cette explication dans l'exemple que Gauchy avait donné à ses disciples et j'ai dû proposer l'explication à laquelle j'étais parvenu. — Au reste, quand on voudra la paix, on n'aura qu'un signe à me faire, mais tant qu'on continuera la guerre, je ferai feu de tous mes sabords.
« Dans les Comptes rendus de 1834 (26 juin, page 1104) Gauchy s'occupait de la résolution des équations et du développement de leurs racines. Les règles qu'il énonçait me paraissent exactes, il développe une racine a suivant les puissances d'un paramètre t et dit : « a sera développa-
« ble tant que la racine a ne cessera pas d'être une racine simple...
« La série trouvée deviendra divergente à partir de l'instant où le para- ({ mètre t acquerra un module tel que pour ce module et pour une vaa leur convenablement choisie de l'argument de t, la racine a cesse «d'être simple.»
L'article de M. Genocchi avait donc paru dans les Nouvelles Annales. L'épreuve ne m'en avait pas été envoyée, je ne sais pourquoi. Aussitôt que je pus sortir, j'allai demander à M. Gauthier- Villars le numéro de février.
C'était, comme je l'ai déjà dit, à propos d'une communication de M. A. Picart, député à l'Assemblée nationale et professeur très-distingué d'une de nos facultés dés sciences, que M. Genocchi avait cru devoir adresser sa lettre à M. Gérono. Je dus donc rechercher aussi l'article de M. Picart. Cet article ne contenait relativement à moi que ces quelques mots :
« En appliquant la série de Maclaurin au développement de la fonction F (z) suivant les puissances ascendantes, entières et positives de x et invoquant le théorème célèbre de Gauchy relatif à ce développement, on limitait le cercle de convergence de la série à la valeur de x de plus petit module pour laquelle l'équation a une racine double. Mais pourquoi la valeur de plus petit module? Car généralement la convergence de la série de Maclaurin est limitée à la valeur de la variable pour laquelle la valeur de la fonction à détermination multiple, que l'on développe, devient infinie ou égale à une autre valeur de cette fonction^ et cette valeur de la variable n'est pas nécessairement, comme vient de le démontrer M. Maximilien Marie, celle qui a le plus petit module, parmi les valeurs qui rendent la fonction ou sa dérivée infinie. »
Si une aussi simple énonciation d'un fait historique avait appelé une rectification, la rectification, il me semble, eût dû consister à remplacer
d'abord les derniers mots par ceux-ci : qui rendent la fonction ou ses dérivées infinies, à partir d'un certain ordre (car la criticité d'un point multiple d'ordre assez élevé peut ne se manifester qu'à la centième, à la millième dérivation) ; et à rappeler en second lieu, ce qu'indique bien à la vérité la contexture de la phrase de M. Picart, par l'opposition entre l'ancien et le nouvel énoncé, mais seulement pour les gens qui savent le fin des choses, que c'est moi qui ai fait rejeter parmi les points non critiques les points multiples où les dérivées de la fonction se séparent sans devenir infinies, où U équation acquiert une racine multiple, sans que la fonction ni ses dérivées y deviennent infinies.
Quoiqu'il en soit, voici la lettre de M. Genocclii à M. Gérono:
a Votre collaborateur, M. Picart, dans le numéro de février de vos Annales (c'est le numéro de février 1874), cite M. Maximilien Marie au sujet de la limite à laquelle s'arrête la convergence de la série de Taylor, et qui n'est pas nécessairement la valeur de la variable offrant le plus petit module parmi celles qui rendent la fonction ou sa dérivée infinie. »
Taylor est ici mis pour Mac-Laurin. Qndinih celles qui rendent la fonction ou sa dérivée infinie, c'est du Cauchy ; je dis : qui rendent les dérivées de la fonction infinies à partir d'un certain ordre. Ce n'est pas seulement parce que l'énoncé de Cauchy serait faux, que je fais cette rectification, c'est aussi parce que j'ai, le premier, fait remarquer que toutes les dérivées d'une fonction quelconque deviennent infinies en même temps qu'elle, pour une valeur finie de la variable, ce que ma théorie des asymptotes me suggérait naturellement, mais ce qui a étonné, lorsque je l'ai dit pour la première fois, dans mon Mémoire de 1865 sur la série de Taylor.
