H = LA
(*] Pour mieux faire comprendre cette première partie da thëoràme nous ajouterons ici un exemple. En te rappellant que
rfY
on a
<i*o1k ëTidemment
dX^da^
dXdYda^
dX dy^
dX*dœdp
dXdYdxdp
dY*dwdf d^ dœ*
da^dy
dX^d^
dXdYdy^
dY*dy^
dt^dy
dœ*dy*
da^dy* dxdy*
dx^dy*
d^ dxdy^ d' . dt
da^dy
da^dy^ d*
dx^dy* dxdy
dx*dy*
d* dxdy^
AL
dy'
£n appelant ensuite P le déterminant
ou le transformée de A , on aura pareillement P = LH (•), d'où enfin
Il ne s'agit plus que de démontrer que L est une puissance de pq' — pIq .
Posons à cet effet, pour abréger, dans les équations [8],
^ = a , -^ = ô , et en général *"** = af^ ,
d'où, par exemple, a^^ = 1 , a'^^ ^ura-^-sby
a\='^a* + rsal, + *J^,*;
a^'^ sera une fonction entière de 'a et de &. Divisons ensuite dans le déterminant L les éléments de la première ligne par p*, ceux de la seconde par p"*" ç, ...., et ceux de la dernière par q^; on aura
m(m4l) m(m-Kl)
en désignant par A le déterminant formé par les a
comme L est formé par les l
Si maintenant dans le déterminant A on soustrait les élé-
fil
ments d'une ligne de celle qui précède, toutes les lignes excepté la première seront divisibles par a — b . Eu effet, posons -^ = A , ~ = B ; on aura en vertu des équations [2], [7],
a<;^ =((B'))(A + aBr(A + &B)*= -^[(A+aBnA+ôB)'! .
dB L J
{*) On reconnaîtra aisément que l'on passe de la transformée P de A en la fonction A par deux transformations successives de dérivées d'ordre m en X , Y en celles de même ordre m ^ x y y .
Par conséquent,
«::!.-«!1m..=^[<^-+^b)'(^-hib)']-;^[(a+«b)'-\a+&b)-]
rr(A+aB)''~V4^B)U+aB-A— 6B)1=:(o-6)-^(A-|-aB)'"~\A-|-éB)*Bl
Mais comme
il viendra a^'' — a'*' , ,= (a — &) a' ,' (•) .
De plus, les éléments de la première colonne seront tous égaux à zéro, sauf le premier élément qui sera Tunité : il â'ensuit que
A^ = (&-ar
A„=(&-arA, ; d'où k^={l>-a)
et, en substituant,
(*] En ob8ei*vant que
on aura, par exemple,
a .—a , ,=0, a' .— a' , ,=a— 6, ^i" —a" , ,=(a— ô)a' , ,a'" —a'" , ,=(a— ftla" , .
Âlors réquation [12] fournira enfin la relation
m(tiM>l)
[13] V = (pçf-P'Q) * A,
ce qui achève de démontrer que le déterminant A est on
covariant.
On aura simplement un invariant de la forme /*, si m = ^ * DSns ce cas, en supposant n pair, les fonctions A seront
des invariants d'ordre -x- 4~ ^ ? 4^® Sylvbstbb appelle cata-
lecticants.
Ainsi, par exemple, pour n=4 il viendra
da^dy
rf*
da^dy
dw^dy*
rf*
dai^dy*
d* dxd^
da^dy^ dœd^ dy*
tandis que, pour n = 5, il viendra le covariant
qui, égalera zéro, n'est autre chose que Téquation canonisante de la forme quintique (•).
(*) On peut 8*611 rendre compte dans mon Mémoire (Liouville, 1855). Mais le procédé de M. Catlbt est bien plus rapide. Selon ce célèbre géomètre il suffit d^observer qu*on a identiqaement :
aX'\-hy , hX'\-cy , cx-^-dy bx-^-cy , cx+dy , dx+ey cx-^-dy , dx+ey
y^ — y'a? yx^ — x^ abc d b c d e c d e f
ex+fy
où le premier déterminant du second membi*e n^est autre chose que le premier membre de Téquation canonisante.
Remâbqcb. S'il était démontré a priori que le catalecticant
«0 tti a, a^ a, a,
0, ttg ^4
est un invariant, alors pour démontrer le théorème susdit, il suffirait d'observer que la fonction [6] est précisément le catalecticant d'un émanant , et que par conséquent il est un co variant de la forme.
