Lorsqu'on prend pour le covariant i|f la forme donnée
elle-même que nous appellerons pour abréger u, on a ura, en
posant Vo=Wo, Vi=M| , ... , ^fn=Un^ au lieu de la [13] l'équation
[30] „(^X-10Y, î,X+^gY) = (tt„«.,...,«»)(X,Y)»
Notons que dans ce cas parmi les covariants associés Uo,u,, -.^u^ à la forme u, il y en a un qui se réduit à zéro. C'est le covariant u„ coefficient du second terme. En eflFet, alors la formule [12'] donnerait [-A -y- — "à"" ^) ^^ ®- ^^ ^® covariant <p dans l'équation [19] se réduit à uu invariant, alors, puisque M se réduit à -^, on aura
nr
[21] 6«I(ao,ai,a4, ...,an) = I (A^, A,, ..., An) ,
et en supposant que jp, q^ j/, q' aient toujours les valeurs [17], hypothèse par laquelle les Aq, A„ ..., Ah deviennent Vq, Vi, ..., on aura, au lieu de l'équation [21], celle-ci :
nr
[22] v* I (ao, a», a„ ..., an) =1 (n^ Vn •••> Vn) ,
où Vo, v,, ...,iVn sont déterminés par l'équation [13]. Exemple. Soit la forme cubique
u = (a,b,c,dlx,yY\
le covariant N® 1 des tables ou l'Hessien, que nous appellerons 17, sera
v= ac — &*, - (ad — &c), bfi — c* (a?, j/)* ,
et le discriminant, que nous appellerons A, sera
A = (arf — &(?)*— 4 (ac? — b*) (bd — c^) .
Or si nous prenons pour <p THessien r, et si nous posons Co=ac — &*, c,= 2(ad — ôc), Cj=(&(l — c*), on aura
Mais Cq, Gp C„ C, sont formés avec les covariants iiiq, v» — i actuellement Uq, u„ ..., comme c^,' (?|, c,, c, sont formés avec les coefSicients de la forme. Donc on aura
.Co= UoU,— u\, C,= - (UoUs— u(a^, C,= u^u,— ti%;
et puisque ^i^^- f-^ 2) =2, Uo=U4, Ui=0, M viendra
en vertu de Téquatiou [18],
Or celte même équation nous donne v^V'='C^'=iUU^^ d*où u^zzzuv^ et de la dernière on déduit
1 ^ [du dv dn dv \
de sorte que, si nous posons 9 =g ( ^ ^- — ^ ^^ ]( )» »1 viendra
Partantlesecon'lmembresusd!tdeviendrait*(t?X*-(-9XY — t/*Y*^ et l'équation [22} se transformera en celle-ci:
{*} <p est un covariant de 3^ ordre et de 3^ degré de la cubiqae, en se rappel lant le théorème du N** 1:^.
(**} Puisqu'ici r=i4, IVquatioo [38], en supposant H' = i«, deviendra
t*«A = A(wo,Ui,U|,W3).
Mais UQZ=zUy ti| = 0. Donc
[23] t««A = (ut*3)*-4uu%,
d*après les valeurs de u^, u^ simplement
u*A:='M*(<p' — 4t?^), ou u'A = <p' — 41?*.
relation, qui montre comment les invariants et covariants fondamentaux de la cubique sont liés ensemble, et que nous avons déjà donnée N. 136.
145. Il existe, entre les covariants associés au co variant q> d'ordre m et les covariants Uo, u„ ..., Un associés à la forme u, une relation utile, qui permet encore d'exprimer un des premiers en fonction des autres.
Posons à cet effet, dans Téquation [18],
ê dy ^ ' ê dâ '
D'après la série de Taylor, on aura
par conséquent le covariant associé à ^, sera
Mais des équations
} j d^ du rfv rfiP \ 1 / rf V 1 d^
'^'~'ni Kdxly dy'dxj' '^'^sV^'dx'^^ly
on deduti
[26] *'^.- if * = «/», î/*.+ if V = «ft.
Partant, si dans la relation [18] on pose ^=^u^ X = v,, Y = v, il viendra
[26]' u'u (/(, K) = (Uo, tt„ ..., Un ) (Vi, vr .
Mais puisque des équations [26] on tire Uj-=a?, ti^=y, il s'ensuit qu'en différentiant l'équation [26]' par rapport à m», et en appelant pour abréger FCM^ifM») le second membre, on aura
rfF -nu-ifr^*'-^;y^^'l ^-nu^''{x^^v^\ etc d^^, -''" r ÏÂ+^rfAJ' Sï;?"' V dh^^ dh) '^"^"'
FaX d8 Bruno — Théorie des formst binaires, 17
d*où, en ayant égard à la valeur de ^^r , on déduit
[27] n(n — 1) ... (r + 1) u\=(Uo, u,, ..., uj W», v)^
Ainsi tout covariant Vr associé, à H' peut être censé fonctioD de Wo, W|, ...,Un, V| et v.
i4ltt. On peut obtenir facilement, d'après M. Hermite, les expressions des premiers co variants associés à la forme donnée, que nous appellerons u. En posant u=f(x^y)=(ajbyCjdj.,.Xx,y)\ il viendra
(a,6,c,d,...ïa7X-i^ Y, yX+^ gY)=iK,u.,...,UnïX,Y)-.