(( Dans une note publiée en 1873, dont j'ai l'honneur de vous adresser un exemplaire (ce ne peut être que le Richiamo), j'ai montré que cette remarque doit être attribuée à mon compatriote M. Félix Ghiô, qui l'a faite le premier et avec toute la précision désirable. »
Mais M. Genocchi, dans son liickiamo, avait reconnu exactement le contraire. En effet, les quelques mots que M. Picart avait bien voulu me consacrer et auxquels répondait M. Genocchi, se rapportent à la négation par moi du principe admis par Cauchy et ses disciples que le point critique le plus proche du point origine fût toujours le point d.'arrêt de la convergence; or, dans son Rïchiamo, M. Genocchi avait cité, du Mémoire de 1844 de M. Ghiô, ce passage qui prouve clairement qu'à cette époque M. Ghiô croyait encore que la convergence est arrêtée au point critique le plus proche du point origine: « Appelons a celle des
(( racines de l'équation qui est donnée par cette série Pour
« qu'elle soit développable en série convergente suivant les puissances « ascendantes de t il faudra chercher le plus petit module X de t^
« par rapport auquel -T- devient discontinu. Pour cela, il faudrait
« établir l'équation 1 — t /"(a) = 0, où d'abord l'on devrait mettre « pour a sa valeur en fonction finie de ^, si cette valeur nous était con- « nue, et ensuite il faudrait chercher.le plus petit module des racines t . (( de l'équation en t, dans laquelle se réduirait la dernière après la subs- « titution dont nous venons de parler. » Et pour que le fait fut encore mieux établi^ M. Genocchi avait en outre reproduit du mémoire de J868 de M. Ghiô(il n'en existe pas entre 1844 et 1868) ce passage oîi M. Chiô, sept ans après moi, annonçait comme une nouveauté que la convergence n'était pas toujours arrêtée au point critique le plus proche du point origine : « Enfin, il y a un troisième point qui a besoin d'être
« éclairci et dégagé de toute incertitude Tous les géomètres
« (M. Chiô ne connaissait sans doute ma protestation) qui ont appliqué
(i le théorème de Caucliy (ces lacunes sont dans le texte) à la re-
« cherche de la règle de convergence de la série de Lagrange, représen- « tant l'une des racines de l'équation
<( ou bien de l'équation
(5) a — x-\- if {x) = 0,
« ou se sont bornés à dire que la série reste convergente tant que pour « des valeurs croissantes du module T de ? l'équation (2) ou (5) n'ac- « quiert pas des racines égales ou infinies : ce qui est vrai, mais laisse in- « décis le module de la série ; ou bien (ces italiques sont dans le texte) « ils en ont conclu (ceci regarde MM, Puiseux, Briot et Bouquet qui peuvent voir par là que je ne suis pas seul à leur prêter les opinions qu'ils ont si nettement professées, malgré leurs récentes dénégations) « que la valeur limite T' des modules de t, pour lesquels la série reste t( convergente, est donnée par le module le plus petit de t qui fait acqué- « rir à l'équation (2) ou (5) des racines égales ou infinies. Or, cette der- « nière assertion est inexacte. Nous produisons en effet » (sept ans après que j'avais discuté la convergence du développement de l'ordonnée du folium, pour tous les systèmes de valeurs initiales de l'abscisse et de l'ordonnée) « des exemples où la série de Lagrange continue d'être con- (( vergente même après que le module de ^ a dépassé le plus petit « qui introduit des racines égales dans l'équation proposée » et enfin pour mettre le dernier point, sur le dernier i, M. Genocchi, toujours
dans le Richiamo, avait ajouté : « Ma siamo ben lungi dal pensare che « il signor Marie non sia giunto col solo suo ingegno e co* suoi studi ai « risultati che piibblicô, ne possiamo rimproverarlo di non aver conos- (t ciuto leconformi ricerche del Chiô fatte pubbliche nel 1832 (il s'agit du « Mémoire de 1844 publié en 1832 dans le Journal des savants (c étrangers) come non teniamo in colpa il Cniô che nel 1868 non conos-
u CEVA LE COSE STAMPATE DAL SIGNOR MaRIE NEL 1861 . »
Ainsi la reconnaissance formelle de mon droit, dans le Richiamo^ se transformait, dans la lettre à M. Gérono, dans lafiirmalion inverse du droit de Chiô.
Grâce à la facilité que j'avais montrée, la réclamation allait le diable, acquirem vires eundo.