189. THéoRBMB. Soit <p(x,y) un covariant de degré n— 2 de la forme f (x,y); les coefficients de la transformée en z, qu'on peut obtenir de Véquation f(x, 1) =0 en y posant
<p(ay.l)
seront tous des invariants de f (x,y) (•).
DéMONSTBATioN. Considérous les deux équations homogènes
f(x,v) = Q, df
ou celles oi, qui leur sont 'équivalentes ,
■ i-4^ + ajq){a;,y)=0, (••)
dy
dx
- !/<P (cc,y) = .
(*} Ce théorème a éiè donné pour la première fois par M. Hsiuim dans un magnifique Mémoire sur l'équation du 5* degré (C. Rendus) i865.
(**) 11 suffit de multiplier la première par y et la seconde par x et d'additionner, pour s'en convaincre.
Si on les transforme par la substitution [2]; elles deviendront
Mais par les équations de substitution on obtient
dX ^ d» ^^ dy ' dY ^ dtt ^^ dff '
et alors les équations [17] , en y remplaçant (X,Y) par (pçf —p'q)^'p{œ,y)., deviendront
d'où, en multipliant la première par q , la seconde par ^ , et en retranchant, on déduit
z\pq'-v'q) -^ - toX + gT) [p q'-p'qf q> (œ,y) = ,
ou, en vertu des équations [2] ,
z''^ — y(pq — p'qf''^fp(œ,y) = ;
si au contraire on multiplie la première par p, le seconde par p', il vient
'z'-^+x( pq'-p'qf'^ q> (œ,y) = .
Par conséquent, d'après les équations [16], comme on aurait z'=z{pq'—p'q)^''^j on voit ^ien que la fonction js a la propriété de se reproduire à une puissance près du déterminant de la substitution.
Observons maintenant qu'en se rappelant oe que nous avons dit sur les résultants, Téquation en i , en posant pour le moment q> (œ^ 1 ) = M^. , sera
c'est-à-dire, en appelant A le discriminant fM f (a^) ... ,
où le terme en z**" manque, nar une propriété connue de
« Ml M* I Ma
la somme + + +
Remplaçons maintenant z par — ; — ; cette équation
deviendra iP9—PQ)
Or les quantités A', F, ..., K' sont évidemment des fonctions entières des coefficients a^^ a, , a, , ... de la forme proposée; d'ailleurs, en vertu de la dernière équation, ils doivent se reproduire à un âLcteur près si Ton transformait directement réquation en z ; par la substitution [2] ; donc ce seront des invariants.
Notons que le théorème ci-dessus ne commence à être applicable qu'à partir du 5* degré; car pour n=4, n = 3 , il n'existe pas de covariant d'ordre 4 — 2 = 2, 3 — 2=1.
Nomlire de oovarlante fondamentemc d'une forme donnée-
ISS. D'après les théorèmes exposés aux N* 109-114 il est aisé de voir que tout covariaut est déterminé dès qa^on en fixe Tordre et le degré, et que Ton trouve son premier ooefflcient d'après. la première équation [10] N* 109. Par cette raison on appelle son premier coefficient la source du covariant. Comme nous avons déjà observé pour les invariants, cette équation, où le poids est devenu p — 1 , laissera autant de coefiicients indéterminés qu'il y a d'unités dans la différence entre le nombre des termes d'une fonction de degré r et de poids p et une autre de degré r mais de poids p—li composée avec
les coefficients de la forme Aqi ^i a, « a^. Par conséquent en
exprimant comme avant N"* 88 par C (p, r, n) le nombre de manières de composer un nombre i? avec des éléments 0, 1, 2,...n choisis r k r même avec répétitions, le nombre des covariants indépendants ou asyzygétiques (*) de degré r dans les coefficients est exprimé par la formule
OÙ p = — 2 — • Si l'on veut savoir combien il y en a de degré r pour tous les ordres m depuis m=0 jusqu'à mrzznr, il faudra faire la somme de toutes les valeurs de C (p^ r^ n)
(*) Cette déoomi Dation introduite par Sjlvester signifie que les fonctions dont il 8*agit ne sont liées entr*elles par aucune relation.
pour ces diverses valeurs de m . Cela posé, si Ton suppose d'abord nr pair, on aura pour C cette suite de valeurs:
/^^ \ tmm \ I dont la somme est
./n = nr — 4, G (2, r, n) — C (1, r^n)^ m = nr — 2, C(l, r, n),
Pareillement, si nr est impair, on obtiendra pour cette somme C [ 7^ i^j^) • ^ûc C5e nombre, pour toutes les valeurs de nr paires ou impaires, sera (*):
puisque Tune des deux parties s'évanouit selon que nr est impair ou pair.
