CHAPITRE PREMIER

DES LIEUX IMAGINAraES DO.NT IL SERA QUESTION DANS CET OUVRAGE

1 . Les solutions imaginaires d'une équation indéterminée sont infiniment plus nombreuses que les solutions réelles de la même équation.

Une équation f {x, y) == 0, ne contenant qu'une variable indépendante, ne l'ournit qu'un nombre limité de suites de solutions réelles, embrassant des espaces plus ou moins étendus entre -\-(X) et — oc , soit par rapport à x, soit par rapport ky ; mais si, dans la même équation, on remplace x par

et y par

comme on n'aura entre les quatre variables a, ,^, a', fi' que deux rela-" lions, provenant de la décomposition du premier membre de l'équation

en ses deux parties réelle et imaginaire, l'indétermination deviendra

2 niAPITHE I.

double, de sorte que deux des quatre nouvelles variables pourront être regardées comme indépendantes.

De même, dans une équation f{x, rj, z) = 0, l'indétermination n'est que double tant qu'on n'en considère que les solutions réelles, et devient quadruple lorsqu'il s'agit des solutions imaginaires.

2. On pourrait donc étendre considérablement le champ d'une équation indéterminée, en s'habituant à en étudier les solutions imaginaires aussi bien que les solutions réelles; on les classerait d'abord afin d'y réduire l'indétermination au même ordre que celle des solutions réelles de la même équation, et si l'on pouvait ensuite attacher à des choses réelles et sensibles la représentation sous forme imaginaire, il est clair qu'on serait parvenu à exprimer, sous une même formule, d'abord la loi principale et caractéristique observée par les variables réelles, et, en outre, une infinité d'autres lois analogues à la première.

Ainsi, l'emploi des formes négatives aurait permis de condenser dans une même formule l'expression des lois correspondant aux différentes phases d'un même phénomène, et l'emploi des formes imaginaires permettrait d'y lire encore l'expression' des lois d'une infinité de phénomènes analogues au premier.

Une équation à deux variables pourrait représenter une courbe réelle et une infinité de courbes imaginaires; une équation à trois variables représenterait une surface réelle et une infinité d'infinités de surfaces imaginaires. On conservera, par abréviation, la qualification d'imaginaires aux courbes et surfaces fournies par les solutions imaginaires des équations étudiées, mais elles seront parfaitement réelles, les coordonnées de chacun de leurs points n'étant construites qu'après avoir été préalablement débarrassées du signe de l'imaginarité.

5. La réalisation du plan qui vient d'être indiqué nécessite la solution de deux questions préalables : comment classera-t-on les solutions imaginaires d'une équation à deux ou à trois variables; et comment ensuite construira-t-on le point correspondant à chaque solution imaginaire? Car en résolvant arbitrairement ces deux questions, on pourrait associer au lieu géométrique représenté réellement tous les lieux imaginaires que l'on voudrait et qui n'auraient avec le premier aucune propriété commune, présentant quelque intérêt.

Avant tout, il faudra que les lieux imaginaires, associés au lieu réel, restent les mêmes quels que soient les axes auxquels le lieu réel vienne à être rapporté; c'est-à-dire que les coordonnées réelles de chaque point imaginaire devront se former des parties réelles et imaginaires de ses coordonnées imaginaires, suivant une loi telle que ce point se retrouve toujours à la même place sur le plan ou dans l'espace, soit qu'on le construise par rapport aux anciens axes, au moyen de ses coordonnées fournies par l'équation proposée, soit qu'on le construise par rapport à un nouveau système quelconque d'axes, au moyen de ses nouvelles coordonnées composées des anciennes, d'après les formules

DES LIEUX IMAGINAIRES. à

propres à passer de l'un des systèmes d'axes à l'autre, pour un point réel.

Cette question étant supposée résolue, il faudra en second lieu que les lieux imaginaires associés au lieu réel étant définis et construits, on puisse les étudier aussi bien dans l'équation qui les représentera imaginairement que dans celles qui les représenteraient réellement; il faudra que les mêmes questions posées par rapport au lieu réel ou par rapport à l'un quelconque des lieux imaginaires représentés par la même équation, puissent être résolues au moyen des mômes calculs, de façon que pour passer de l'un des lieux aux autres, il n'y ait jamais qu'à substituer, dans les résultats obtenus, des coordonnées imaginaires à des coordonnées réelles, et non pas, ce qui est bien différent, de certaines fonctions, plus ou moins faciles à découvrir, des paramètres des lieux imaginaires à des fonctions analogues dés paramètres du lieu réel, comme on l'avait fait jusqu'ici dans toutes les tentatives de géométrie comparée, comme on fait, par exemple, lorsque, pour passer de l'ellipse à l'hyperbole, on remplace, dans les résultats, le carré de l'un des axes de la première courbe par le carré affecté du signe moins de l'axe non transverse de la seconde.