« le ne me suis pas appuyé sur des documents rares ou inédits, mais sur le recueil des Comptes rendus et sur un Rapport rédigé par Cauchy lui-même (pourquoi lui-même ?), qui, après avoir rappelé son célèbre théorème sur la convergence de la série de Maclaurin, s'exprimait de la manière suivante :
(( En appliquant ce même théorème dans mes Exercices d'analyse, à la « série de Lagrange et en supposant cette série ordonnée suivant les (( puissances ascendantes d'un paramètre variable, j'ai dit qu'elle dece meure convergente quand le module du paramètre est inférieur au « plus petit de ceux qui introduisent des racines égales dans l'équation (( donnée. Cette proposition est exacte ; mais il convient d'ajouter, avec « M. Chiô, que la série de Lagrange demeure convergente, quand le « module du paramètre est inférieur au plus petit de ceux qui rendent (( égales deux racines, dont l'une est précisément la somme de la série. « Telle est, en effet, la conséquence qui se déduit naturellement du « simple énoncé du théorème général. »
Cette citation est extraite du Richiamo. Elle établit bien que M. Chiô avait fait, dès 1844, cette remarque, qui s'est aussi présentée la première à mon esprit, quelacriticité appartient à la fonction et non à la variable, c'est-à-dire qu'une valeur prétendue critique de la variable n'aurait rien de particulier si la fonction définie par sa valeur initiale et assujettie à la continuité, ne devait pas parvenir à une de ses valeurs infinies ou multiples, correspondant à cette valeur de la variable, lorsque cette variable aurait passé, par le plus court chemin, de sa valeur initiale à sa valeur d'abord considérée comme critique.
J'avais bien dit à M. Genocchi, dans ma première lettre, que la proposition énoncée dans le Mémoire de 1868 de M. Chiô, que le point d'arrêt de la convergence n'est pas toujours le point critique le plus proche du point origine, si on l'entend bien, reproduit sous une autre m* p. 20
forme la première observation (celle qui est mentionnée dans l'extrait qui précède); et en effet, si la fonction n'acquérait pas nécessairement sa valeur infinie, multiple ou ayant ses dérivées infinies à partir d'un certain ordre, dès que la variable atteindrait, par le plus court chemin, sa valeur critique la plus voisine de sa valeur initiale, on devait en conclure, si l'on entendait bien les choses, que la convergence ne serait pas arrêtée à cette valeur critique de la variable, la plus proche de sa valeur initiale. Mais les mots, si on V entend bien, contenaient une supposition, et j'avais d'autant moins lieu d'admettre cette supposition à l'égard de M. Ghiô, que, d'après le Richiamo, M. Chiô avait mis (68 — 44) ans à passer d'un des points de vue à l'autre. Or la même difficulté avait bien dû se présenter à l'esprit de MM. Puiseux, Briot et Bouquet, mais s'ils l'avaient envisagée, puisqu'ils regardaient néanmoins le point critique le plus proche du point origine comme devant arrêter la convergence, c'est nécessairement qu'ils pensaient que la fonction parviendrait à sa valeurinfinie ou multiple, et non pas à une de ses valeurs simples et finies, lorsque la variable atteindrait, par le plus court chemin, sa première valeur critique. Rien ne prouve que M. Chiô n'ait pas d'abord tranché la question en ce sens. J'admets parfaitement qu'en 1868 M. Chiô n'avait pas connaissance de mes travaux, et j'en conclus qu'il était en état de résoudre tout seul la difficulté, mais il n'en résulte pas qu'il l'ait résolue en 1844. A moins, ce qui est possible, mais non prouvé, que la solution de ce point délicat ne soit justement ce qu'il a, d'après M. Genocchi, retranché de son Mémoire de 1844, conformément aux conseils.de Cauchy.
