Soit
fi-e, y, s) H- ^(*'i y- =) + x(^'. .y, -)+... = 0
l'équation de la surface la plus générale de degré m décomposée en groupes de termes homogènes, de sorte que cp, <]/, Xi etc., soient des polynômes homogènes de degrés m. m — 1, ?n — 2, etc Soient d'ailleurs
les équations d'une direction asymptoiique, de sorte que ^ (a, {i>, 1) = 0, et
x — x, ^ y — yo ^ z a ■ p ï
les équations d'une parallèle à celte direction: si l'on veut avoir les intersections de cette parallèle avec la surface on pourra remplacer dans l'équation proposée x,y et z par
•^0 + «p. 3/o + f^P et p, ce qui donnera
p«cp(a, P, 1) -f p'«-i [ar„»'„-f y^cpV -f 'H«,l^> ^)]
+ ^ kVa^ + 3/oVV + 2^oyo?"«? + 2.r„.y. + 2.y„f, + 2^ (a, f^, 1 )]
Mais le terme en p»" disparaîtra de lui-même, (^ (a, ^, 1) étant supposé nul.
Si l'on vent exprimer que la droite
est une asymptote, il faudra poser
(1) ^^oîa + yon + H». I^.i) = o,
ce qui donnera une relation entre les coordonnées x„i y^ de la trace sur
le plan des a: y de l'asymptote parallèle à la direction -= | =-. d'où
l'on voit que les asymptotes paralfèles ;\ une même direction asymptotique sont généralement dans un même plan.
Si l'on voulait déterminer les asymptotes parallèles à la même direction, qui rencontrent la surface en trois points situés à l'infini, il faudrait poser la nouvelle condition
(2) Vf «' + yoYf + 2^oM% + 2.Xof , + 2y,^', + 2^ («, p, 1 ) = 0, ^ d'où l'on voit, comme cela avait été annoncé, que parmi toutes les
asymptotes parallèles à une même direction, il y en aura généralement deux et deux seulement qui rencontrent la surface en trois points situés à l'infini ; ou, ce qui revient au même, que si un plan quelconque se déplace parallèlement à lui-môme, chacune des périodes cycliques de la quadratrice de la section de la surface par ce plan mobile s'annulera deux fois et deux fois seulement, de façon qu'on ne trouvera jamais pour la cubatrice que m périodes sphériques numériques.
449. Si l'on voulait exprimer que les deux asymptotes parallèles à
- = ? = 7, qui rencontrent la surface en trois points situés à l'infini, se
confondent et que la période sphérique numérique correspondante s'annule, il faudrait éliminer x,,, par exemple, entre les équations (1) et (2) et exprimer la condition pour que l'équation restante en y^ eût ses deux racines égales.
L'équation (1) donne
en substituant dans l'équation (2), il vient
+ ,"..^^Mi)2^^(,,^,)+2,(,,p,,)=0.
La condition cherchée est donc
-r9".-û+,'v-%".X'irf..i^-4"«»,p.i.+%(>,?,i)i=o
L ? « Œ^aJ L ? a ?« J
ou
(A) [[?"«.?'?-?%?'«]'?' («'?'!) -4''«Vp9'a+4''p ?''«]*
Si cp, <i^ et X satisfaisaient identiquement à cette condition, quels que fussent a et [i liés entre eux par la relation 9 (a, p, 1) =0, toutes les périodes sphériques numériques' seraient nulles.
Mais, comme nous l'avons déjà dit, ce point est peu important.
430. Pour que la période cyclique, relative à l'asymptote parallèle à
- =^=-, de la quadratrice d'une section plane mobile parallèle à
cette direction, restât toujours identiquement nulle, c'est-à-dire pour que la période sphérique correspondante qui, autrement, varierait avec les limites, restât constamment nulle, il faudrait qu'en éliminant x^, par exemple, entre les équations (1) et (2), ou tombât sur une équation identique en y^. Ces conditions sont
(B) cpV ^4-?V-2<F%t'=0;
Si Ton veut que qes conditions soient satisfaites quels que soient aet[â, c'est-à-dire si l'on veut que toutes les périodes sphériques de la cubatrice disparaissent, ces trois conditions devront être considérées comme des équations aux différentielles partielles, dont <p, <]> et •/. seraient les inconnues.
