La section totale d'une surface
f{x,y,z)=0, par un plan réel
Ma?+ % + Pz+Q=0,
c'est-à-dire le lieu des points réels ou imaginaires fournis par le système des deux équations ne peut se composer, d'après ce qu'on vient de voir, que des sections effectives par ce plan, de la surface réelle et de toutes celles de ses conjuguées dont les caractéristiques satisfont à la relation
or les cordes réelles de la conjuguée [C, C'J sont parallèles à la droite
la condition
exprime donc que le plan sécant est parallèle aux cordes réelles des
conjuguées dont il contient les sections.
En d'autres termes, la section totale faite par un plan dans une surface quelconque se compose exclusivement de la section faite dans la surface réelle et des sections faites dans les conjuguées dont les cordes réelles sont parallèles au plan sécant.
Au reste, les courbes imaginaires qui font partie de cette section totale sont les conjuguées mêmes de la courbe réelle qui y est comprise, si du moins cette section réelle existe ; car, si l'on prenait le plant sécant pour l'un des plans coordonnés, ce qui ne saurait altérer la section, on obtiendrait bien un lieu plan composé, en général, d'une courbe réelle et de toutes ses conjuguées.
51. Nous pourrons avoir à nous occuper d'équations à coefficients imaginaires, le lieu total représenté par une pareille équation comprendra en général une courbe réelle représentée par le système des deux équations dans lesquelles se décomposerait la proposée en y séparant les parties réelles et imaginaires.
Cette courbe réelle, pouvant être considérée comme fournie par des solutions.de caractéristiques indéterminées, devra appartenir à toutes les conjuguées, c'est-à-dire qu'elle en sera, en général, l'intersection commune.
32. Pour obtenir en coordonnées réelles l'équation de la conjuguée [C, C] d'un lieu
il faudrait poser
substituer dans F = 0, qui se décomposerait en deux équations
et
poser alors
et éliminer «, a, a" et ^" entre les cinq équations obtenues.
Si l'équation F = 0, de degré m, avait ses coefficients réels, l'une des équations f=0 et /i = 0 serait de degré m et l'autre de degré m — j , en sorte que la conjuguée serait de degré m{m — 1).
Au contraire si l'équation F=0 avait ses coefficients imaginaires, le degré d'une de ses conjuguées serait m^.
55. Le théorème du n" 21 et la remarque contenue au n" 23 s'étendent sans difficulté aux surfaces : nous nous bornerons à en reproduire les énoncés.
Si une surface est conjuguée d'une autre surface, réciproquement celle-ci l'est de celle-là, et les caractéristiques des deux surfaces, considérées chacune comme conjuguée de l'autre, sont égales, c'est-à-dire que les cordes réelles des deux conjuguées ont la même direction.
La solution d'un problème impossible par rapport à une conjuguée se rapporte à une conjuguée de cette conjuguée.
Des lignes imaginaires dans r espace.
54. Les solutions imaginaires communes à deux équations à trois variables, prises arbitrairement, comporteraient une double indétermination, c'est-à-dire que deux des six variables a, ^, a, [à', a", f>" seraient indépendantes, en sorte que la section commune aux deux heux serait une surface ; mais eu général les points de cette surface dont les coordonnées auraient mêmes caractéristiques, c'est-à-dire qui appartiendraient à deux conjuguées de mêmes caractéristiques des deux lieux proposés, ces points seraient en nombre limité.
Cependant il pourra arriver que les solutions communes à deux équations f{x, y, z) =0, f^{x, t/, z) = 0, doivent avoir leurs caractéristiques liées par une relation particulière; dans ce cas la section totale ne se composera que de points appartenant à des conjuguées des deux lieux dont les caractéristiques seraient liées par cette relation ; alors naturellement les solutions communes, ayant des caractéristiques données, seront en nombre infini, et par suite la surface de section se composera des sections deux à deux des conjuguées des lieux primitifs dont les caractéristiques satisferaient à la condition supposée.
C'est ce que nous avons déjà vu lorsque nous nous sommes occupés de la section totale d'un lieu, quelconque d'ailleurs, par un plan réel.
Le même fait se représentera, par les mêmes motifs, dans tous les cas où les deux surfaces réelles considérées auraient leur intersection plane, ou, plus généralement encore (car il n'est pas nécessaire que les deux surfaces réelles se coupent effectivement), dans tous les cas où une combinaison des équations proposées fournirait comme conséquence l'équation d'un plan réel.
Mais il est bien clair que l'hypothèse que les deux lieux aient leur intersection plane n'est aucunement nécessaire à la réalisation du fait dont il s'agit, qui pourra se présenter dans une foule d'autres circonstances.