■SI. Exemples. Supposons n = 2 . Il faudra alors chercher C (r, r, 2) et comme C (r, r, 2) = C (r, 2, r) , on aura :
c (r, 2. r) = (ta; » ^ ^^^^ ^^,^^ = ix > (t,^)^^.^) • Passons maintenant à n = 3. On aura alors à calculer
On aura d'abord
ou bien, en changeant x en œ*.
On peut réduire la recherche de (Co; J) à celle de (f^x^Tt , en observant qu'on a identiquement
( *) V. Catixt*8 Second memoir on çuayiCtci— Philosophieal tranf actions. V. 145 (1866).
d'Où
(l-a^)(l-a^)(l-a^)"" (1 -«•)«(!-«•*) En négligeant dans le numérateur tous les termes dont les exposants ne sont pas multiples de 3 on aura évidemment:
Quant à Tautre partie du second membre, elle se réduira à too )) i\^^\\ii^gA \ • Donc les deux ensemble nous donneront
On trouvera pareillement C (|^ , r , 3] = «a?*"}) ^^^^^^—^ ; d'où l'on déduit pour n'importe quelle valeur de r, le nombre cherché | ^^j^, , | . Mais en observant qu'on a
(L+o?) (1 4-a;5) = -II— - "" ^ , on trouvera que le nombre des covariants asyzygétiques de degré correspondants à la forme cubique est représenté par la formule:
\—sfi
^^^ ^^ ^^ (l-ip)(l-a?»)(l-a^)(l-ip*) '
d'où il résulte qu'il y a par rapport aux facteurs 1 — a?, 1 — a^^ 1 — cc^^ 1 — ^a?*, quatre covariants irréductibles respectivement: le covariant de degré 1, ou la forme elle même (u); le covariant de degré 2 et d'ordre 2 (C,) ; le covariant de 3* degré et d'ordre 3 (Cj) ; le discriminant qui est de 4« degré A- Ces fonctions à cause du terme cc^ sont reliées entr'elles par une relation identique, ou syzygie, du degré 6 entre les covariants irréductibles. On trouve en effet (N" 136) :
(C3r-Au* + 4(C,)»=0.
■85. Pour n = 4 la formule [1] se réduit simplement à
C(2r r 4)-C(2r 4 r) - (Cr^) (l-^^"')a-^^"'Xl-^^"'''(l-.
(l-a;)(l— a!»)(l-«')(l— ««) '""" " (l-a;)(l— as»)!!— a!»)(l— ««) '
-2ar7 —
En observant que
1 l+a? + «» + fl?*
et en négligeant dans le numérateur les termes en x ^ofi^ la première partie du second membre se réduit à
(l—a?«)«Cl-^) (!-«*) (1— a?)«(l— a?*)(l-a?') '
Par conséquent les deux parties ensemble donneront
Si l'on réfléchit que l-a;+a;«=^= „ ^"f, . = '!"^!!!"l! Il Tiendra encore
Par conséquent les covariants de la forme biquadratique seront cinq : un de 1*' degré, qui sera la forme elle même (u) ; le second rinvariant I, de second degré, ou en d'autres termes, le covariant de degré 2 et d'ordre 0; le 3»« le covariant de second degré et d'ordre 4 (v)\ le 4"* l'invariant I, de 3« degré; le 5-» le covariant de 3« degré et d'ordre 6 (<P). Tous les autres covariants de degré r, puisque on aura toujours d'après la formule ci dessus
seront fonctions de ces 5 covariants. Seulement à cause du terme — a;" du numérateur qui diminue d'une unité le nombre des covariants irréductibles de degré 6, ces covariants seront liés entr'eux par une équation de 6* degré, à savoir (V. N* 137)
En poursuivant la même voie de calcul pour les formes d'ordre 5, 6, etc., M. Gayley dans le Mémoire cité avait cru un instant que à partir de la forme quintique le nombre des covariants fondamentaux était illimité, tandis qu'il est limité pour les formes
cubique et biquadratique, comme nous venons de voir d'après lui. Mais M. Oordan et Clebsch ont trouvé dernièrement par d'autres méthodes que ce nombre est au contraire fini. Exposer leurs recherches ici ce serait dépasser les limites du cadre restreint de Touvrage; c'est pourquoi nous nous contenterons de donner ici la note des covariants pour les formes quintique et sextique, que M. Clebsch fixe à 23 pour la forme quintique, et à 26 pour la forme sextique, à savoir Pour la forme quintique d'ordrb db dboré 4 4, 8, 12, 18 ce sont les invariants fondamentaux; 4 1 5, 7, 11, 13 ce sont les covariants linéaires; 3 2 2, 6, 8 3 3 3, 5, 9
Pour la forme sextique on a
D*ORDRB DB DEGRÉ
le premier est la forme même.