L'être géométrique alors ne serait plus, comme dans l'antiquité, une branche ou nappe de courbe ou de surface, jouissant dans toute son étendue, et sans aucune modiOcation quelconque, de propriétés absolument identiques ; ni, comme dans la géométrie moderne, un assemblage de plusieurs branches ou nappes dont les points jouiraient de propriétés pareilles, à la différence près de quelques changements de sens ou de direction; mais une courbe ou surface, lieu principal dans la question qui en aurait fourni l'équation, accompagné d'une intinité d'autres lieux secondaires, jouissant de propriétés analogues, et qui se substitueraient au lieu réel toutes les fois qu'il ne pourrait plus fournir les solutions déterminées des problèmes qu'on se serait proposé de résoudre.

Il est clair au reste que les deux questions, bien qu'elles puissent être posées séparément, devront être résolues simultanément, en quelque sorte l'une pour l'autre ; il eût été effectivement impossible de les séparer à l'origine : toutefois nous pourrons nous borner ici 'à donner successivement la solution de chacune d'elles, sauf à vériGer ensuite que ces deux solutions concourent bien au but proposé.

Nous nous occuperons d'abord des équations à deux variables, c'està-dire des lieux plans.

Des courbes imagitiaires.

4. Mettons de côté, pour un moment, la question de construction : la suite de solutions imaginaires de l'équation proposée, qui devra présenter le plus d'intérêt et fournir le lieu le plus analogue au lieu réel, sera évidemment celle qui comprendrait toutes les valeurs réelles de x, auxquelles correspondraient des valeurs imaginaires de y. De toutes les suites de solutions imaginaires de l'équation proposée, ce sera celle

4 CHAPITRE l.

qui s'éloignera le moins de la suite des solutions réelles de la même équation.

Mais cette première idée en suggère immédiatement une autre : si la seconde question, qui doit nous occuper bientôt, peut être résolue, si l'on peut trouver, pour construire le point correspondant à un système de valeurs imaginaires de x et de y, une règle qui fournisse toujours le même point pour la même solution, transformée en raison d'un changement d'axes, à chaque système d'axes correspondra une suite de solutions imaginaires, par rapport à y seulement, présentant tout autant d'intérêt que la première.

En conséquence, on réunira dans une même suite toutes les solutions imaginaires de l'équation proposée qui pourraient devenir en même temps réelles par rapport à x, moyennant un changement d'axes convenable.

Ainsi se trouvent définies toutes les suites de solutions imaginaires de l'équation proposée qui fourniront les différents lieux imaginaires que nous considérerons comme représentés par cette équation.

S. Il est facile de découvrir le caractère analytique commun à toutes les solutions qui formeront une même suite; et ce caractère étant connu, la transformation préalable de coordonnées deviendra superflue, on pourra rechercher toutes ces solutions dans l'équation proposée ellemême, en sorte qu'il ne restera plus qu'à construire le point représenté par chacune d'elles.

Soient

les coordonnées d'un point imaginaire : une transformation d'axes les

changera en

a;' = mx A^ ny ■= m'x -\- na' -f- (m^ -|- nfi') y — 1,

y = rdx -\- n'y = m'a -f- w'«' + {^'^ + «T^') V— 1 î

m la nouvelle abscisse du point considéré serait donc réelle si — se trou-

vait égal à — ^. On voit que, quelles que soient les équations qu'on ait

l'intention de traiter, ensemble ou séparément, une même transformation de coordonnées pourra rendre en même temps réelles les abscisses de tous les points représentés par celles de leurs solutions dans lesquelles le rapport des parties imaginaires de y et de x aurait la même valeur.

Chacun des lieux imaginaires que nous nous proposons d'étudier, concurremment avec le lieu réel représenté par une équation quelconque, sera donc fourni par les solutions de cette équation où le rapport des parties imaginaires de // et de x aurait la même valeur.

Nous désignerons habituellement ce rapport par la lettre C, et nous lui donnerons le nom de caractéristique du lieu imaginaire correspondant, qui lui-même, lorsqu'il aura été construit, prendra le nom de conjuguée du lieu réel.

