CONSTRUCTION PAR POINTS DES CONJUGDÉES

12. On peut, pour discuter et construire une des conjuguées d'une courbe, soit rendre ses abscisses réelles en donnant à l'axe des y une nouvelle direction convenable et faire ensuite passer x par toutes les valeurs réelles, dans la nouvelle équation ; soit calculer et construire les coordonnées des rencontres imaginaires de la courbe proposée avec des droites réefles ayant pour coefficient angulaire la caractéristique de la conjuguée qu'on veut obtenir.

L'équation y = Car-|-«^, en effet, n'admet de solutions que du système C, car, pour que

X = a -j- ? V— 1 et y

y satisfassent, il faut que

a' = Cx-\-d et

d'où

Au reste les équations

a' = Ga + </ et

ajoutées, donnent

a'-f^' = C(a + ^)4-rf.

ce qui montre que le point corrrespondant à une solution imaginaire de l'équation

y = Cx -]- d

appartient à la droite réelle représentée par cette même équation.

15. Ces mêmes faits pouvaient être aperçus d'une autre manière, car les points de la conjuguée G d'un lieu devant être fournis par les solutions réelles par rapport à x de l'équation nouvelle de ce lieu rapporté au même axe des a; et à un nouvel axe d'ordonnées parallèle à la direction

y = Cx,

ii CHAPITRE II.

c'esl-à-dire par les solutions communes à l'équation nouvelle du lieu et à l'équation générale,

dans le nouveau système, des parallèles au nouvel axe des y, ces mêmes points devaient s'obtenir aussi au moyen des solutions communes à l'équation primitive du lieu et à l'équation générale

y = Cx -]- d »

de ces mêmes parallèles, dans l'ancien système.

D'ailleurs, le point correspondant à l'une des solutioiis dont il s'agit, se trouvant sur l'une des droites

devait par cela même se trouver sur la droite représentée, dans l'ancien système, par l'équation correspondante

y = Cx-{- d.

14. L'un des buts que nous nous proposons est d'arriver à construire les conjuguées aussi bien que le lieu réel. Les théories qui vont suivre nous en donneront les moyens, mais nous pouvons déjà remarquer qu'il suffira presque toujours d'avoir construit avec soin la courbe réelle pour se faire une idée générale de la distribution de ses conjuguées, et même de la figure de chacune d'elles. Il ne s'agira, en effet, pour cela, que d'appliquer les remarques suivantes dont l'évidence dispense de toute démonstration.

Si des parallèles menées dans le plan de la courbe réelle ne la coupent pas toutes en autant de points qu'il y a d'unités dans le degré de son équation, il existera nécessairement une conjuguée ayant pour caractéristique le coefficient angulaire commun de ces parallèles, et les rencontres tant avec cette conjuguée qu'avec la courbe réelle devront être, pour chaque parallèle (sauf le cas où elles auraient une des directions asymptotiques), en nombre égal au degré de l'équation.

Si l'on peut mener à la courbe réelle des tangentes parallèles à la direction qu'il faudrait donner à l'axe des y pour rendre réelles les abscisses d'une conjuguée, cette conjuguée passera évidemment par les points de contact de ces tangentes; elle sera elle-même tangente en ces points à la courbe réelle, et les deux courbes y auront leurs concavités tournées en sens contraires. La courbe réelle est donc l'enveloppe de ses conjuguées, ou, du moins,. d'une partie de ses conjuguées.

Si toutes les droites imaginables, menées, dans le plan de la courbe réelle, parallèlement aux rayons d'un secteur circulaire, coupent toujours cette courbe en autant de points qu'il y a d'unités dans le degré de son équation, la courbe n'aura pas de conjuguées dont les caractéristiques soient comprises entre les coefficients angulaires des rayons