Ces équations en apparence très -compliquées sont heureusement faciles à intégrer. Ainsi d'abord l'équation
qui se rapporte exclusivement à la fonction ^, exprime que le cône, lieu des parallèles aux asymptotes menées par l'origine, est formé d'un système de m plans.
En effet l'équation de ce cône est ç [x, y, z) = 0, de sorte que ^ {x, y, 1) = 0 est l'équation dans son plan de la section de ce cône par le plan z = 1. Or, pour exprimer que le lieu tp [x, y, l)=r 0 se compose
de droites, il faudrait exprimer que -^^, en un quelconque de ses points,
est nul, et c'est précisément ce qu'exprime l'équation (B), car l'équation <p {x, y, \) z=0 donne d'abord
et ensuite
'vg+-(IT+v.|+f.
dy cp X-
en remplaçant -f- par — ~-
dx fb\i
, d'^ll , „ i^x „ <b'x , „ ,.
dX' ^ y <fy
d'où l'on voit que la condition revient à
Ainsi la fonction o [x, y, z) doit être le produit de m facteurs linéaires.
(A.x 4- B,y + C^z), {A,x -f- B,y + C,^). . . {AmX + B«,y -\- C,«c).
En second lieu, l'équation (G),
exprime que toutes les asymptotes sont effectivement contenues dans m plans.
En effet toutes les asymptotes infiniment peu inclinées les unes sur les autres doivent déjà être parallèles à un même des plans représentés par l'équation a, {x, y, z) = 0, car une asymptote variable de direction d'une matière continue ne pourrait changer de plan directeur qu'en prenant momentanément la direction de l'intersection de son ancien plan directeur avec l'un des (m — 1) autres. De sorte que si la droite
lieu des traces sur le plan des xy des asymptotes parallèles à la direc-
. X y z tion -=- = -, ne change pas lorsque a et S varieront infiniment peu,
ou varieront dans de certaines limites, toutes les asymptotes correspondantes seront dans un même plan.
Or, c'est précisément l'invariabilité de la droite
qu'exprime l'équation (G).
En effet si l'on fait varier dans l'équation (1) a de dx et [â de t/fi, elle devient
et si l'on veut exprimer que les deux droites coïncident, il faudra exprimer que les accroissements des coefficients sont proportionnels aux anciennes valeurs de ces coefficients, ce qui donnera
en divisant par d'à et remplaçant ^7- par — ^ ces équations deviennent
«a cp p
» «^ ce» «8 V - ^ fh- -\- ^"a? <]^'a 4^^ ,
c'est-à-dire
9'a'9'-jl — 9''a,a9'«Cp'ii — ?'V9''« + ?"«^? «9? 'l^'g'pV — <{^Vy g
la première de ces conditions
n'est autre que la condition (B) déjà traitée, quant à l'autre,
, 9 'g'Cp'^p y%tp'«9'g 4^'aCpV 'f 'py'g
elle se réduit précisément à l'équation (C)
[<p"«»?'p — cp"«pcp'„l ^ (a, p, i) — cp'„ [il^'^cp'p — .^'^cp'„] = 0.
Ainsi les équations (B) et (G) expriment que toutes les asymptotes de la surface doivent être comprises dans m plans.
Quant à l'équation (D), il est inutile d'en chercher la traduction : puisqu'elle exprime que chacune des asymptotes coupe la surface en un troisième point situé à l'infini, elle doit exprimer que chacun des m plans asymptotes coupe la surface suivant une courbe de degré (m — 3) seulement.