ce sont les invariants fondamentaux;
le premier est la forme même. -- Deux de môme degré.
Ceux qui voudront approfondir la question, pourront consulter l'ouvrage de Clebsch, Théorie der binàren formen, et ses Mémoires insérés dans le Journal de Crelle.
Applioations.
188. La notion des oovariants conduit à des résultats intéressants par rapport aux formes cubique et biquadratique. C'est ce que nous nous proposons d'exposer maintenant.
Soit la forme cubique réduite à la forme canonique
le covariant quadratique se réduira alors à C^=zlmœy^ et le covariant cubique à C,= im (to;*— mt/*).
Or il est aisé de trouver que
Comme dans notre cas le discriminant A ou Tinvariant fondamental de la cubique se réduit à l*m*^ il viendra, en multipliant par 2Vn'.
ou CS+4C% = Att«,
relation trouvée par Cayley. En écrivant cett« notation ainsi
J(C«,-Au«)=-C«., on voit que les fonctions
|(C, + ti|/Â) , ^(C3~u|/Â).
doivent être des cubes. Par conséquent, la racine cubique de
chacune de ces expressions doit être une fonction linéaire de X, y. Il en sera de même de Texpression
et comme elle se réduit à pour u = 0, il s^ensuit qu'elle contiendra en facteur un des facteurs de la forme cubique, puisqu'elle devra s'évanouir avec cette forme. M. Cayley a trouvé qu'on a, en appelant a, p, t les 3 racines, et p une racine cubique imaginaire de l'unité
[/|(C3+til/Â)-j/i (C3-U l/Â)=|a(p-p«)0-T)(a?-ay).
■89. Posons pour la forme biquadratique
[1] u = a^+6Ta?V+y* ;
le second membre représentant sa forme canonique. Rappelonsnous (N** 81) qu'on a 1,=1+3t*, I3=t(1--t*), A=(1— 9t*)*. Gela posé, on trouvera aisément que, à un coefficient numérique près, les qovariants N*" 1 , 2 des Tables, à savoir les covariants de 4* et de €• ordre, deviennent respectivement
12] v = rœ*+ (1 — 3t*) ^V+Ty*,
[3] q> = |/Âa;y(a?*— y*).
Cette dernière équation élevée au carré donne
ou bieuy en vertu des équations [1] et [2], et en posant a?*y'=f,
Mais par la formule [2] on a
15] t? = TU + l/A^,
et alors le premier membre [4] se transforme ainsi
i5=?^[tt (l/Â -f-2T(l+3T)-2(l+3T)»] ["u(i/Â-2t(1-3t)+2(1— 3T)r
et, en remarquant que (1 — 3T)(l + 3Y)=t/Â, il viendra
[61 (e?-Ta)[u(l-T)-2(?][«(l + T)+2(7] = q)«.
En développant et en ayant égard aux valeurs de I,, I,, on trouve
171 I,u» — Uu*v + 4o» = <p\
relation remarquable donnée par Gayley/qui lie ensemble les invariants et co variants fondamentaux de la forme biquadratique (•).
Remarque. En reduissant ces fonctions à leur premiers termes, ou, autrement, en comparant les termes en o?^', et en posant k = ac — &* , B = a*d — Sabc + 2à^ , qui sont les sources des covariants t? et q>, on aura d'une façon trèsaisée cette relation déjà signalée par Roberts
B* = 4A» — aM,A + aM,.