« J'ai montré aussi dans la même note (le Richiamo) que Cauchy avait, dès 1844, remarqué les exceptions que comporte la règle tirée des racines égales de l'équation (ceci n'est pas très-clair, M. Genocchi pourrait-il citer un passage où Cauchy ait renié la criticité des abscisses des points multiples d'un lieu où les dérivées de l'ordonnée se sépareraient sans devenir infinies? Dans le cas contraire, l'observation de Cauchy ne prouve que l'absence de fixité dans ses idées) et proposé de la rejUplacer par une autre règle relative aux valeurs infinies de la fonction ou de ses dérivées (jamais M. Cauchy n'a parlé que de la première dérivée de la fonction), en ajoutant que cette dernière règle avait été adoptée par Chiô dans son Mémoire de la même année. (Mais l'extrait rapporté plus haut du Mémoire de 1868 de M. Chiô prouve qu'il avait ensuite changé d'avis, comme au reste avait fait Cauchy lui-môme en 1854, ainsi que cela résulte de la lettre de M. Genocchi en date du 11 février. On ne peut donc voir dans tout cela que des tâtonnements.) Le calcul de Cauchy est identique à celui qu'a développé M. Puiseux dans son Rapport sur les Mémoires de M. Marie. (Que ce soit dans Cauchy que M. Puiseux ait trouvé le calcul dont il s'agit ou qu'il l'ait extrait de son
Mémoire de 1831, comme cela semble plus probable, je n'en sais rien, mais comme, malgré ce calcul, ces messieurs avaient conservé la crilicité aux points multiples où les dérivées de la fonction, finissent par se séparer, sans devenir infinies, que j'ai eu toutes les peines du monde à faire reconnaître à M. Puiseux son erreur, que ce n'est même que dans la seconde édition de son Rapport qu'il l'a reconnue, après de nouvelles observations de ma part, transmises par M. Bonnet, si Cauchy avait fait le même calcul que M. Puiseux, il faudrait en conclure que M. Puiseux n'avait pas été seul A le faire sans y voir ce qui s'y trouvait.) Chiô a insisté sur la distinclion précédente dans un Mémoire postérieur (celui de 1868 sans doute), présenté à la Société philomatique, et je vous prie. Monsieur, d'en agréer un exemplaire. » (Si Chiô a fait cette observation en,1868, il l'a faite sept arls après moi, et s'il y a un mérite, c'est que Cauchy ne l'avait pas faite.)
a Ainsi, la priorité de mon compatriote est, je pense, très-clairement établie. »
Très -clairement est joli en soi.
Mais que dirait-on d'un pêcheur qui, ayant trouvé une perle superbe et l'ayant rejetée dans l'Océan, voudrait, le lendemain, la reprendre dans la poche d'un confrère mieux avisé?
Or, dans l'hypothèse la plus favorable, ce serait justement le cas de M. Chiô : il aurait en 1844 reconnu que le point d'arrêt de la convergence de la série de Taylor n'est pas toujours le point critique le plus proche du point origine, et il aurait fait si peu de cas de cette découverte qu'il en aurait supprimé renonciation par condescendance pour M. Cauchy.
Au reste, il n'y a aucune perle dans tout cela. La perle à découvrir était le point d'arrêt parmi les points critiques ; le reste n'est que petits cailloux. En effet, comme je l'ai déjà dit bien des fois, il était par trop facile de reconnaître que l'énoncé de Cauchy était faux.
Sans doute, Chiô avait vu à peu près l'erreur ovi l'on était univer-^ sellement tombé et il était de mon devoir de lui reconnaître, comme je l'ai fait, mais dans une mesure raisonnable, la priorité de son doute, mais c'était dépasser toutes les bornes que d'écrire : Ainsi la priorité de mon compatriote est, je pense, très -clairement établie.
Au reste, la phrase était d'autant plus désobligeante pour moi que la partie essentielle de mes recherches, celle où je me suis proposé de déterminer le point d'arrêt, parmi les points critiques, n'étant pas mentionnée et tout l'ensemble de l'article étant d'ailleurs fort peu clair, le lecteur pouvait à peine savoir sur quoi la priorité était réclamée en faveur de M. Chiô.
« Je suis heureux d'ajouter que dans deux lettres que M. Marie a bien
voulu m'adresser, il a loyalement reconnu les droits de Félix Ghiô, en regrettant que les sentiments d'admiration et de reconnaissance voués parce dernier à Gaucliy l'aient empêché de faire valoir ses droits exclusifs. « Son silence, dit M. Marie, a eu pour résultat définitif de telle- « ment ensevelir sa découverte que les disciples de Gauchy, ceux M mêmes qui ont dû compulser ses moindres écrits, n'en eurent pas « connaissance, puisqu'ils n'en ont pas profité et qu'ainsi la science en « resta privée pendant une vingtaine d'années. » M. Marie ajoutait : « Je vous remercie de l'envoi du troisième Mémoire de M. Chiô, que « j'ai lu avec un vif intérêt et qui montre quelle rectitude de jugement « M. Ghiô apportait dans les difficiles recherches qui l'ont occupé. » 11 finissait par ces mots : « Et maintenant je viens me mettre à votre dis- « position au sujet de ce qu'il conviendrait de faire dans l'intérêt de « la mémoire de M. Chiô. »
Ges passages sont bien textuellement extraits de mes lettres, mais ce qui les encadrait était nécessaire pour leur donner leur véritable sens.