451. Les conditions (B), (G) et (D)sont du reste faciles à réaliser. En effet, supposons que
représente l'un des m plans en question, l'équation de la surface pourra se mettre sous la forme
{k^x -f B,y -\- CiZ + D,) çpw i (a;, y,z)-\- ^m-z [x, y, z) = 0,
<I>m 3 désignant un polynôme complet en x, y, z de degré in — 3. De même, si
est réquation du second des m plans en questiorvs l'équation de la surface devra, par les mômes raisons, être de la forme
(Ala;+B,y-fC,r-}-D0(A,^•+B,y+C,-+D,)<pm-2(^■,,^/,s)+*,n-3(^^.y,s)=O
et ainsi de suite, de sorte que si
Am.rH-B,„/y +a„c -f D„e = 0
est l'équation du dernier plan en question, l'équation delà surface sera
(A ,x- -I- B,y + C,- 4- D,) ... (A ,„ v -\- B,„,y + C„,z + Hm) + <I>,„3 {x, y,z) = 0
452. Les conditions précédemment exprimées ne suffiraient pas encore pour que la cubatrice de la surface n'eût aucune période. En effet si on coupe la surface dont on vient de poser l'équation par un plan quelconque
Rx- + Sy + Tz + U = 0,
les asymptotes de la section seront bien les intersections du plan sécant avec les m plans qui forment l'enveloppe des plans asymptotes et chacun de ces 7n plans coupant la surface suivant une courbe du degré (jn — 3) seulement, les asymptotes de la section auront bien trois points communs à l'infini avec cette section. Mais pour que les résidus relatifs aux asymptotes de la section soient nuls, il faudra que cette section soit effectivement du degré m. Or il en sera bien ainsi si le plan sécant est quelconque, mais non pas s'il est parallèle à l'un des plans asymptotes. La section par un pareil plan ne serait plus que du degré (m — i) et ses asymptotes la coupant en (m — 3) points à distance finie n'auraient avec elle que deux pgints communs à l'infini, le résidu relatif à l'une quelconque d'entre elles serait différent de zéro et ce résidu engendrerait une période de l'intégrale double.
Pour que ces dernières périodes disparaissent aussi, il faudra donc que les asymptotes des sections par des plans parallèles aux plans asymptotes ne rencontrent la surface qu'en )n — 4 points situés à distance finie.
Pour exprimer cette dernière condition, nous remarquerons que la projection sur le plan des xy, par exemple, de la section d'une surface par un plan quelconque est coupée par une de ses asymptotes en autant de points à distance infinie que la section elle-même l'est par son asymptote correspondante, de sorte que la condition qui nous occupe pourra être exprimée par rapport aux projections sur le plan des xy des sections de la surface par les plans parallèles à ses plans asymptotes.
Soit
Apx + Bpy 4- C;,c + D;, -f H = 0
l'équation d'un plan parallèle à l'un des plans asymptotes et supposons que cette équation donne
z = OpX -\- Opi/ -f- hp
oùopetbp seront constants, Téquation de la projection de la section sur le plan des xy sera
+ «l'm-a {x, y, ttpx + hpy + hp) — 0,
et comme
(A, + C.ap) X + (B, + C,bp) y + D, + C.hp = 0,
{km -\- CmOp) X 4- (B,„ -f Gmbp) y + D,„ -\rCmhp = 0
seront les équations des (m — 1) asymptotes de la projection de la section, il faudra que les termes de degré (m —3) disparaissent de
*«-3 {x, y, ttpX 4- bpy -\- hp),
ou, si l'on désigne par cp,« 3 {x, y, z) l'ensemble des termes de degré {m — 3) contenus dans *Pm — 3 {x, y, z), que
c6m 3 {x, y, ttpX -f- bpy),
soit identiquement nul.
Il faudrait de même que
'^m-z[x,y,amX-\-b,ny)
fussent identiquement nuls, ce qui exigerait que (Um - 3 {x, y, z) fût identique à
(s — a^x — b^y) ... (z — amX — bmy)-
Cette condition paraîtrait impossible à remplir, puisque le produit
(2 — a^x — b^y) ... {z — amX — bmy)
serait de degré m.
Mais cela prouve seulement que les m plans asymptotes d'une surface capable d'être cubée algébriquement n'auront jamais des directions quelconques les unes par rapport aux autres.
4S5. En résumé : pour que la cubatrice d'une surface de degré m n'ait de périodes d'aucun genre, il faut et il suffît que cette surface présente une courbe double de degré ~ " ~ "'; que toutes ses asymptotes soient contenues dans m plans; que chacun de ces m plans coupe la surface suivant une courbe de degré (m — 3) au plus; entin que les
r.LASSIFK.ATlON DES INTÉGRALES DOUBLES. 285
asymptotes des sections parallèles aux m plans asymptotes de la surface ne coupent ces sections qu'en (m — A) points h distance finie.