Les caractéristiques d'un même lieu imaginaire rapporté successivement à deux systèmes d'axes différents, sont liées par une relation qu'il sera utile de connaître.

Les formules de transformation

x' sin XY -\-y' un Y'Y

^"" sinYX

x' sin X'X -\- y sin Y'X ^ sin YX

donnent, pour la solution x = a-}-fiv^ — 1» y^=^' -\-^^^ — ^ qui correspond à la solution

d'où

^ fit (sin X'X -F G' sin Y-X) ^ sin YX

fi, (sin XT -1- G' sin Y'Y)

SinYX sin X'X + G' sin Y'X

sin X'Y + G' sin Y'Y '

équation que l'on peut mettre sous la forme

GC' sin Y'Y -f- C sin X'Y — G' sin Y'X — sin X'X = 0.

6. Il suffirait de changer convenablement la direction de l'axe des y pour rendre réelles par rapport à x telles solutions que l'on voudrait,

fi' oîi - aurait la même valeur; en effet, des solutions actuellement réelles

par rapport à x resteraient telles, quelque nouvelle direction qu'on donnât à l'axe des x sans changer celle de l'axe des y, puisque la nouvelle abscisse ne dépendrait que de l'ancienne.

Si l'on ne fait varier que l'axe des y, la relation précédente se simplifie : elle devient

CG' sin Y'Y + G sin XY — G' sin Y'X = 0.

On peut tirer de cette équation une relation entre la caractéristique du lieu imaginaire qu'on veut considérer et la direction qu'il faudrait donner à l'axe des y, pour rendre ses abscisses réelles.

C étant la caractéristique du lieu, si ses abscisses sont devenues réelles, G' est inûni et la relation précédente se réduit à

C sin T'Y = sin Y'X, ou

sin Y'X

sin Y'Y

C'est-à-dire, que la caractéristique de chaque conjuguée est le coefficient angulaire de la direction qu'il faudrait donnera l'axe des y, pour rendre ses abscisses réelles.

. 7. Arrivons maintenant à la construction du point représenté par chaque solution imaginaire.

Toute équation pouvant être théoriquement considérée comme décomposable en équations du second degré par rapport à la variable dépendante, et toute conjuguée pouvant, d'un autre côté, être ramenée à avoir ses abscisses réelles : la marche à suivre consistait à choisir d'abord un mode convenable de construction de la conjuguée à abscisses réelles de la courbe représentée par une équation du second degré en y

et, ce mode de construction adopté, à voir ensuite quelle serait la règle à suivre pour retrouver la même conjuguée à l'aide des coordonnées imaginaires nouvelles de ses différents points, fournies par l'équation du même lieu, transformée à la suite d'un changement quelconque d'axes.

Or il paraissait naturel, pour prolonger la courbe

dans les intervalles où ^{x) se trouvait négatif, de lui associer la courbe

de façon que toute parallèle à l'axe des y coupant toujours en deux points soit la courbe réelle, soit sa conjuguée à abscisses réelles, elles occupassent à elles deux tout l'espace compris dea^= — oo àa; = -(-ao.

Cette règle s'étend sans difficultés à une équation de degré quelconque.

La conjuguée à abscisses réelles de la courbe représentée par une équation

f{x,y) = Q, c'est-à-dire la conjuguée fournie par les solutions de la forme

de cette équation, s'obtiendra en substituant à chacune de ces solutions le système de valeurs

de sorte que si l'équation proposée e'st de degré m en y, toute droite parallèle à l'axe des y coupera toujours en m points soit la courbe réelle, soit sa conjuguée à abscisses réelles."

8. Ces règles posées, il reste, comme nous l'avons dit, à voir comment la conjuguée, qui vient d'être définie, pourra être construite, par rapport à un nouveau système d'axes, au moyen des solutions qui lui correspondront dans l'équation nouvelle du lieu, solutions qui d'ailleurs ne devront être que les transformées de celles qui la fournissaient précédemment.

Or soient généralement

X=ra-f [A y— 1,

les coordonnées d'un point imaginaire quelconque : une transformation de coordonnées les changera en

x = mx -\- ny =. mai -\- na -\- {mp -\- n^') \—l, y' = m'x -f- n'y = m'a -f- n'ot! -\- (m',3 -\- n'p') yj — I ;

et il est évident que si dans les anciennes, aussi bien que dans les nouvelles coordonnées, on remplace y — 1 par 1, et qu'on construise, par rapport aux deux systèmes d'axes, d'une part le point

et de l'autre le point

x' = ma. -f- na' -j- (m^ -\- w^'), y' = m'a -\- nV -f (w'^ -f- n^'},

ces deux points coïncideront.