« Je vous demande donc. Monsieur, de vouloir bien faire une petite rectification à l'article de M. Picart. Ge sera une œuvre juste et pieuse dont nous serons infiniment reconnaissants, la famille de M. Ghiô et moi. Je pourrais discuter quelque autre affirmation de M. Picart, mais je me borne à citer les paroles suivantes de M. Darboux : « Les conditions « nécessaires et suffisantes pour la convergence de la série de Lagrange « sont bien connues ; elles ont été indiquées avec toute la netteté pos- « sible par Gauchy et par Félix Chiô. Il n'y a donc plus rien de nouveau « à établir sur cette question, et ce qui a pu faire illusion, dans ces der- « niers temps, à quelques géomètres, c'est que, dans son beau Mémoire «sur cette série, M. Rouché s'est contenté de donner une condition (( suffisante pour la convergence, mais nullement nécessaire. » {Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, t. VI, p. 67, 1874.)
Cette dernière partie appelle plusieurs rectifications.
« Et d'abord, M. Darboux, qui arrive au secours de MM. Puiseux et Bouquet, commet ici une maladresse, car si les conditions nécessaires et suffisantes pour la convergence de la série de Lagrange (ou de Taylor) avaient été indiquées avec toute la netteté possible par Félix Ghiô, MM. Puiseux, Briot et Bouquet seraient impardonnables de s'être si grandement fourvoyés. — Il vaudra bien mieux pour M. Puiseux, qui a écrit en 1851, pour MM. Briot et Bouquet dont la théorie des fonctions doublement périodiques a paru en 1859, que les conditions dont il s'agit n'aient été indiquées, avec toute la netteté possible, que par moi, en
«En second lieu, M. Darboux montre qu'il ne sait pas ce dont il parle, ou qu'il ne dit pas ce qu'il sait; car, pour déterminer, je ne dirai pas avec toute la netteté possible , mais simplement avec netteté, la condition de convergence de la série de Taylor, il s'agissait d'assigner le point d'arrêt parmi les points critiques; or, c'est à quoi Cauchy n'a jamais songé, croyant que le point critique le plus proche du point origine était toujours le point d'arrêt; et si Chiô a envisagé la question, en 1868, sept ans après moi, il ne Ta en tout cas pas résolue.
Quant à M. Rouché, qui a en eflet étudié la question sous toutes ses faces, il me disait il y a quelques mois :
« Il est certain que vous êtes le premier qui ayez vu clair dans la série de Taylor. » Comme j'attache un grand prix à ce témoignage, je prie M. Darboux de me permettre de l'opposer au sien.
Le rapport de M. Puiseux avait achevé de me cuirasser contre toutes les méchancetés dont on voudrait bien m'honorer, et je n'ai pas songé un instant à répondre publiquement à M. Genocchi. Cependant je ne pouvais pas laisser passer son article sans protestation. Je lui écrivis à la fin de mars.
« Monsieur, l'énoncé que vous voulez bien me communiquer des conditions de convergence de la série de Taylor, d'après Cauchy, est aussi faux que tous ceux que je connaissais de lui, de M. Puiseux, de MM. Briot et Bouquet.
(t Cauchy admet qu'une racine cesse d'être développablc à partir du moment oh elle cesse d'être simple. C'est complètement faux. Ainsi
estdéveloppable, par la série de Maclaurin, de 0 à 1, quelque petit que
soite, quoique les deux valeurs de cette fonction se confondent pour
x= t. Cela tient h ce que les dérivées des deux valeurs de la fonction
restent toutes distinctes pour j?= e. Si en effet y cessait d'être dcvc-
dy loppable au delà de a: = e, -~ cesserait aussi de l'être, quoique x = e
ne fût pas une valeur critique de -j^ de sorte que les points d'arrêt de
la convergence du développement d'une fonction ne seraient plus les points critiques relatifs à cette fonction, d'oii résulterait l'écroulement de toute la théorie !
« Outre cette erreur matérielle, que M. Puiseux a bien été obligé de reconnaître dans son Rapport, l'énoncé contient ausii un non-sens, car ce n'est rien dire que de dire : la fonction cessera d'être développablc
au moment où elle cessera d'ôlre simple, si on ne sait pas quand cela arrivera.
« Il arrive toujours que quelques valeurs de la fonction deviennent égales en un point vraiment critique, mais si celle qu'on développe n'est pas comprise parmi celles-là, le point en question n'est pas critique pour elle.