4o4. Nous ferons remarquer, en terminant cette théorie générale, que le cylindre parabolique y* = 2/>j:^ seule surface du second ordre irréductible dont tous les segments prismatiques puissent être cubés algébriquement, remplit bien toutes les conditions imposées par la théorie. En effet il contient à l'infini une droite double parallèle aux z ; les asymptotes de toutes les sections sont comprises dans les deux plans >/ = ± ce; enfin l'asymptote de la section de la surface par un plan ?/ = A parallèle aux deux plans asymptotes, se confondant avec cette section elle-même remplit par conséquent la condition de la couper à l'infini en trois points.
Le paraboloïde hyperbolique qui s'approche ensuite le plus d'une surface capable de cubature algébrique, a bien une ligne double à l'infini et satisfait bien d'ailleurs à la condition représentée par l'équation (B), il satisfait même aussi à la condition (D), mais il ne satisfait pas à la condition (C). Tous ses plans asymptotes sont parallèles à deux plans, mais il v en a une infinité.
Application aux surfaces du troisième ordre.
4oo. Les surfaces du troisième ordre capables de cubature algébrique doivent être recherchées dans le type
Si l'on suppose la surface irréductible, la seule ligne double qu'elle puisse contenir sera une droite. Supposons qu'on ait pris cette droite pour axe desz, l'équation de la surface devra se réduire à une identité si l'on y fait a.' = 0 et y = 0, ce qui donne
\\ ne pouvant être supposé nul, sans quoi la surface se réduirait ii trois plans, d^, ni d^, ni c?., ne sauraient non plus disparaître : il en résulte évidemment que <?,, c, et c, doivent être nuls.
C'est-à-dire que la surface doit être un cylindre parallèle à sa ligne double.
Les conditions précédentes expriment simplement que l'axe des z est sur la surface, pour que celte ligne soit double il faut et il suffit que l'origine soit un point double de la trace du cylindre sur le plan desx)j.
Or, l'équation de cette trace, ou celle de la surface, est devenue
et si l'origine est un point double, cette trace sera quarrable algébriquement, c'est-à-dire sera un trèfle ou un folium, suivant que les trois asymptotes seront réelles ou qu'il y en aura deux imaginaires.
Les seules surfaces du troisième ordre cubables algébriquement, en dehors, bien entendu, des surfaces paraboliques telles que par exemple le cylindre
sont donc le cylindre à base de trèfle et le cylindre à base de folium, conjugués l'un de l'autre.
Remarque relative aux intégrales quadratrices des surfaces du second ordre.
436. On sait que l'intégrale double quadratrice d'une surface du second ordre, pourvue de centre, admet deux périodes ultra-sphériques et n'admet aucune période sphérique. Il est facile de vérifier que cette intégrale remplit effectivement les conditions, assignées dans ce qui précède, qui conviennent au cas où elle se trouve.
En effet, considérons par exemple l'intégrale quadratrice de l'hyperboloïde à une nappe
cette intégrale est
c'est le quotient par c de l'intégrale cubatrice de la surface
qui a pour période réelle le volume enfermé par la portion de la surface réelle projetée dans l'intérieur de l'ellipse
et pour période imaginaire le volume enfermé entre le cylindre
et la conjuguée à abscisses et ordonnées réelles, laquelle se projette entre les deux ellipses
Il s'agit de faire voir que la surface
satisfait aux conditions (B), (G) et (D) et présente d'ailleurs une courbe double du second degré.
Or la fonction œ (x, y, z) est ici
Le cône ç (a.-, y, z) = 0, se compose donc bien de quatre plans (1). , La condition (C) est remplie d'elle-même, puisque la fonction \
manque.