On peut donc adopter la règle qui vient d'être énoncée ; elle revient

à regarder yj — 1 comme un signe caractéristique de la nature de la grandeur représentée, mais qui ne saurait en modifier l'étendue.

On peut concevoir celte règle sous un autre point de vue : si l'on imagine menées de l'origine les lignes qui aboutiraient aux points [a, a'] et [fi, ^'] dans l'ancien système d'axes, ou aux points [ma -{- na', m'a.-\-n'(x] et [7n^-\-n'^', 7n<^-\-îi'^'] dans le nouveau, les deux premières coïncideront avec les deux dernières; d'un autre côté, on pourrait se rendre de l'origine au point [xy] ou [x'y'], en décrivant la ligne brisée dont les côtés seraient égaux et parallèles aux lignes qui joindraient l'origine aux points [a, a] et [,ft, ^'] ou [ma -\- net, m'a-)- n'a'] et [m[i-|-n^', m'^-\-n&']; on aurait dans les deux cas décrit la même ligne, brisée au même point.

Or, ^ restant constant le long d'un même lieu imaginaire, le second r côté de la ligne brisée conserverait une direction parallèle à celle qu'il faudrait donner à l'axe des y pour rendre réelles les abscisses de tous les points de ce lieu.

Cela posé, dans le cas où l'équation considérée aurait ses coefficients réels, à la solution

il en correspondrait une autre

X = a — ^ y/ — i , y = a' — |à' sj^^l,

appartenant à la même suite, c'est-à-dire que les deux points

[a-t-^v/— ï, «' + ^'V"— ï] et [a — ^v^. a— p'v/"^]

appartiendraient à un même lieu imaginaire ; or les seconds côtés des deux lignes brisées qui mèneraient de l'origine à ces deux points, seraient égaux et opposés ; ce seraient les moitiés d'une corde du lieu, menée parallèlement à la direction qu'il faudrait donner à l'axe des y pour rendre ses abscisses réelles, et le point [a, a'] où les deux lignes se briseraient serait le milieu de cette corde : ce serait donc un point du diamètre du lieu considéré, correspondant aux cordes parallèles à la direction qu'il faudrait doijner à l'axe des y pour rendre ses abscisses réelles. Ainsi la construction d'une conjuguée devenue quelconque, par suite d'un changement d'axes, est entièrement calquée sur la construction de cette même conjuguée dans le système d'axes où ses abscisses sont réelles. •

Du caractère obligatoire des règles précédentes.

9. Je n'avais dans l'origine aucune opinion exclusive à l'égard de la représentation des imaginaires : ce qui est bon et utile me paraissant se justifier suffisamment par cela même.

Toutefois la seconde des règles que j'ai adoptées ayant autrefois donné lieu à des critiques, je ne crois pas inutile d'établir que seule elle pouvait remplir la condition fondamentale de conserver au pointreprésentatif d'une solution imaginaire une position fixe sur le plan du tableau, quelque transformation d'axes qu'on dût faire subir à l'équation du lieu.

Cette démonstration ne servira pas seulement à imprimer un nouveau caractère de certitude à la méthode ; en fermant le champ des hypothèses, en matière de représentation des imaginaires, elle enlèvera en même temps tout prétexte à la critique.

La question est celle-ci :

En supposant qu'on veuille figurer une solution imaginaire

d'une équation

par un point du plan, quelles fonctions de a, ^, a' et V, faudra-t-il choisir pour former les coordonnées réelles de ce point, si l'on s'impose la condition que la position de ce point ne change pas quelque transformation d'axes qu'on fasse intervenir?

En premier lieu, si l'abscisse x^ du point est représentée par

son ordonnée devra l'être par

sans quoi l'échange des deux axes de coordonnées ne laisserait pas à la même place le point représentatif de la solution.

D'un autre côté, si l'on transporte l'axe des y parallèlement à luimême à une distance a, la solution

deviendra

les nouvelles coordonnées du point représentatif de la solution deviendront donc

et, pour que ce point ait conservé la même position, il faudra que

et que

cp (a, P', a -f a, ^) = cp (a, f>', a, P),

quel que soit a.