« Au fond, Cauchy croyait, comme en témoigne tout ce qui a été écrit par lui et par ses disciples, que le point critique le plus proche du point origine arrêtait toujours la convergence, quelle que fût celle des valeur? delà fonction qu'on développât. Cette absurdité n'est pas expressément reproduite dans l'énoncé que vous voulez bien m'adresser, mais elle y est d'intention, pu bien le texte n'a pas de sens, car ce serait une pure naïveté que de dire que la série, qui n'a jamais qu'une valeur, ne pourrait pas représenter toutes celles de la fonction qui se sépareraient les unes des autres après être un instant devenues égales.
« J'ai lu votre lettre insérée dans le numéro de février des Nouvelles Annales et je vous demande la permission de vous en*dire franchement mon avis^ ainsi que de votre note insérée dans les Comptes rendus.
« Les extraits que vous citez de mes lettres ne rendent que très-imparfaitement ma pensée, car j'ai bien reconnu que M. Chiô avait entrevu la vérité d'une façon à peu près nette, mais j'ai constaté en même temps qu'il ne l'a dite ni assez haut, ni assez clairement pour se faire entendre, puisque les disciples de Cauchy, eux-mêmes, ne l'ont pas vue dans le Rapport oh. Cauchy approuvait M. Chiô, en s'attribuant d'ailleurs sesidées, sans probablement s'en rendre bien exactement compte, puisqu'il approuvait ensuite, de même, le Mémoire de M. Puiseux.
« En réalité, c'est sur moi seul qu'a porté le poids de la discussion.
« J'aurais été heureux que vous me rendissiez justice à cet égard.
«Je vous disais aussi : «Il n'y a de mérite pour personne à ce que « Cauchy ait dit des bêtises, et cinq minutes de réflexion suffisaient (f amplement à reconnaître son erreur, aussi ne fais-je dater mes travaux n sur la série de Taylor que du moment oti j'ai pu déterminer le point n d'arrêt parmi les points critiques. »
« J'ai bien été obligé, avant de poser la question de la détermination du point d'arrêt, de crier sur les toits que le théorème de Cauchy était faux, mais si je n'étais parvenu à aucun résultat nouveau, je n'aurais
même pas songé à relever l'erreur par trop évidente de Cauchy et de ses disciples.
«Ce sont les exemples que j'ai donnés, dans le journal de M. Liouville, de la détermination du point d'arrêt, parmi les divers points critiques, et les preuves qui en sont résultées que le point critique le plus proche du point origine n'était pas toujours le point d'arrêt, qui ont enfin triomphé de préjugés trop enracinés pour tomber devant une timide et insaisissable protestation. ■
« J'aurais attaché un grand prix à un mot d'éloge de votre part au sujet de l'important progrès que j'avais fait faire k la question en déterminant, par exemple, pour chaque système de valeurs initiales de la variable et de la fonction, le point d'arrêt de la convergence du développement de la fonction y, dans l'exemple
y^ — 3axi/ -f- ^' = 0,
où se présentent quatre points critiques. — Cet éloge n'eût nui en rien à la mémoire de M. Chiô, au contraire, car enfin ce que j'ai pu dire en faveur de M. Chiô n'a de valeur qu'en raison de ma compétence dans la question.
« En résumé, je crois que si vous relisez vos deux articles et votre Richiamo, vous y verrez : \° que je ne compte pas dans la question de la série de Taylor ; — 2° que Cauchy ne s'est pas trompé au sujet de cette question et que M. Chiô partageait ses opinions, ce qui me paraît contraire h votre thèse, car si M. Chiô n'avait fait qu'approuver les opinions de Cauchy, il ne serait même pas question de lui aujourd'hui.
« M. Chiô a eu un mérite, que j'ai reconnu, celui d'avoir contredit Cauchy sur les points où il avait tort, mais pour que ce mérite ne soit pas imaginaire, il faut au moins que Cauchy se soit tçompé. Comment donc pouvez-vous plaider à la fois l'infaillibilité de Cauchy et le mérite de M. Chiô?
« Il me semble que vous plaidez de façon à perdre votre procès et celui de M. Chiô devant toutes les juridictions possibles et imaginables. La réponse de M. Puiseux vous en est du reste une preuve. Il n'a eu qu'à ramasser les atouts que vous lui aviez mis dans la main pour gagner la partie en cinq lignes.
