ÉTUDES DIVERSES SUR LES COVARIANTS

Des Govariants associés (*).

149. Oq doit à M. Hermite la découverte d'une sourœ féconde de relations parmi les covariants. C'est la théorie des co variants associés, dont nous allons nous occuper.

THBORBBiE. Soient q> (x,y) , i|i (x,y) deiux) covariants de la forme binaire [1] f=Ka, aj[œ,yfj

respectivement d^ordre m , s . Si dans le covariant 9 (x,y) on pose^ au lieu de x , y ,

et si Von développe par la série de Taylob V expression

[3] «p(a..,v.) = «p(.,X-iij.Y . t^X + i-^ y) ,

on Obtiendra une fonction homogène en X,T de degré m, dont les coefficients seront tous des covariants de la forme t (••).

(*) Voir Hermite, Second Mémoire sur les fonctions homogènes à deux indéterminées ; Journal de Crelle, t. 52. — Brioschi, Monografia de* corarianti, Annali di matematica^ tomo 2.

(**) Le pi*emier et lo dernier coefficient sont évidemment des cots-

risnts ; car le premier est le même covanant <p; le dernier est — fois Tintermatant *P ( "" j" > 31,) V» q«o nous savons ôti-e un covariant.

DÉMONSTRATION. SupposoDS qu'oo ait transfonné la forme f dans F par la substitution

[4] . . „ b=(pî'-l»'«).

On aura , puisque 9 et i|f sont deux covariants, [5] <t)(A,,A,,A,,...A^,X',Y')=b'*q)(a,,a,,a,...a^,a?,v),

[6] Y(A,,A,,A„...A^,X',Y')=b*H»(«o.at.«« — a„,a?,V)- Or on déduit de la seconde et des équations [4]

Ed vertu de ces équations et de la substitution [4], et en posant

[9] x. = X'X--^jî-,Y,

riO] Y. = Y'X + -^^Y,

les équations [2] deviendront

Ainsi, en transformant la fonction 9 [3] à Taide de la substitution [4], ce qu'on fait par les équations [7] et [8], on obtient le même résultat que si Ton avait posé dans q> [3]* les nouvelles variables x^ , y^ égales aux valeurs susdites. Par conséquent on aura

et comme 9 est un covariant, il viendra

[12] b**q>(ao»«i,a,...a^,aî,,î/»)=q>(Ao,A,,A,...A^,X,,YJ.

Si dans cette équation on substitue à â?„f/„X|,Tt leurs valeurs en fonction de X , Y, on devra tomber sur une identité. Par conséquent les coefficients des mêmes puissances de X,T, telles que, par exemple, X""^ Y" devront être égaux. Or le développement selon la série de Taylor nous donne

L*^-! ^ \dx dy dy dx] ""Ux' rfY' dV dX' j '

équation qui par sa forme nous démontre que les coefficients de [12] sont bien des co variants.

Si le covariant q> est la forme même f^ et si nous posons

[13] /'(a;X-l-g-Y,i/X+) ^Y)=(M'„Y.,V....Vn)(X,Y)';

les coefficients ip^, V,, V,, ..., V des diverses puissances de X,Y seront encore des covariants, et on les appellera alors covariants associés à la forme f .

143. Théorème. Le produit d'un covariant <p quelconque^ de la forme t par une puissance entière de V est wie fonction homogène des covariants associés au covariant V .

DÉMONSTRATION. Soit cu effet

[14] 9 (x,y) = (Co , Cj , c, ... cj(œ,yf

un covariant de la forme f . Supposons qu'où ait

[15] r(l>X + (zY,p'X + (7'Y) = (Ao,A.,A,...A^ÏX,Yr.

Par la définition même du covariant on aura

[16] b»*9(pX + 5Y,D'X + g'Y) = (Co,C,,C,...C^J[X,Yr,

en désignant par C©, C,,..., C les coefficients de 9 formés avec les Ao,A,,...,A , comme les cofficients Co,Cj„C4...,c du covariant 9 sont formés avec les ao, a|,a„ ..., a^ de la

forme/; m étant =2(nr — m), comme on sait.

Maintenant, si dans les équations [15], [16] noos 8U]nK)B0D8

^■~ s dff ' 9— r , ^ ,

les coefSicients Ag, A^, deviendront évidemment des cova-

riants associés iPo^ M^d M^«i *' ^m ^l^^i^i^ii^és P&r 1& relation [13] et puisque

en vertu de Téquation [16], nous aurons

118] v%(a?X-i-g-Y,yX + i-g-Y]=(C„C.,C,-.C,ïX,Y)'

équation dans laquelle les coefSicients Cq, C|..., sont formés avec les covariants %, Vj, ..., v^ comme les e^, C|, ..., c sont formés par les coefficients a^, aj, ..., et par conséquent ce sont des fonctions homog^ènes des covariants associés m^^, v^,, ip^ ... . Mais cette dernière équation nous donne par rapport au coefficient de X"*

Par conséquent le produit du covariant <p par une puissance entière ix du covariant \^ est une fonction homog'ènd des oo variants associés au covariant V, ce qu'il s'ag'issait de démontrer.

En général pour déterminer les coefficients C on opérera comme il suit. On développera la fonction

sous la forme

Puis en supposant qu'on ait (p = (a^ «i^^i-û^ï^» y)* t ^° aura