3o. Pour obtenir celle des conjuguées d'une ellipse dont les cordes réelles auraient une direction donnée, on pourra prendre pour axes le diamètre parallèle à cette direction et son conjugué : l'équation de la courbe prendra alors la forme
et si Ton fait varier x en dehors des limites — d et -\- o!, xj prendra la valeur
qui, réalisée, n'est autre que celle de l'ordonnée de l'hyperbole
Ainsi les conjuguées d'une ellipse sont toutes les hyperboles qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun; elles recouvrent tout le plan sauf l'intérieur de l'ellipse.
56. On obtiendra de même celle des conjuguées d'une hyperbole dont les cordes réelles auraient une direction donnée, en rapportant cette hyperbole au diamètre parallèle à la direction donnée et à son conjugué.
L'équation de la courbe prendra alors l'une des formes
a Y - *'V =—d^b'\ ou
suivant que le diamètre parallèle à la direction donnée sera non transverse ou transverse, c'est à-dire suivant qu'on pourra, ou non, mener à la courbe réelle des tangentes parallèles à cette direction. Dans le premier cas, si l'on fait varier x entre — a' et -|- a', y prendra
la valeur
Il ____
qui, réalisée, est celle de rordonnée de l'ellipse
dans le second, y étant toujours réel quelque valeur réelle qu'on attribue à vC, la conjuguée correspondant à la direction donnée n'existerait pas, ce qu'il est du reste facile de vérifier, car l'équation
pour une solution j; = a-|-^v — ^ > ^ = *+?Cv — <> donne
aVG — i-a = 0,
d'où, en éliminant a,
a» (a'* - ^*G*) - b^ {^^ - >^) = - a^b\ équation qui revient à
pï — ' ' ' :^^ L
b-^ ce qui confirme que G* ne saurait être moindre que — - .
Ainsi les conjuguées d'une hyperbole sont toutes les ellipses qui ont avec elle un système de diamètres conjugués commun; mais leur caractéristique ne peut prendre les valeurs des coefficients angulaires des rayons menés du centre aux points de la courbe réelle. Ghaque conjuguée louche encore la courbe réelle en deux points ; mais elles ont une autre enveloppe, imaginaire ; c'est le lieu des extrémités des diamètres non transverses de la courbe réelle, c'est-à-dire l'hyperbole qu'on appelle habituellement conjuguée de la première, et que nous nommerons préférablement sa supplémentaire.
Gette hyperbole supplémentaire, lorsque la courbe est rapportée à deux de ses diamètres conjugués, et que son équation, par conséquent, est
aY — b'^x"- = — a'*6'% est fournie par les solutions de la forme
car la substitution donne
ay^ __ ô'î^s = a"b\
Les conjuguées recouvrent tout l'espace compris entre les deux hyper-, Doles et ne pénètrent à l'intérieur ni de l'une ni de l'autre.
57. Lorsque la caractéristique se rapproche du coefficient angulaire de l'une des asymptotes, la conjuguée s'allonge de plus en plus en s'aplatissant. A la limite, la conjuguée se confond avec l'asymptote elle-même qu'elle recouvre deux fois.
Au reste les coordonnées d'un quelconque des points de l'une des conjuguées limites, analytiquement, sont infinies.
En effet l'équation
a^ — èV =: — a'b^ pour une solution
donne
et
ab%'^ — b-aJ^ = 0,
C'est-à-dire, puisque ^ ne saurait être nul qu'au point de contact de la conjuguée avec la courbe réelle,
a = - a et oroî' — è V = — aW. a
^, d'après ces équations, serait complètement indéterminé, tandis que a et a' seraient infinis, car en éliminant entre elles l'une de ces deux variables on tombe sur une impossibilité
mais si a et a' sont infinis, fi doit l'être aussi pour que a -|- ^ et a'-j- fi -
restent finis.
Ainsi les points de la conjuguée qui se confond avec l'asymptote y = — x sont fournis par les solutions de la forme
a; == a -|- fi y — d ,
2/ = ^(« + fiv/31),
dans lesquelles à et ^ sont infinis, mais a -f ^ fini et variable.
58. Pour obtenir celle des conjuguées d'une parabole dont les cordes réelles auraient une direction donnée, on pourra prendre pour axes la
tangente parallèle à cette direction et le diamètre correspondant. L'équation de la courbe prendra alors la forme
et, si l'oii fait varier x de — x à 0, y prendra la valeur
qui, réalisée, n'est autre que celle de l'ordonnée de la parabole
Ainsi les conjuguées d'une parabole sont toutes les paraboles égales à la proposée, ayant avec elle un diamètre et une tangente commune, mais l'ouverture dirigée en sens contraire. Elles recouvrent tout le plan excepté l'intérieur de la courbe réelle.