Formouït de même THessien de Vj ou THessien de THessien, que nous appellerons V; on aura
6Ta?*4- (1 — 3t*) y* 2 (1 — 3t«) œy
2 ( 1 - 3t') icî/ 6Ti/» + (1 — 3y*) a?»
= 6t a - 3t*) la?*+ i/*) + [36t* - 3 (1 — 3t*)*] a?V ; et après quelques transformations faciles (*^) ,
(*) Notons en passant que rinvaiîant qnadratique de 9 est 7 A . Si Ton pose u=.2u\ Téquation [7J devient
Or en posant — = X, la quantité entra parenthèses est prëcisément le
premier membi'e de r'quation canonique [39], N** 65. {**} Il suffira de partir de cette première transformation
^Vz::CTlf-18T"P+[l8TMl-3T')-3\l-3TT]«y , et d^avoir égard à Péquation [51.
Notons en passant que, si Ton prend Tinyariant de Témanant I ^' ^ - "^y^ ] de u et 0, on tmuve successivement
Paà du Biiu:<o — Théorie des formés binaires. 16
^V = 9(T-T»)u-3(l+3T»)ty.
ou enfin
Par conséquent THessien de THessien est une fonction linéaire de la forme, de THessien et des deux invariants fondamentaux.
■8S, Observons maintenant qu'en posant — = X, on tire de l'équation [7] X' — Xl» + 2l3=^^ ; et par conséquent si nous appelions X', V\ X" les 3 racines de Téquation canonisante (39, N' 65) on aura
(^,)(f-x")(f-r)=^, ou
m ^=(»-iv»)(»-ix"„)(„-ix-„).
Puisque q>^ est le carré d'une fonction sextique, il s^ensnit que chacun des trois facteurs du second membre de la forme v — \u doit être un carré d'une fonction quadratique (*). En les appelant v*^ , <p*, , 9*3 , il faudra que l'on ait
t?— - Vu =q>\, 110] { r-|x"w = <p%,
d'où <P = 2(Pi<Ptq>s •
Or le second membre [8]' devient d'abord (1 — 6y* — 27^*) a?'y' -|- 4y'u, et en observant que 1 — 6t' — ITy* — (1 -f- 3f*) (1 — Of*), on sera amené facilement au résultat que voici:
Pour le second membre [9]' on trouve
27 hl\ W - (27 . 12 1*3- 3 1\) Vy
d*où Ton voit comment ces covariants dépendent toujours des covariants fondamentaux.
(♦) On verra bientôt qu'il existe une fonction linéaire de qpj, <p,, tp^^ laquelle est un carré d'un facteur linéaire de u.
Or, du momeDt qu*on sait qu'une fonction biquadratique est un carré, sa racine se trouve facilement par des procédés simples d'algèbre ; ainsi les seconds membres deviendront tout simplement des fonctions quadratiques. D'autre part, comme on déduit de ces équations
w = ^>j^> 7— = ^Tz:^^, (<Pi — <P«) (<Pi+ V,) ,
[11] u = —^rZx'~ — v v" (^*"" ^«' (^»+ ^»' '
.2(<pS-q)S)__2, w , ^.
le problème de la décomposition de la fonction biquadratique en deux fonctions quadratiques se trouverait résolu. Mais comme la réduction de v — -r\u à sa racine serait très-pénible, nous croyons plus utile d'attaquer directement la question.
Supposons donc que la forme biquadratique soit décomposée en deux facteurs linéaires, de la manière suivante,
[12] r=(aa?»-f2PJi/ + Ty*) (a'x^+2»'œy + 'xY) .
En comparant les coefficients homologues, on aura
[13] 2a,= ap'+a'p, 2a3=pT'+Tr,
Introduisons une quantité auxiliaire X, de sorte que [14] aT'+a'T = 2a,+ 2X , d'où pp'=a,— ^ ;
et combinons les six équations ainsi
2a,+2X=raT'4-a'T , 2a, = aP'-f a'P , 2a,=:pT' + TP' .
Les quantités or' ) a y ; ap' , o'p ; Pt' 9 irff' seront les racines successivemeot des équations
tt'— (2a, 4-2Mw + «0^4=0 »
to* — 2a3U? -f" ^4 (^«'~ 2) ^^® • D'ailleurs on a identiquement
aa'+a'a pa'+ap Ta'+ï'a ap'+a'p pp'+P'P tP' + tP
ar'+u'T Pt'+tP' tt'+t't
of a p» p r T
et par conséquent, comme le premier déterminant s'annulera, il viendra, en remplaçant les éléments par leurs valeurs et en divisant par 8 ,
ce qui est précisément la canonisante [39] du N. 65.
