SUR U>E PRÉTENDUE INDÉTERMINATION

les valeurs de jl-, et de y, qui correspondent à

0,- = a + [â yj— 1, y = a' + [i' y— 1 on aura entre a, p, a, ^', a,, p,, a'„ S', les cinq équations

a 4- fl V^ = w («1 + Pi V— 1) 4- n (a'j + |i', sj—l), '

«' + P' V^ = ^' («1 + Pi V/^) + n' (a', + ^\ V^),

auxquelles il faudra joindre l'équalion nouvelle de la courbe, ce qui fera en tout sept équations, de sorte qu'une seule des variables a, p, a', P', ttj, [ij, a'i et p\ restera arbitraire.

Ces sept équations définiront explicitement ou implicitement, pourx,, une loi de progression

parfaitement équivalente àcp (a, p)=0 ; de telle sorte que le point [x,, j/j], assujetti à partir de la môme position initiale que le point [x, y], suivra exactement la même route que lui. Mais alors, quand la nouvelle abscisse x^ prendra la valeur correspondant à une valeur critique a -\- b \l — 1 de l'ancienne, la nouvelle ordonnée, habituellement, ne prendra plus des valeurs égales, ou il faudrait qu'on eût encore mal placé le point de vue.

A la vérité la loi de progression cpj («j, f>^) = 0 conduisant chacun des points [xi, y,] par la même route qu'il aurait anciennement suivie, comme plusieurs des points [x, y] venaient occuper une même position,

lorsque x prenait la valeur a -{- b \/ — 1, il faudra bien que les routes d'autant des points [x^, y^] passent aussi par cette position ; mais tandis que quelques-uns des points [x, y] venaient, en même temps, occuper la même place, les points [Xj, y^] correspondants n'y passeront plus que successivement. v

Le changement d'axes le plus simple consistera habituellement dans une substitution de l'axe des x à l'axe des y, et réciproquement.

263. Nous prendrons pour exemple l'équation y' = 2/)x, et nous supposerons le chemin suivi par x défini par l'équation

Si nous faisons tourner les axes de 90 degrés, les formules de transfor mation seront

^ = — yi et y = ^i,

-i CHAPITRE XIX.

de sorte que, x el y étant représentés respectivement par

a 4- a V^ et a -f f,' \f^,

x^ et .Yi le seront par

a' -f p' v^^ et — a — a \J— 1. On aura d'ailleurs entre a, a', fi' les deux équations tirées de f = ^px,

^t p'2 2p^ et a'iâ' = p«, d'où l'on conclura pour définir le nouveau chemin

^'2 | 2a'^' — a'^ = 0 ou ^' = a (— 1 db sj^)-

Cela posé, soit par exemple

x, = p(l-\-S/—î) la valeur initiale de x et

la valeur initiale dey, les valeurs initiales de Xj et de .Vi seront donc

Or c'est la partie

du nouveau chemin qui comporte ces valeurs initiales; par conséquent, il faudra dans l'équation

x,' = — 2py^, ou y^ = -—L ■

assujettir Xi, représenté par a'-|- [â' \/ — 1, à suivre le chemin

pour que le point [a.-,, yj décrive la même route que le point [x, y\ ; et

si ~ reste continu, quand x^ et y^ passeront en même temps par zéro,

dx^ le chemin ne pourra pas se changer en

par conséquent, quelle que soit la valeur finale de x, il faudra, parmi