CLASSIFICATION «ES INTÉGRALES CUBATRICES DES SURFACES ALGÉBRIQUES

■ 447. Les périodes numériques de l'intégrale double cubatrice d'une surface sent les volumes enveloppés par les nappes fermées de cette surface, ou les produits par \/ — 1 des volumes enveloppés par les nappes fermées de ses conjuguées.

Pour les obtenir, il suffit de former les intégrales du type / oidy,

t.) désignant une des périodes, foncticyis de y, de la quadratrice de la section de la surface par un plan mobile, -parallèlement à lui-même, auquel on aurait rendu le plan desxz parallèle, chacune de ces intégrales devant d'ailleurs être prise entre les limites pour lesquelles o) s'annule^ c'est-à-dire entre les ordonnées de deux plans tangents à la surface, parallèles au plan des xz.

On pourra désigner sous le nom de périodes sphériques les périodes de l'intégrale double qui proviendront des périodes cycliques de l'intégrale simple. Toutes les autres prendront alors le nom commun de périodes ultra-sphériques.

Si l'une des périodes cycliques de la quadratrice d'une section parallèle au plan des xz est constamment nulle, la période sphérique correspondante sera aussi nulle; cela arrivera lorsque la section parallèle au plan des xz aura constamment une asymptote qui la coupe en trois points situés à l'infini.

Si l'une des périodes ultra-cycliques de la quadratrice d'une section parallèle au plan des xz est constamment nulle, la période ultra-sphérique correspondante sera nulle aussi. Cela arrivera lorsque la section aura constamment un point double. Mais on sait de plus que^ dans ce cas, deux autres des périodes ultra-cycliques de la quadratrice de la section se fondront en une seule, d'où résultera une réduction correspondante dans le nombre des périodes ultra-sphériques de l'intégrale double.

Supposer que la section parallèle au plan des xz ait constamment un point double, c'est supposer que la surface f{x, y, z) = 0 présente une courbe double.

Si une surface f [x, y, z) = 0 présente une courbe double, la courbe f{x,h,zy=0 aura un point double, quel que soit A, c'est-à-dire que les équations f{x, h, z) = 0, A {x, h, z) = 0, /'. (ar, h,z) = 0

auront une solution commune , quel que soit h. Réciproquement, s'il existe une courbe double dans une surface, les points suivant lesquels elle sera coupée par un plan quelconque seront des points doubles do la section de la surface par ce plan. Si la surface est de degré m, sa section par un plan quelconque sera de degré 7n et ne pourra pas présenter plus de

points doubles. Une ligne doubl'e d'une surface de degré m rie saurait

donc être coupée par un plan quelconque en plus de ~ ' ~ '

points. Cette ligne double ne peut être au plus que du degré ' ~~'.

Si une surface de degré m présente une courbe double du degré (m— l)(?n — 2)

la cubatrice de cette surface n'aura aucune période ultra-sphérique. Si la courbe double que présente la surface est du degré

la quadratrice d'une section plane quelconque aura 2A: périodes ultracycliques.

Les périodes numériques de la cubatrice pourraient s'annuler sans que les périodes correspondantes des quadratrices des sections parallèles à un plan choisi fussent constamment nulles, si les plans où ces périodes s'annulent venaient à se confondre.

D'un autre côté, le nombre des périodes numériques ultra-sphériques pourra s'élever beaucoup au delà du doubl'e 2^ de l'excès du degré maximum de la ligne double sur le degré effectif de cette ligne, parce que la même période ultra-cyclique de la quadratrice d'une section plane de la surface pourra s'annuler dans un grand nombre de plans tangents (on va voir que cela ne saurait arriver pour les périodes cycliques), mais le nombre des périodes numériques de la cubatrice n'est pas ce qu'il y a d'intéressant dans la théorie. C'est le nombre des périodes de la quadratrice d'une section mobile parallèle à un plan quelconque qui affecte surtout la nature do la cubatrice.

278 CHAPITRE XXXVUI.