Ces conditions exigent évidemment d'abord que y^ ne contienne pas a et, par suite, que Xj soit de même indépendant de a' ; en second lieu que Xi se compose de a et d'une fonction de p et f>', et, par suite, que r/i se compose de a' et de la même fonction de ^' et p.

Ainsi déjà, Xi et y^ seront nécessairement exprimés,

x, par a + ç (^, |i% et

^1 par a' + ? (|â', p).

Rapportons maintenant le lieu au même axe des a? et à un nouvel axe d'ordonnées faisant avec l'ancien axe des x l'angle supplémentaire de l'ancien angle des axes ; les formules de transformation seront

y' = y et x' = x-{- 1y cos 6, de sorte que la solution

sera devenue

x' = a+2a'cose + (|i-f-2^'cos6)v/— 1, y' = ^'.-\-^' sf^X,

et que, par suite, les coordonnées du point représentatif auront dû prendre les valeurs

x\ = <f\- 2a' cos 6 4- 9 (p -f- 2^' cos 6, p') et

y'i = «' + f(^',^ + 2fi'cos6).

Mais, d'un autre côté, elles auront dû devenir

■ ^'i = « + ? (P; ^').+ 2 COS 6 [a' + cp (^', ^)]

? (^', ^) devrait donc être égal à ç ([i', p-|-2p' cos6), quels que fussent p, ^' et 6. Cette condition exige évidemment que y^ ne dépende pas de [â et, par suite, que ic^ ne dépende pas de ^' : j?, et î/i se trouveraient donc réduits,

^iàa + cp(P) et î/ià a' 4- çp (^');

mais l'homogénéité exige que x^ et y^ soient des fonctions linéaires de a, P, a' et ^' : par conséquent la seule forme admissible serait

DES LIEIX IMAGINAIRES. il

Jf 1 = a -f- A-,^ et ^j = a' -[- A"?'»

A- désignant une constante numérique.

Il est bien certain que rien ne s'opposerait absolument à ce qu'on donnât à la constante k une valeur différente de 1 ; cela reviendrait à

voir dans y — 1 à la fois un signe et un nombre, tandis que nous n'y avons vu qu'un signe ; mais d'abord la multiplication, dans un rapport quelconque , des parties imaginaires des deux coordonnées x et y n'aurait aucun avantage quelconque ; en second lieu, cette transformation purement arbitraire romprait fort inutilement la continuité entre la courbe réelle et ses conjuguées; enfin, si l'on voulait considérer la courbe

y = o{x)±k v'— •! {x) comme conjuguée de la courbe

y =o{x)± Vj' {x), il faudrait, par les mêmes motifs, regarder la courbe

y = f{x)±k^ yff^) comme conjuguée de la courbe

ce qui détruirait la réciprocité entre deux courbes conjuguées.

On voit donc que la règle, que j'ai proposée, de représenter la solution

par le point

n'offrait rien d'arbitraire, qu'elle tient à la nature des choses et qu'il serait impossible de s'y soustraire.

En résumé, les lieux imaginaires que nous nous proposons d'étudier, que nous associons à chaque lieu réel et que nous regardons comme représentés aussi bien que lui par son équation, sont toutes les courbes que l'on obtiendrait en prenant les solutions de l'équation proposée, où le rapport des parties imaginaires de y et de x serait une constante arbitraire C, et construisant, pour chaque solution, le point qui aurait pour coordonnées les mêmes valeurs de jp et de y dans lesquelles on

aurait remplacé y/ — Iparl.

10. On voit par ce qui précède que les ordonnées, l'une réelle, l'autre imaginaire, d'une courbe réelle et de l'une de ses conjuguées, rapportées à un système convenable d'axes, pourront toujours être

considérées comme formant une seule et même fonction d'une même abscisse réelle, variable seulement dans des intervalles contraires, pour la courbe réelle et sa conjuguée.

C'est de cette quasi-identité algébrique que naîtront toutes les analogies remarquables que présenteront les deux lieux.

11. D'un autre côté, en ce qui concerne les recherches purement analytiques, la marche que nous avons proposée aura l'avantage considérable de substituer l'étude d'une fonction imaginaire d'une variable réelle à celle, bien plus compliquée, d'une fonction imaginaire d'une variable imaginaire. A la vérité cette substitution paraîtrait exiger celle d'axes mobiles à des axes fixes, mais, en fait, on n'a jamais à effectuer la transformation ; il suffit toujours de la supposer faite.