Quant à la condition (D), en raison de l'absence de la fonction t|*, elle
se réduirait à
c'est-à-dire ici à
2l±l",. + 'I+^r-Uo,
(1) On remarquera à ce sujet que la condition (B) sera toujours remplie d'elle-même par une surface de degré m dont les asymptotes formeraient un cylindre de degré m, car le cône lieu des parallèles à ces asymptotes menées de l'origine, sera alors composé de m plans se coupant suivant la parallèle aux génératrices de ce cylindre, menée de l'origine.
relation qui ne s'identifie pas avec
(f \a- by
Mais la non-concordance des équations (B), (C) et (D), dans le cas de la surface qui nous occupe, s'explique naturellement par l'absence de la fonction <^, qui dispense les asymptotes d'être contenues dans quatre plans; de sorte que la condition obtenue pour exprimer que chacun de ces quatre plans coupe la surface suivant une ligne de degré (4 — 3) n'est plus celle qui convient.
Les équations (B), (G) et (D), établies dans le cas général, n'avaient d'autre objet que d'exprimer que toutes les asymptotes de la surface la coupent en trois points situés à l'infini; or il est facile de voir que cette condition est remplie dans le cas de la surface qui nous occupe.
En effet, d'abord les asymptotes parallèles à l'axe des z constituent le cylindre réel
et ses conjuguées. Or, si l'on donne h. x ei h y des valeurs réelles ou imaginaires satisfaisant à l'équation
Téquation de la surface ne donne pour z que des valeurs infmies, de sorte que les asymptotes parallèles à l'axe des z ne coupent pas seulement la surface en trois, mais en quatre points situés à l'infini.
Quant aux deux asymplotes parallèles au plan des xy de la section par un plan
y = mx -f- w,
elles auraient pour seconde équation
/ar + c^ b'- + c-
or, si l'on élimine y et z entre ces deux équations et celle de la surface, il vient
el si l'on ramène cette équation h la forme entière, elle se réduit au premier degré.
Ainsi les conditions qu'expriment en général les équations (B), (C) et(D) sont bien remplies dans le cas particulier qui nous occupe.
Quant à la condition complémentaire, elle se rapporterait ici soit aux plans parallèles à
// = dz-\J—i X,
soit aux plans parallèles au plan des xy : tous ces plans coupent en effet la surface suivant des courbes de degrés inférieurs au quatrième. Un plan
coupe la surface suivant une courbe dont la projection sur le plan des xz a pour équation
c*-\ah ' h' J a-\a' fr) ' b*a b'
or l'asymptote
2nb \/— i
rencontre la couibe en trois points situés à l'inflni, et quant aux deux autres, elles sont elles-mêmes à l'intini, de sorte qu'elles remplissent aussi la condition ; par conséquent les sections parallèles aux plans
ne donnent lieu à aucune période.
Quant à la section par un plan z = h, elle a pour équation
et cette conique ne se réduit à deux droites que pour h^=±c\ ^ar conséquent l'intégrale double admettrait pour période
uh
w désignant l'aire, fonction de z, de l'ellipse d'intersection de la surface par un plan parallèle aux xy^ compris entre z = — c &\. z ^= -{- c. Mais celte période est précisément la période réelle signalée tout
d'abord.
Il" r. 19
Cette période serait ultra-sphérique'Si on la considérait comme engendrée par la période de la quadralrice d'une section quelconque, parallèle aux z, par exemple, elle est sphérique si on la considère comme engendrée par la période dB la quadratrice d'une section parallèle aux xy.
Cette coïncidence particulière réduit le nombre des périodes à deux.
Il ne reste plus qu'à reconnaître dans la surface une courbe double du second ordre.
Or la section par un plan quelconque parallèle à l'axe des z a deux asymptotes parallèles à cet axe, ce qui équivaut à dire que cette section a un point double à l'infini dans la direction de l'axe des z. La surface présente donc une ligne double du premier ordre rejetée à l'infinf dans la direction de l'axe des z.
D'un autre côté, la môme section a deux asymptotes parallèles à la trace du plan sécant sur le plan des xy, ce qui équivaut à dire qu'elle a un point double à l'infini dans la direction de celte trace. La surface présente donc une seconde ligne double du premier ordre, rejetée à l'infini dans une direction parallèle au plan des xy.
Ainsi toutes les conditions assignées dans ce mémoire pour une double périodicité sont remplies par l'intégrale en question.
Observation fjénérale relative aux intégrales d'ordres supérieurs.