« Vous me disiez dans une de vos lettres : « Il me répugnait d'accuser M. Cauchy de mauvaise foi. » Il faudrait pourtant prendre parti dans un sens ou dans l'autre.
« En un mot, voici ce qui s'est passé. M. Chiô a relevé une erreur de Cauchy; Cauchy dans son Rapport s'est approprié l'opinion de M. Chiô, en noyant l'emprunt dans une phraséologie qui permît au public de se faire illusion, but qui fut si bien atteint qu'on n'aperçut même pas la rectification; et là-dessus vous dites : Chiô et Cauchy étaient du môme
avis, c'est M. Marie qui est le trouble-fête ! Cela me serait égal en ce qui me concerne, mais, dans votre hypothèse, je le répète, je ne vois plus le mérite de M. Chiô.
« Je vous demande pardon d'insister si fort sur un pointqui, en réalité, me tient fort peu au cœur, mais comment voulez-vous, après ce que vous avez écrit, que je rétablisse M. Chiô dans ses droits ?
« Vos deux articles m'ont donné l'envie de voir celui de M. Picart, dont je n'avais pas encore entendu parler. M. Picart ne dit de moi que deux mots rappelant un fait de notoriété publique, et je nai rien vu dans son article qui explique l'à-propos de votre réponse.
« J'avais été averti par M. Brisse de l'envoi de votre lettre à M. Gérono, avant que vous m'en eussiez parlé et je lui avais dit que peut-être j'aurais à y ajouter quelques mots, qui n'eussent pu être qu'en faveur de M. Chiô; mais, en l'état de la question, je préfère garder le silence, ne voulant ni vous contredire, ni me charger moi-même de mon panégyrique.
« Si les raisons que je vous donne dans cette lettre vous convainquent, vous pourrez mieux que moi remettre les choses en un état satisfaisant pour vous, pour M. Chiô et pour moi.
« Agréez, je vous prie, Monsieur, l'expression nouvelle de mes meilleurs sentiments. »
Le but que je m'étais proposé dans cette lettre est indiqué dans les conclusions. Je voulais obtenir de M. Genocchi une détermination nette dans un sens ou dans l'autre. Je n'y suis pas parvenu.
Quelques termes de sa réponse m'ont fait vaguement supposer que je l'avais blessé, je lui en ai d'autant plus volontiers exprimé mes regrets, qu'il avait été bien loin de ma pensée d'avoir l'intention de le faire, mais je n'en persiste pas moins à penser que les intérêts de M. Chiô et la justice auraient gagné à être défendus comme je l'entendais.
Quoi qu'il en soit, je citerai deux parties de la réponse de M. Genocchi, l'une qui peut intéresser le public et l'autre qui me concerne.
M. Genocchi débutait par ces mots :
« Je ne suis pas heureux dans mes citations. Je croyais vous donner des énoncés exacts, et vous trouvez qu'ils sont complètement faux. 11 faudrait pourtant apporter un peu d'indulgence dans la discussion. Summum jus, summa injuria. Il y a deux questions : la question des racines multiples et celle de la valeur infinie de la fonction et de ses dérivées. Le Mémoire de -ISoi que je vous ai cité se rapporte à la première question et les exemples que vous me citez se rapportent à la seconde ; mais pour celle-là, vous savez qu'il y a un Mémoire plus ancien de Cauchy et très-explicite, celui delSM, dont j'ai parlé dans monJîichiamo et dans lequel on détermine les valeurs critiques en supposant infinie quelqu'une des dérivées. » {Comptes rendus, tome XIX, page 142.)
II me semble que celte explication ne prouve que la confusion des idées de l'auteur des deux Mémoires de 1844 et de 4854. Je ne vois en tout cas pas les deux questions. Il s'agit, je crois, de la convergence de la série de Taylor : or, l'énoncé de 1854 étant faux, que peut être celui de 1844? S'il était exact, ce que je ne pense pas, la correction qui y aurait été faite démontrerait qu'il ne l'était que par hasard.
Voici la seconde partie :
« En ce qui touche M. Chiô, j'avais pensé que l'article de M. Picart vous devait oll'rir l'occasion de rendre justice à mon ami et j'attendais. Après avoir attendu plusieurs mois, je me suis décidé à parler moimême. »
Ceci est presque un reproche ; mais comment aurais-je pu songer à répondre à l'article de M. Picart, dont je n'avais jamaisentendu parler ?Il est vrai que si j'en avais eu connaissance, je n'aurais songé qu'à une seule chose, remercier M. Picart, ce que j 'ai fait depuis. Mais au lieu d'attendre que je m'insurgeasse contre un article que je ne connaissais pas, pourquoi M. Genocchi ne me le signalait-il pas?
