II

Propriétés des résultants.

4L5. Les résultants jouissent de plusieurs propriétés importantes, que nous ne pouvons pas nous dispenser d'exposer. Première propriété. Si Véquaiion <p(x) est de la forme

[1] ^ {oc) = e, (x) e, [x] Gs (^) . . . ,

on aura

®i> ®«î ^8? • • désignant les résultants des équations

roi 1 /®i(^) = ^\ /ei(^)=0\ 1%[X) = 0\

PJ \ W(a;)=:0) ' U(x) = (Sl ' W(a7) = oi ' ^^^•

Il suffit, en eflFet, de se rappeler qu'on a

a?„ a?,, ... a? étant les racines de l'équation h» = 0.

Or, en remplaçant q> (x) par le produit des fonctions 9, dans lesquelles nous la supposons décomposable , on aura

[5] R = ei(a?jei(a?,)...ei(a?j

Mais le produit ^^[x^^^{x^.,.^^(x^ n^est autre chose que le résultant 6^. des équations e^ et ^.\ donc

On concevra aisément ce qu'il arriverait si <p et v étaient décomposables en même temps en facteurs.

46. Deaxlème proprlëlë. Le résultant R de deux équations quelconques de degré m et attelles que les équations <pei^ (pag. 71), satisfait à V équation aux déricées partielles:

Pour le démontrer, rappelons-nous qu'on a

U = ayy,- P.) (a,- p.) (a,- P.) . . . (a^- p.)

(«I— 3») (««- P») («»- P,) • • • («„- P.) («i— Ps) ("»— h) («s— P») • • • (« — Pj)

(«-PJ(«.-PJK-Pj..-(<'„-PJ.

Or, si dans les équations proposées on posait a? = a;'4"^» '^ résultante R ne changerait pas, car la constante h disparaîtrait dans les diflFérences des- deux racines. Appelons donc

Aq, a,, a,, . . . , A^ \ i)q, J3j, B,, . . . V. -^^

les coefficients des nouvelles équations en x\ dont les valeurs seront

Aq = Ûq ,

Ai = aj + mao/i,

A, = q,+ (m-l)a.ft-|- \^^ ' a^h*,

Bo = 6o,

B, = &,+ (n - 1) &./» 4- ^4^' &o ft', B3 = &,+ (« - 2) M + ^^^^^ ^'i^^ ^^^^TW^ ^0^'''

et supposons qu'on ait

Le nouveau résultant R' sera

R'= F (Ao, Aj, A,, . . . , A^, Bo, B^, B„ . . . , BJ, ou encore

(ao + b^o , a,-{-ha^ , a, + ba, , ... , «^+ba

"" <&o + b&o , ^ + b&t , ^ + b&, , ... , &^+Wj^

en désignant par b^o^ ^«m * • • > b&o) bZ'n ... les accroissements

Ao — «01 A, — a,, ..., A^— a^, B^ — ^, B, — &„ ..., B^— &^,

qui résultent des égalités [7]. En développant alors R' suivant le théorème de Taylor étendu à plusieurs variables, on aura

^R , , ,, (fR , , o\ ^R I I ^R

Mais R' doit coïncider avec R ; h d'ailleurs est quelconque ; donc tous les coefficients des diverses puissances de h^ et en particulier celui de la première, devront s'annuler, ce qu'il fallait démontrer.

Supposons donc que la forme littérale du résultant R soit connue, ce qui sera facile à l'aide du théorème donné dans le N. 37, joint à la remarque qui suit; et supposons encore qu'on représente les coefficients numériques par des coefficients indéterminés A,B,C,D,.... En substituant cette expression de R dans réquation susdite, le résultat devra être identiquement nul ; par conséquent tous les coefficients des nouveaux termes qui se formeront, devant se réduire à zéro, fourniront autant d'équations de condition, par lesquelles on assignera la valeur de coefficients indéterminés A, B, C, D, . . . .

