XA,=«, XA, = 0, XA,= 0, X,A^ = 0, X,A=0, X,A, = 0, X,A, = 0, X,A
et par conséquent ces fonctions seront des invariants.
15M. Les équations [l, 2] n'ont pas seulement lieu pour les covariants q), mais pour n'importe quelle fonction homogène de x^y. Ainsi on a encore généralement ce théorème.
TnéoRÈME. Supposons que la fonction proposée soit mise sous la forme
r(â?,y) = a(/r — ay)(a?— py) (a?— TV) .. ;
on aura
'-^-' ^ dx ~ Ida^ d»^ dr ^ J»
M ^ f-=-*/+«*-jf +^**^+T'f4-...(*.=«H-^4-T+...).
DÉMONSTRATION. La première de ces équations est évidente. Pour la seconde, observons qu'on a
La?— ay x — ^y ^ a? — Tjr ^ J
Mais généralement
a? — oy '^iP — ay "*' ia '
donc
Des relations remarquables [7, 8], qui ont lieu pour n'imiporte quelle fonction binaire, on déduit, eu égard aux équations [1,2] relatives aux covariants, une propriété nouvelle par rapport à ces covariants. En eflFet, si f est le covariant même <p, en appellant a' ces racines, on devra avoir, en comparant ensemble les équations [1] et [7],
d^ da!
[10] 2a'^+--.rs.<P=2a'*^-s'.<p[5', = a'-l-p' + ...] .
Exemple. Soit <p = a% 2 ( a— P)* (a? — Ty )* le cotariant de la forme cubique a^ (œ—ay) (a?— Pi/) (a?— tv) , et supposons que et' et p' soient les racines de <P=0; on aura
<f q) j^ dtp d(p ^. dap y^ <f <p
17 '^ W ~ ~d^ ■ 'df '^ 'W '
— 2iy-
Généralement a' , 3' étant les racines d'un covariant <p du 2* ordre, et et, , a, , a,, ..., a^ les racines de la forme donnée^ on aura cette relation remarquable :
do' ' rfp' da ' rfOi ' (/oa ' •• • da^
■*1. Au moyen des diflFérences des racines on peut écrire immédiatement un covariant.
Posons ainsi
fil]
<P^ao2(a,-a,)*(a,-.a3)'(a8-aJ". . .(a?-a, yTiœ^-a^yYix^^^yY ,
OÙ nous supposerons que les racines entrent toutes dans les facteurs (a, — a,)« , etc. et les facteurs (oo-^aj/)^ , etc. un même nombre de fois =r, et le degré =m par rapport aux variables; je di^ que cette fonction est un covariant. DÉMONSTRATION. En faisant la substitution
x = pX + qY,y = i/X + q'Y
dans la fonction
/'0^,I/)==ao(^— «il/) (^— «il/) (x—a^y)...,
on doit avoir par définition, en désignant par A,, A,, A,, ... les nouvelles racines, et par {â^) ce que devient le coefficient a^ et par M rindice du covariant :
A^'a', 2 («,-«.)' (0,-0,)'... (x-a^yT (a;-a,v)*... = (««)' 2 (A.-A,)' (A,-A,)*... (X-A.Y)* (X-A.Y)*...
Mais on a
donc le second membre deviendra
ùT'^'" k)'"2 (a -a,)' (a^-a,)'... (a?-a,y)* (a?-a.y)*... divisé par le produit
(l>--a,2/)•(p-a,pO'(p-«,P')'(i>-a8P')^..(p--«iP')*(p-<^l/)^..
Mais si les racines figurent toutes au même degré r , les facteurs jp— «ij/, 1>— et, j/ etc. entreront tous au même degré dans
le diviseur. D'ailleurs (ao)=ao(P— «iP')(l>— <*tP')--=«o/'(Pil^: donc ce facteur, qui se trouve au dénominateur, sera détruit par le facteur («o)*^, qui se trouve au numérateur, et il ne restera plus qu'une fonction de la forme [11], ce qui démontre bien que la fonction proposée est un covariant.
Si on appelle ai , a, , ag , ... les degrés auxquels monteront les racines at , a, , as •• dans le produit des différences, on devra avoir, pour que la condition proposée soit satisfaite :
r = a| + ^ = ftt + ^ = ^8 + ^ ï oto.
Par conséquent, si n est le nombre des racines il faudra que
nr = a;+ft«+*^8+ ••• +/i + ^4-^ = 2fl' + '^; donc 2a = nr — m ; d'autre part, comme au-dessous des exposants
s , £ , u , figurent toujours des couples des racines, la somme Sa sera deux fois la somme 5 + ^ + u + ... = ^ , si ^ désigne l'indice du covariant; donc il faudra que 2^ = 2a,
ft 9**— fM
ou que 2^ = nX — m, \x = — x — comme l'on savait déjà. Remarque. Le premier terme en x^ aura pour coefBcient Co = 2 (tti— a,)*(at— a3)'(oi3— aj ... . Mais puisqu'il sera une fonction symétrique des différences des racines, il s'ensuit qu'il sera un péninvariant, ou qu'il satisfaira à l'équation 5=0, ou 2-7-^ = , comme nous l'avons déjà appris.
an
19S. Si n est doublement pair =4p, on aura un covariant, en supposant h un nombre pair :
Ce covariant sera d'ordre -^ et de de^é h. Ainsi la forme biquadratique aura un covariant du 4* ordre et du 2* degré dans les coefficients.. Les formes du 8* degré auront des covariants d'ordre nh et de degré h ; le plus simple sera éelui de degré 2 et d'ordre 8.