A Taide des équations [15] on peut arriver rapidement et élégamment à la décomposition cherch^^e. En effet, en posant
a^' = u^ , ap'=t^ , Pt'=U7i , a'T = M, , a'(i = v^ , P'T=U7t ,
on a
aj= (aa'+ 2pa'^y + Ta'y') (a'aa?*+ 2p'aa?y-f-T'ay*) , ou
|20| aj= (aoa?'+ i\xy -f u^y^) (a^x^+ 2v,xy + u,y*) . De même, [21] (a, - |)/'=(t%a;»+2(a,~|)a7y+i^,y»)(t?,^*+2(a,-|)a?y4-U7,^^^
[221 aJ=(u^x^'\-2io^œj^aj/*)(u^œ*'}-2w^y-{-aj^'^) .
 Taide des relations [15] et [19], les valeurs de U|,u,, etc., se détermineront aiusi qu'il suit :
tt, , u, = a,+ x±|/(a,4-x)«— aoa^, (23) ^, , ^t= û, ± j/a\ — ao («s— 1)\
où X désignera Tune des racines de la canonisante (*)
^'i = -)/l3+i-{p-p')A-|/l3-I(p-p«)A/"' t24] X"=p[/l3+~(P-P')A-p«|/l3-i(P-P*)A, X-=-p*j/l,+ ^(p-p«)A + pj/l3-i(p-p»)A,
dont les expressions se déduiront des formules N* 63, A étant le discriminant de la forme f.
La forme f se trouvera ainsi par une méthode nouvelle décomposée de trois manières diGTérent s en deux facteurs quadratiques. En égalant chacun d'eux à zéro, on déterminera les racines de Téquation de quatrième degré.
(*) Il est bien remarquable qae toutes les (^qaations cabîqaes refol- ▼antes, auxquelles on est conduit par les diverses méthodes de résolution de Téquation biquadratique données par Ferrari^ Simpson, Euier, Descartes, Lagrange peuvent être ramenées par des transformations faciles à une seule équation cubique, la canonisante, qui ne dépend que des deux invariants foudamentaux.(Voir une note de Ball, Quarttrly Journal^ t. 7.)
(••; En observant que p = — -~ '— , p* -=. , p— p*=y — 3,
on a ici partout r- (p — p') au lieu de — -"^ — 1 que fournirait la for-
mule (N. 63), avec l'avantage de ii*avoir qu'une seule imagioaire.
■80, Revenons à Téquation [8].
Puisque — =x', X", X'", et que par Téquation [6] les racines
du !•' membre égalé à zéro seraient t , -g-^ » 5-^ > il
s'ensuit, en supposant que t ait été exprimé en fonction de If > I3 ) que les racines de la canonisante seront
On peut confirmer ce résultat d'une autre façon; car en vertu des équations I,= 14- 3t' , l8=T — T*, on tire facilement
4t'-tI,+ I3=0.
Il suit qu'en remplaçant I, , I3 par leurs valeurs , t sera une racine de l'équation 4^'— n, + la = 0, ou [26] 4^»-M1+3tM4-t(1 — T') = 0.
Mais si t est déjà une racine, les deux autres résulteront par
des opérations algébriques faciles, ^,== J^ » <, = -ÇÏ .
D'ailleurs l'équation canonisante [9] coincide avec la [26], en posant \=:2t ; ce qui vérifie les valeurs [25].
Au moyen de ces valeurs et en suivant M. Cayley on peut faire voir quelasomme^- (V-X") cp,+|- X'"-X') 9, +|-(X''— X''')qp,. on
est un carré parfait et que sa racine est un des facteurs de la biquadratique. Ea effet on a par les relations (24), (5), et (2)
et en remplaçant X' — V, x"— X'", X'— V" par leurs valeurs, Texpression ci-dessus deviendra
D'ailleurs^expression[27] s'évanouitavec u; donc sa racine carrée qui est linéaire sera bien une racine de l'équation biquadratique, ce qui fournira une novelle méthode de résolution des équations de 4* degré.