. 4o7. J'ai établi dans le chapitre précédent que les courbes de degré m
quarrables algébriquement sont celles qui présentent -^ -^
points doubles et dont les équations rentrent d'ailleurs dans le type
(y — a^x — b^ {y — a,x — b.^ ...{y — a,nX — bm) -\- <I>m-3 {x, y)=0.
Je viens d'établir que les surfaces de degré m capables de cubature
algébrique sont celles qui présentent une ligne double de degré
-, et dont les équations rentrent d'ailleurs dans le type
(AiX+B,y+C,s+Di)(A2X+B22/+C2s4-D2) . • . (A„,a:+B^y+C,„z+D J+a>„,3(a:,y,z) =0.
Les formes de l'équation générale des courbes quarrables algébriquement et de l'équation générale des surfaces capables de cubature algébrique prêtent d'elles-mêmes à un rapprochement important par les conséquences qu'on peut en tirer.
La forme de l'équation générale des surfaces capables de cubature algébrique indique d'elle-même que ces surfaces sont telles que toutes leurs sections planes sont quarrables algébriquement.
C'est du reste cette condition, de ne présenter que des sections quar-
CLASSIFICÀTIOiN DES liNTÉGRALES DOUBLES. 291
rables, que nous avons traduite en formules, en sorte que ce chapitre n'a eu d'autre objet que d'établir que l'équation la plus générale des surfaces dont toutes les sections planes sont quarrables est précisément l'équation
dans laquelle on eût reconnu d'avance des surfaces capables de cubature algébrique, puisque si l'on coupe une de ces surfaces par un plan quelconque
z=ccx -\- ^y -\-o,
on obtient immédiatement, pour équation de la projection delà section sur le plan des xy, l'équation d'une courbe quarrable et que, la projection étant quarrable, la courbe elle-même l'est.
Mais la loi de dépendance entre les équations d'une surface cubable et d'une courbe quarrable étant maintenant fortement établie, il semble qu'on pourrait étendre de proche en proche la proposition aux intégrales de tous les ordres.
Ainsi, il est évident que pour que l'intégrale triple dont l'élément serait le produit de l'une des quatre variables x, y, z, u liées entre elles par une équation algébrique f (x, y, z, u) = 0, par les différentielles des trois autres, pût être exprimée algébriquement, il faudrait que la surface dont l'équation résulterait de l'élimination d'une des variables entre f{x, y, z, m) = 0 et une équation linéaire
Mx 4- % + P- -f Qm -h R = 0
fût capable de cubature algébrique.
Et si l'on admettait que
est l'équation la plus générale de degré w, entre x, y, z et u, telle que l'élimination d'une des variables, i<par exemple, entre celte équation et une équation linéaire
^U -f Ny + Ps + Qm -f R = 0
donnât pour résultat une équation de la forme
{k.\x -f \i\y 4- C',3 + D',) . . . (A',„x' + B'my + G',hS + D',n) + <l»,«-3 {x,y,z) = 0
on en conclurait que les conditions à remplir par l'équation
f[x, y, z, u) = 0 pour que l'intégrale
udxdydz,
ni'
292 CIIAIMTKK XXXVlll.
par exemple, fût exprimable algébriquement, seraient : {° de présenter en double les solutions d'un système de deux équations en x, y, z et m, telles que l'élimination d'une des variables fournît une équation de
degré ^ -^ ; 2° de rentrer dans le type
(AiX+Bi7y+CiZ+DiM+Eil....(A,^a;+B^y+G,,,= + D,„w + E^H-<{>„,3(,r,,y,;,«) = 0.
En étendant ainsi la proposition de proche en proche on en conclurait que les conditions à remplir par une équation
entre m -\- i variables a-, ?/, z,... F, pour que l'intégrale
Fdxdydz...
fût exprimable algébriquement, seraient : 1° de présenter en double les sohitions d'un système de deux équations en x, y, z,... F, telles que l'élimination d'une des variables fournît une équation de de-
gré ^ -^ ; 2° de rentrer dans le type
(Aix-+Biy+. . . .+KiF+Li). . . . {A„,x+B„,y+... .+K„,Y+Lj + ^l^^^{x,,j. . . .F) =0.