Lorsque j'avais expliqué à M. Bonnet ma méthode de classification des intégrales d'origine algébrique, il m'avait appris que M. Hermite s'occupait depuis quelques années de cette même question, dans ses leçons à l'École Polytechnique, et que la première partie de son cours, qui venait de paraître, comprenait précisément le développement de ses idées au sujet de la question dont je m'étais occupé. Je pris connaissance de cet ouvrage aussitôt que je le pus. J'ai été étonné, en le feuilletant, d'y trouver cité avec approbation, comme extrait du Cours de calcul différentiel et intégral de M. Serret, cet énoncé bizarre du théorème de Gauchy, relatif à la série de Taylor :
« Toute fonction sera développable en série convergente, suivant les puissances entières et croissantes de la variable, si le module de cette variable est inférieur au plus petit module des valeurs qui rendent la fonction discontinue. »
Cet énoncé a d'autant plus lieu d'étonner que l'ouvrage de M. Hermite a paru en 1873, mai ou juin.
J'y remarquai aussi cette phrase de la note des pages 382 et 383 :
« On voit ainsi dans les parties élevées du calcul intégral toute l'im- « portance de la considération des points doubles, et comment elle dece vient l'un de ces liens que la science de notre époque, et surtout les «beaux travaux de M. Clebsch, ont révélés entre la géométrie supérieure «et l'analyse. »
Cette note se rapporte h l'abaissement qui se produit dans le nombre et la nature des périodes de la quadratrice d'une courbe algébrique de degré donné, à la suite de la formation de points doubles dans cette courbe; or la Théorie der Abelscken functionen a paru en 1866 et le Mémoire oii j'ai consigné, comme une simple remarque, dérivant de ma théorie des intégrales simples, que la quadratrice d'une section plane d'une surface algébrique perd une de ses périodes, par annulation, au moment oti le plan sécant devient langent à la surface, ce Mémoire, que M. Hermite a eu le premier entre les mains, est de 1853.
Mais je ne m'émeus pas pour si peu de chose.
Je lus avec un vif intérêt la théorie des courbes unicursales, c'est-àdire des courbes dont les coordonnées x et y, en raison de la forme de leur équation, peuvent s'exprimer en fonction rationnelle d'une même variable.
Comme je l'avais écrit dans les Comptes rendus, la méthode des conjuguées avait l'avantage sur celle de M. Clebsch, ou de M. Hermite, tant par rapport aux moyens employés que par rapport aux résultats obtenus.
Toutefois, je fus véritablement surpris qu'on eût pu pousser les dé-
couvertes si loin, à l'aide seulement de transformations de calcul, dont, au reste, on aperçoit si peu le motif à priori, qu'il semblerait que toute cette théorie ne soit qu'un assemblage de Réciproques, ^
Je m'étais proposé de déterminer les conditions les plus générales dans lesquelles une courbe algébrique devient quarrable algébriquement, par les fonctions circulaires, ou par les fonctions elliptiques; et j'y étais arrivé.
Au lieu de cela, la théorie de M. Clebsch se réduit à deux théorèmes, concernant deux hypothèses en deçà ou au delà desquelles on ne sait plus rien :
• Si une courbe de degré n a -w (n — 3) points doubles, ses coordonnées peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'une nouvelle variable 0 et d'un radical carré portant sur un polynôme du quatrième degré en 0 ; d'oii résulte que cette courbe est quarrable par les fonctions elliptiques.
Si une courbe de degré n a -(n — l)(n — 2) points doubles, ses coordonnées peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'une nouvelle variable 6 et, par suite, cette courbe est quarrable par les fonctions circulaires.
Dans ce dernier cas, si les périodes cycliques s'évanouissent, la courbe est quarrable algébriquement.
Mais les conditions d'évanouissement des dernières périodes de la quadratrice d'une courbe unicursale étaient fournies par la théorie, sous une forme si compliquée, que M. Hermite s'y était trompé, pour les courbes du troisième degré seulement; ou, du moins, n'avait pas pu obtenir l'équation la plus générale de la courbe du troisième degré quarrable algébriquement, et avait pris le cas le plus général pour un cas particulier.
La lecture de son livre, ou du moins des passages qui m'intéressaient, m'amena à lui écrire la lettre suivante en date du 30 juillet