i40. La relation [7] N' 137 conduit, d'après M. Hermite (•), à une application intéressante aux fonctions elliptiques. En effet elle peut se mettre sous la forme
Posons y = 1 , et
Selon le principe établi par lacobi (**) pour la transformation des intégrales elliptiques, on aura, en désignant par ^ une constante et par x la variable indépendante,
I dz I dx
J 1/4^-1,^ + 13"" J V(a,b,e,d,ela,\)^'
Mais comme on peut encore poser z = z' ^ il s'ensuit qu'en appelant p, 11' les constantes 4 ^ , ^ î^» , on aura
da , \ __d^__
l/(a,^c,i,fïa?J)* ** J i/pz'^-^z' + l '
Ainsi l'intégrale elliptique la plus générale est réduite à ne dépendre que d'une intégrale à un seul paramètre (p), et cela indépendamment de toute transformation linéaire puisque p est un invariant absolu,
141. Application à la recherche des co variants de la forme de 6« degré.
D'après la formule ^ = — - — les covariants seront tous d'ordre pair. Il est facile d'ailleurs de constater que le covariant
(*) Hrrmitk — Sur les fonctions homogènes. Crelle, Tome 52. {••) Iacobi — Fundamenta nova.
de 2* ordre et de 1'''' degré ne peut pas exister. Ainsi fkat-il commencer par celui de 2^ ordre et de 3« degré dans les coefficients. On pourra le déterminer aisément au moyen des équations caractéristiques et on trouvera pour le covariant Texpression suivante
+(flofl^6— ao«uaj*-«i«i«d— aj«4a5 - 8flia^5+9a*,a5+9aia4*— I3a^jai+W^
Mais on pourra le trouver directement comme on verra tout à rheure. Observons qu'en appliquant les formules
df dV / (Pf y dx' dy* [dx'dy^l '
dx' dy* dx'dydxdf''^ {dJ^dy^l ' on obtient des covariants de 8^ ordre et de degré 2 dans les coefficients (T. N. 5) ; de 4« ordre et de degré 2 dans les coefficients (T. N. 2). — Si on prend Témanant (af ^-ff^ {-Y de la forme sextique et ensuite TinvHriant cubique de l'émanant, on trouvera un covariant qui sera de 6« ordre et de 3« degré dans les coefficients (T. N. 3).
Soit maintenant
le covariant sus-indiqiié de 4« ordre (T. N. 2). Prenons Tintermutant
on aura un covariant de 2« ordre et de 3« degré dans les coefficients qui sera le N. 1 des Tables.
Le covariant de 6« ordre et de 3« degré peut être formé par le déterminant
D« Dec Dy Dx Dy
D^Dy D^Dy DcoDI
DxD* BxDI Dy
(a, ô, c, . . .Ja?, y)«
OU par révectant
où I4 serait le catalecticant ; ce qui donne sous forme abrégée le co variant N. 3 =
Oo «1 «1
ao ai as
ao (h ai
ao as dj
ai Ci as
ai ai a4
+ a?*yM
ai ai as
di ai as
(h a^ ai
ai as aa
ai 0% a*
ai ai as
ao ai a4
ai as ai
ai ai as
ai as Ha
ai as a»
ai Ca (h
as ai dk
as ai Os
ai ai as
as a» ai
aiOiO^
a^ a^ ai
ao as a*
ai as a\
Ot Oi a^
Os a4 ai
aj ai as
ai a4 as
Oi a^ a%
a^ as ao
ai ai ai
a^ as ao
Appelions en général C le covariant d'ordre m et de degré r, et posons C ^= A^ 0?"*+ B^ a?"*""?!^ +•• •+ B' xy^^-^- A'J* ;
désignons par C C les dérivées par rapport à a?, i^ du du covariant C . Par ce qui précède nous aurions appris à former les covariants Cg,,; C^,, ; Co,8; C,„;
En prenant THessien du povariant N® 2, C^,, on obtient un covariant de 4* ordre et de 4* degré. Si nous formons Tintermutant par le moyen de C^,, et nous l'appliquons au covariant Co,s nous formerons un covariant de 2* ordre et de S* degré dans les coefficients, à savoir Ci,5. Une opération semblable de 0^,4 sur Co„ nous fournira C,,,.
Maintenant, à l'aide des Jacobiens suivants, nous aurons successivement
et*)
— Co,4 ;
irt
