L'équation

qu'on ramène par une transformation de variables à

y" =: (1 4- ar)«,

oh. l'on peut supposer que x parte de 0, est, je crois, la seule qu'on ait avant moi discutée au point de vue qui nous occupe.

Le point critique est x = — 1, y ^0, il appartient à la conjuguée G = 30 : les branches de cette conjuguée sont représentées, du côté des X plus grands que — 1 par les équations

y=:p (^cos— +V-lsm-et du côté des x moindres que — \ par

où p désigne 1 -f- j? ou — {i -\- x) et où p" n'a qu'une valeur positive.

La théorie indique que, quelle que soit la position du point de départ \x^, yj, la région de convergence ne pourra jamais couper qu'une seule des branches de la conjuguée G =: oo ; d'un autre côté, tous les points qui correspondront à une même abscisse seront toujours séparés les uns des autres par une au moins de ces branches ; par conséquent, si l'on savait quelle est la branche que peut couper la limite de la région de convergence, on saurait par là même dans quelle case se trouvera le point d'arrivée : il appartiendrait à la case qui contenait le point de départ, ou à la case voisine, entamée par la région de convergence, suivant que % et [â^ seraient de n^ême signe ou de signes contraires.

Or, en supposant à x^ une valeur réelle 0, et se donnant en outre la valeur initiale de y, on se donne par là même la branche de la conjuguée G = 3c qui traverse la région de convergence : la question est donc résolue d'avance, il ne reste qu'à en donner la réponse en formule.

Pour cela posons

1 -f- ^ = P (cos ç-f \/ — 1 sin ç), © devant partir de 0 en même temps que x ; il en résultera

(^cos — ^ + si- 1 sm 1— ^j-

52 CHAPITRE xxin.

S'il ne s'agissait pas de retrouver dans cette formule la valeur de y qui se développe par la série de Maclaurin, on pourrait y donner à cp et à p toutes les valeurs imaginables.

Mais en premier lieu, pour que la série soit convergente, il faudra que p reste compris entre 0 et 2, et d'un autre côté, la discussion précédente prouve qu'en raison de cette condition la valeur de la série reproduira bien de temps à autre la valeur de

- / 2A-Tr , I . 2/i;7i

I l cos h V — 1 sm —

dans laquelle h correspondrait à y^, mais ne se rencontrera jamais même avec les valeurs voisines algébriquement

cos

cela signifie évidemment que, pour que la formule

n / '^.kr. 4- m.'i> , I . 2^7r + mcpX

p l cos ■ + V' — 1 sm ■ I

reproduise perpétuellement la valeur de la série, il faudra que m<p reste toujours compris entre -f- '^ et — tt, c'est-à-dire que ?>\x = à.-\-^\j — i est la valeur finale qu'on veut attribuer à a; et qui devra être telle que «2 -| ^2 <; 1, pour mettre d'accord les deux formules, il faudra toujours, après avoir tiré 9 des équations

smçr—

réduire wzcp, par l'addition ou la soustraction d'un nombre convenable de circonférences, à rentrer dans les limites