Soient, par exemple, les équations

&o iz?* + &,ir 4- &« = ; la forme littérale de leur résultant sera

et réquation aux dérivées partielles [1] deviendra

/ dR ,

. dR\ , âR , . dR „

d'où Ton tirera les équations de condition

A + B==0, B4-.C = 0, 2B + nC4-D = — 0,

et comme un des coefficients peut toujours être pris arbitrairement, il s'ensuit, en prenant A = l, que

et alors le résultant sera

4L7. Troisième propriëlë. En appelant x la valeur commune aux deux équations proposées^ on aura

. s. 3. . , m. . rf^R . dR . dR . dR

•■ J da^ da^i da^^ da^

DÉMONSTRATION. Supposons, cu eflFet, que les coefficients a^a reçoivent les accroissements ba^, ba ; les proposées admettront encore une relation commune, si l'on a

et comme dans ce cas le résultant doit encore s'annuler, il faudra que Ton ait aussi

^^ dR , ^ dR ^

ces deux équations nous fournissent immédiatement la proportion

«__- dR dR m— l m— -p

*- -" ddi dap '

laquelle continuera à subsister lorsqu'on changera a en b. De là le passage aux proportions [8] est de soi-même évident. CoROLLAiBE 1 . Dc la proportiou [9] et de son analogue en b on déduit la suivante

ri21 dR^dTR^^dR^dR dR dR dR <^B q

da^ ' dap " dbi ' dbp ' dai db^ dUp db^ ^

équation qui subsiste en vertu de R = 0, c'est-à-dire que le premier membre sera divisible par R.

CoROLuoRB 2. Puisque l'on a a?'a7**=a?**"*"\ il s'ensuit que

ri21 — ^^ <^R dR ^

da^ * da^p^i da^p da^^i ~ '

et le premier membre devra encore être divisible par R. Ainsi, pour m=2, il viendra

dRdR fdRV

dai ddQ

Corollaire 3. Remplaçons dans Téquation v les puissances de X par les dérivées de R prises par rapport aux coefficients de <p qui leur sont proportionnelles; il viendra

'rioi ». dR , , dR , - dR I I , dR ^

^^^^ ^^di ^^'di ^^^Ta ^^••• + ^^5^ = ^-

Cette équation a lieu dès que l'on suppose une racine commune aux deux équations proposées ; elle devrait donc s'évanouir avec R. Mais elle n'est pas divisible par R, car elle est de degré n — I seulement par rapport aux coefficients a ; donc

elle doit s'annuler identiquement. Supposons, par exemple, m = n^ on aura les deux équations identiques

MCI -aRi-aR,-aR| . , dR /v

4S. Quatrième proprlëië. En appelant x la valeur commune aux deux équations proposées [1] (page 71), on aura

riAi 1 m m—i (fR ^R dR dR

[16] 1 : a; : aï* : ... : a? : : -r- : -j- : -p- --t-— ,

X étant les éléments du déterminant [29] (page 21).

Si, en effet, dans les équations [28] de la page 82, on supprime la ligne r, on pourra, d«s m — 1 équations restantes, tirer les valeurs des m — 1 quantités x^^ , oT^ ,...,«' considérées comme des inconnues. Il viendra alors, par des

théorèmes connus,

,,, dR m—» dR

et de là la proportion énoncée.

Posons

la relation [17] deviendra

On aura pareillement

Mais si, au lieu de la ligne r, on avait supprimé la ligne r',

on aurait obtenu

De ces relations on tire

[23] œ'':ar^k^y.k^^,,

d'où

f^J af ■-' ~ A,,., î

par conséquent, toutes les fois que r'+ s =»"+«', il faudra que

Ainsi, toutes les quantités A, dont les indices forment une

somme égfale, sont égales entre elles.

49. Cinquième propriëlë. La solution commune aux équations 9=0, mi = est aussi une solution de V équation

En effet, on a, par un principe connu de la théorie des fonctions homogènes,

oc ' y

Or, puisque les proposées s'annulent par hypothèse pour des valeurs de x, y diflPérentes de zéro, il faudra que le dénominateur commun de ces valeurs, ou le déterminant

rc ' y

s'annule. Ce qu'il fallait démontrer. Ce déterminant se nomme le Jacobien des deux fonctions cp, v.

Appelons J ce déterminant ; on obtiendra encore la propriété qui suit:

50. Sixième propriété. Si les proposées s'annulent pour un système des variables x, y, les dérivées partielles de P, prises par rapport à chacune des variables y s'annuleront aussi.

