APPLICATIONS DE LA MÉTHODE A LA THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS

DE l'indétermination Qt'ON A CRU AFFECTER LA MARCHE ULTÉRIEURE DE LA FONCTION A PARTIR DU MOMENT OU ELLE AURAIT PRIS UNE VALEUR MULTIPLE OU INFINIE.

239. M. Gauchy pensait, pour des raisons que je ne discuterai pas ici, qu'on ne pourrait pas savoir ce que serait devenue une fonction y, assujettie à varier d'une manière continue en même temps que sa variable X, si la marche attribuée- à x amenait cette variable à prendre soit la valeur de l'abscisse d'un des points multiples du lieu \x, y\ soit celle de l'abscisse d'une tangente ou d'une asymptote parallèle à l'axe des y.

Nous devons d'abord établir que cette indétermination n'est pas réelle.

260. Nous ne dirons rien du cas où x serait parvenu à une de ses valeurs critiques, sans que y eût pu prendre la valeur multiple ou infinie qui y correspond en môme temps que d'autres valeurs simples et finies. La question ne peut pas même se poser dans ce cas.

26i. Dans le cas du passage du point [j?, y] par un point multiple, où dxi les valeurs de -r- se trouvent différentes et où les dérivées d'ordres supé-

rieurs de y par rapport à x restent finies, l'erreur est encore trop manifeste pour donner lieu à des explications bien longues. Il suffira d'observer que la continuité d'une fonction n'exige pas seulement que cette fonction ne sautille pas' sans intermédiaires d'une valeur à une autre plus ou moins éloignée ; qu'il faut encore que la même condition soit remplie par chacune de ses .dérivées.

262. L'indétermination est un peu plus difficile à lever lorsque les

valeurs singulières de x et de ?/ sont les coordonnées d'un des points du

contour apparent, par rapport à l'axe des x, du lieu proposé, mais il est

en quelque sorte plus important encore de la faire disparaître dans ce

cas que dans le précédent, car la laisser subsister alors reviendrait pour

ainsi dire à l'introduire partout; puisque, pour la faire naître, il suffi-

dii rait, si -^ devenait une seule fois réel, de diriger d'avance l'axe des y

parallèlement à la tangente au point correspondant du lieu.

Il arriverait de là qu'une question qu'on aurait traitée, dont on aurait la solution, aurait été indéterminée si l'on avait placé autrement le point de vue !

L'inconnue de la question qu'on traite conserve la même valeur, de quelque manière qu'on dirige l'axe des y, tant que Tindétermination ne se présente pas ; si donc elle se présente, parce qu'on a mal dirigé l'axe des y, la seule chose à faire est de le diriger autrement et de recommencer le calcul.

Soient : , ■

^o = «o + ^oV— 1, yo = a'o + ^'o V— 1

les valeurs initiales de la variable et de la fonction;

des valeurs quelconques que prennent en même temps x ^i y, x ayant varié d'une manière continue à partir de a; = x^, en suivant une loi de progression ou chemin, réglée par une condition

et y ayant aussi varié d'une manière continue à partir de y = y,, ; soient enfin :

X = mx^ + wy, y = m'iCi + ^V»

les formules de transformation qui correspondent au changement qu'on veut faire subir aux axes, et

^1 = «1 + Pi V— 1» yi = «1 + P'i v/— 1