Supposons n=4p+2, ou =4p. Les expressions suivantes:
<p=Z(ai— a,) (04—03) ...[0,^—0^+1) (a«p4-i*~*«) (^^^^^P+îy) —(^ï^«ny) » q)-Z(Oi— oi) (or-Os) ...(ojp^i— ojpj (o^— cii) (sf—Ofp+ijf^ -(a?— a«y)
seront encore des covariants respectivement d'ordre nh et de degré 2h. l^our n = 6, le plus simple sera le covariant du 12* ordre et du 4* degré.
Pour n'importe quelle forme de degré n impair, ou aura un covariant dans l'expression :
qui sera d'ordre et de degré h .
La considération des covariants sous le rapport des racines présente une application heureuse aux résidus de Sturm. On sait, d'après Sylvestbr, que ces résidus peuvent être mis sousla forme :
S, = «'o2{o,-a,)«(a?-a,)(a?-a,)...(a?-aj
et généralement:
S^ = a,^''^^ 2 ir (o, a, ... o^) (a;-a^^j) (a?-a^^j) ... (^— a^) . Or, comme il a été démontré par Schbâmm (*), on peut
(*) Annali di Matematica. Tom. I ^ 1867.
substituer à cette série celle qui est formée par les co-
variants :
et généralement :
Ainsi rétude des covariants peut servir utilement au dé^ nombrement des racines réelles et imaginaires d'une équation donnée.
Propriétés diverses des oovariants.
%99. Théorè&ie. Un invariant d^un covariant est un invariant de la forme.
En eflFet <P-=(Co, c,, c,, ...ïo?, y)"* étant le covariant, et I désignant un invariant de <p , et Go , C| , ... les coefSicients de la transformée de <p, on^ura:
I(Co,C„ ..., C ) = A^ I (Co , c„ ..., cj.
Mais par définition (N. 105) les coeiScients C^ , C| , ... ne diffèrent de Co , c« , ... que par des puissances de A ; donc en les remplaçant les uns par leurs expressions eu A , les autres par leurs expressions en a , on aura :
I ( Ao , A, , A, , .. . , A^) = A** I (tto , a. , . . . , a^) .
On démontrera de m@me ce
Théorème. Tout covariant d^un covariant est un invariant de la forme.
130. Théobibme. Soient <p(x,y), V(a?,y) deux covariants de la forine f ; le déterminant
dx
sera aussi un covariant de la forme f .
DEMONSTRATION. En effet désignons par 0(X,Y), V(X,T) les transformées de <p , i|i par la substitution linéaire :
En vertu des équations:
auxquelles satisfont les covariants proposés, il viendra:
dX ~~
dX "
dX "
dX ~
d'où r
on tirera :
dX dX
dX dX
=-- (PÇf—P'Q)
dip dx
dx
'dp
Exemple l**". Du covariant du 2* et du 3* ordre de la forme du 5* degré on déduit un covariant du 3* ordre et du degré 5 par rapport aux coefflcients.
Si on pose le premier =Aa?*+2Ba72/ + C2/*,
et le second =Dâ::^ + 3Ea?*î/ + 3Fa^' + Hy«,
on aura le nouveau covariant
A^ + Bf/ Bœ + Cy
de sorte que le coefiBicient de oc^ , par exemple, sera
2 (ae — Ud + 3c*) (acf— ade — ôy+ &ce + W — cM) — 3(«r— 3&e + 2cd) (ace — ad* — 6*e + 2&cd — c») .
On vérifiera aisément que cette expression se réduit bien au coefficient indiqué par les tables, au signe près.
Exemple 2. Si on appelle Px -f- Qi/, le covariant linéaire de 5* degré dans les coefficients (N®8 des tables), La?* -J- Mo^y + Ny*, le covariant du 2* ordre et du 2* degré, le Jacobien donnera un covariant
2Lx + My, Ma? + 2N|/
=a?(2LQ— MP)+y(MQ— 2NP) ,
qui sera aussi linéaire et du 7* degré dans les coefficients, que nous appellerons Vx-\-Qfy .
De môme le déterminant ou le Jacobien de Pa?4-Qy, Fâ?-f (J'y, ou PQ'— FQ, donnera un invariant de 12* degré égal à
P (MQ-2NP)— Q (2LQ-MP)=— 2 (LQ* — MPQ+ NP*) ; de sorte que, si Ton pose
LQ*-MPQi.NP*=(L,M,N5Q,-P)* = -I,., on aura PCy — FQ = 2I„ .
131 • Théorème. Le déterminant
[6] ''-luX^liFli^^^^^ ^
est un covariant.
(*) Le produit entre parenthèses désigne celui des termes de la diagonale du déterminant.
Paà db Broko, ThiorU dê$ formés binairêi. 15
DiuoNSTBATioN. Pour le démontrer, nous ferons voir que la transformée de ce déterminant se reproduit. Observons à cet effet qu^en transformant la fonction f par la substitution [2] et en supposant r -|- s = m , on a
en désignant par { ,1' , des fonctions déterminées
des coefficients p^qjP\çf de la substitution. On trouvera facilement (*) pour leurs valeurs
Par conséquent, si Ton appelle L le déterminant
mfi
(*) Il sufSt de voir que
dy
..+''irr(«é+«-^)V-
€t H le déterminant
rf*"/
on aura d'abord, en vertu des équations [7], par lesquelles on remplacera dans H les dérivées en X, Y par celles en â? , y, et en vertu d'un théorème connu de la théorie des déterminants,