On tire, en effet, des équations [28] les suivantes :

et, en les diflFérentiant successivement par rapport à x et à «/, on obtient

Or, si par hypothèse <p = v = 0, on a encore, par le théorème précédent J = 0; il faudra donc que

dx dy

Application. Comme les dérivées ^— ? 3— , dans le cas de

dx dy '

m = 3, sont aussi de troisième degré, il s'ensuit que la résultante des formes cubiques (page 84) pourra encore se mettre sous la forme

V Ql r s

2(ag — &i?) 3(ar— cg') as— rfp+&r— cg' &5 — dq

ar — cp as—'dp-\-l)r^cq ^(hs — dq) 2(cs^dr)

51 •Septième propriété. Si dans les équations proposées <^ et ^ on substitue aux variables (x, y) de nouvelles variables (u,v) liées av^ premières par des équations linéaires telles que

le nouveau résultant déduit des équations transformées sera égal à Vancien multiplié par une puissance du déterminant pq' — p'q de la substitution.

Mettons, en eflFet, les fonctions 9 et v sous la forme

[32] <p = «0 (a? — a^y) (x — (x^y) ... (a? — a. y) ... (a; — a^y) = 0, [33] v = &o(^ — PiI/)(^ — Pi!/). •.(^ — P,I/).-.(^"-P^2/) = 0.

Par suite de la substitution [27] les facteurs quelconques

deviendront respectivement

et les transformées et Y de <p et y seront

(p—.p')!"-^»). »-ht^ ("-%§"]'

[3.1 v=«.*yi(u-2ïg.)(u-ûg„)...(„-i|^^,) :

Or, comme nous l'avons vu, le résultant R est le produit de toutes les différences a. — p. que Ton psut former avec les racines de 9 et de v. D'ailleurs, cette différence quelconque des racines serait maintenant, pour les équations O et Y,

V — «.P' P — PiP' "" (P — Œ^P) (P - P/') .

En revenant par conséquent à l'expression de R donnée au N. 36, en y remplaçant a^ et &<, respectivement par ao^(P>P') et &oV (PtP')t la valeur du nouveau résultant R' sera

R' = (l?g'-p'gf'*R, ce qu'il fallait démontrer.

Corollaire. Si dans tpx et ^^x on remplace la variable œ par ^, . . , z étant une nouvelle variable, le résultant des nouvelles équations sera encore égal à celui des équations primitives multiplié par une puissance du déterminant pq'—p'q,

5!9. Iliiitième propriété. Soient

deiuv nouvelles fonctions liées linéairement arix fondions données <p et ^\ leur résultant W sera égal à celui des fonctions 9 e^ v multiplié par une puissance de pq' — p'q.

En eflFet, chaque élément de déterminant à déterminants binaires, qui exprime le résultant R selon la méthode abrégée de Bezout, acquerra le facteur pq* — p*q^ et le résultant luimême le facteur (pq^ — p'q)^.

Corollaire. Lorsque 9 et v sont respectivement les dérivées par rapport à a? et y d'une même fonction

[36] f^^a^x'+la^x'-^-^i^ ^'-V+. ..+ «,!/',

leur résultant est naturellement une fonction des coefficients de f. Or, si dans f on fait la substitution

œ = plL-\- qY ,

et que Ton appelle F la transformée de /*, le résultant fourni par les équations

rfX ^' dX ^

sera égal à Tancien R multiplié par (pq* — P*q)^ - Cela est facile à démontrer en ayant recours au théorème précédent, et en remarquant qu'on a

Ainsi, pour toute fonction entière et homogène en x, y, il existe une fonction de ses coefficients qui a la propriété de se reproduire^ à un facteur près indépendant de ces coefficients^ lorsqu'on y remplace les variables par d'autres j liées linéairement aux premières.

Il est aisé de s'assurer que, dans le calcul actuel, cette fonction n'est autre chose que le produit des carrés de toutes les différences entre les racines de Téquation donnée. C'est ce qu'on verra dans le chapitre suivant.

Mais elle n'est pas la seule ; car, comme M. Cayley l'a démontré, toute fonction entière et homogène en a?, y admet une infinité de fonctions jouissant de la même propriété, dont cependant l — 2 seulement sont indépendantes entre elles.

On trouvera les fonctions pour l = 2, 3, 4, 5 dans les tables à la fin de l'ouvrage sous la dénomination de discriminants.