IVeawiènie propriété. Si dans les équations

on substitue pour x, y des fonctions quelconques entières et homogènes de u et de v

[40] x = G(UjV), î/ = H(u,t?),

le résultant des équations transformées V e^ <t) sera égal à

celui de <p et de ^ multiplié par une puissance du résultant

des équations

DÉMONSTRATION. Faisous dans

[41] 9 = aa(^— «il/) (X — a,i/) ... (a? — a^y) ,

[42] V=&o(^— Piî/)(^ — P«î/)---(^ — P^I/) j

la substitution indiquée. Les équations transformées <t> et y, seront, en désignant par TT la caractéristique d'un produit

[43] <t> = aoH [g (it, t?) — a H (u, r)] ,

[44] V = b.TJ [g (u, v) — PH (u, t?)].

FaJL du Bbumo — Théorie des formêt binaire». 7

Or, ces équations admettront une solution commune dès qu'il y en aura une pour deux facteurs quelconques

G (u, v) — a H (u, v) = , • G (u, v) — P H (te, v)=0,

c'est-à-dire, d'après le théorème précédent, dès que leur résultant (a— P)'Q s'évanouira. Nous sous-entendons ici que Q désigne le résultant des équations G = 0, H = 0, et q leur commun degré.

Autant donc il y aura de combinaisons de facteurs, autant il y aura d'expressions, telles que (a — p)^Q, qui en s'annulant exprimeront la possibilité pour les équations et V d'avoir une solution commune.

Donc l'ensemble de ces conditions, à savoir Q'***R', sera le résultant cherché, puisqu'il n'y aura pas de cas de solutions qu'il ne comprenne.

Exemple. Soient les équations

[45] 9 = a^*+ &^l/ -}- <^l/* V = a'a7*-j- &a;î/ -j- c'î/*, et transformons-les en d'autres et V par les équations

[46] œ = pu* + Q^^ + ^^^j y =p V+ q'îiv + ^"'v* ;

le résultant de <t) et V sera

[(«(?'— ac)'—(aJ'- a'b) (bc'-b'c)] [{pr'-rp')^-(pq'-p'q) [qf-rq')]^

Corollaire. Supposons que 9 et v soient les dérivées par rapport k x et k y d'une même fonction homogène f(œ^y):

Le résultant de D . f , D . f sera une fonction des coefficients de f, dont une certaine puissance aura la propriété

de se reproduire à un facteur prèSj lorsque dans f on remplace les variables x^ y par des fonctions quelconques litières et homogènes d'autres variables u et v. Telle sera, par exemple, la fonction

(ad — &cy*— 4 (ac — b*) (bd — c«) ,

<îorrespondante à la fonction de œ et de y,

ax^-^Sbœ^y -f- Scxy* -\- dy^.

Nous nous arrêterons ici pour ce qui regarde les résultants. Ceux qui voudront approfondir davantage cette étude pourront consulter l'ouvrage de Fauteur : Théorie générale de i^ élimination.