1 du
Supposons d'abord î/=0 ; alors les expressions a?X — -j- Y,
y X + ^ — Y se réduisent à œX—ba^^Y, ax^^Y: et il viendra
[28] r(;rX-&a?'*"*Y, aa?^-iY)=(Uo,u„ ...,îinJfX,Y),
en supposant aussi Uq, u^^.,.^Un réduits à leurs premiers termes. Observons maintenant que le développement [28], en ix)sant
fe = -==-, est équivalent à celui de a^X*^f(l — boc^-^h^ aœ^^^k); d'où il résulte évidemment que le premier terme de Ui qui multiplie X'»-*Y»' contiendra a?'*.a;<**-*)'=«(»>i)'«-8< en facteur. La partie indépendante de x dans ce premier terme sera le coefficient de ft» dans l'expression f(l — &ft, aft), ce qui prouve d'abord qu'elle sera divisible par a. Pour la déterminer facilement observons que si Ton pose symboliquement /•=(cw?-f-Py)», on aura f (l — bh.ah) =(a-\-('^af>-\-a?)h)'*, et par conséquent l'expression cherchée sera
an-» (a&-[- ap)» = (ao, a„ a„ ...,a»ï— a„ao)*. (•)
Ainsi enposant(ao,ai,a4...„a» H—a^.aoY =e»(—&, a), il viendra
[29] ui =Qi i—b.a) 0;^'^*^'*"^*+ .. . .
{*) Nous employons pour uq moment les lettres avec indices pour ûdre mieux saisir la loi de formation.
et dès lors, en partant des formules N. 110, on pourra trouver les autres termes de Ui . Notons d'abord que la valeur de -6| (— &, a) est = ; il suflOit d'ailleurs de se rappeler que nous avons montré tout à l'heure (N" 144) que u» =0. Cela posé, on trouvera
l Os (— b, a) = 2i)^—3abc + aM = - (a, &, c, dj— &, ay ,
^ 84 (— ô, a) = — 3&*+6ac&»— 4ôda*+ w»= etc.,
~ 85 (— &, a) = 4?^*— 10ac&»+ 10&*da*— 5&ea'+AiS etc. Voyons d'abord u, . On a u,= a (ac — &*) a7**"*"*^'*'~*^-j- . . .
iy rf/'
est précisément de la forme {ac — W)x ^'*'"^+..., on en conclut aisément en appelant h THessien de la forme, que u,= uh. Pareillement, comme on a
Ù3=a(5»»— 3aôc + aM)a?''^^'*~*^ ,
et que (2ô^— 3a&o+ a^d) serait le premier terme du covariant
1 / dh du dh du
m[n — 2)\dx dy dp lïx
qui est de degré 2n — 4 — l-f-n — l=3n — 6, il s'ensuit qu'on aura u^ = uk , Quant à u^ observons que l'on aurait
M4 = a (— 3&* + 6acb* — 4&da* + ea*) a?*"*^^**"*^ et puisque 4 (n — 2) = 2 X 2 (n — 2) , on voit que ce covariant
Or, en se rappelant que l'Hessien — ; n
peut être fourni soit par le carré de THessien h, soit par rinvariant quadratique de Témanant
n(n-l)(n''2)(nS)\dx ^ dtf ^j' — '''
Or le premier coefficient du carré de THessien est (ac — &•)*, et celui de Tinvariant quadratique est (ae — 4ô -j- 3c*) a*, et l'on voit que (ae — 4&rf + 3c*) a» — 3 (ac— &*)*= - 64 (— ô, a). Donc, puisque les covariants découlent de leurs premiers termes, une fois Tordre et le degré donnés, il s'ensuit que Ton aura
Uj^ — u (v}K — 3A*) .
De la même façon on trouvera u^^=u (2hh — u*A') , en posant
^,__ 1 I dh' df dh! df \ 4»(»— 3) \ dx dy dy dx ) '
147. D'après les valeurs susdites, on trouvera que, en posant
il viendra
(a,h,c,dlxX- l-g- Y, yX + A -g-X)»=(r,/k,AAA7iîX,T)',
où A est le discriminant de /'=(ad— &c)* — 4(ac — &») (M— c'). Par conséquent, d'après le théorème N. 143, un covariantO quelconque de la forme cubique f pourra être exprimé par l'une des deux formes
[30] e=?^^^, e=Ç:iA*^,
où les lettres P et Q désignent des fonctions rationnelles et entières des diverses quantités auxquelles elles sont appliquées. et les lettres |i et v des exposants entiers. De là on conclat que 6 est exprimable par une fonction entière de /*, /i, ft, A. Pour le démontrer, nous partirons de cette relation trouvée par Caylby :
qui permet de rabaisser toutes les puissances de /t à la première et de mettre ainsi les numérateurs [30] sous la forme
Q (A K^) =■- Qo in ^. A) + ^Oi (A h, A),
Po» Piî Qo> Qi désignant des fonctions entières en /*, h et A. Egalant les deux expressions de 8 il viendra
Cette équation nous montre, puisque ft est quelconque, qu'on aura séparément
[33] -lp,(/;ft,A) = i-Q,(/-,y,A).
SMl en était autrement, on aurait, outre la relation [31], une relation de premier degré en h entre /*, A , ft ; ce qui permettrait, en éliminant k entre les deux relations, d'avoir entre f et h une relation indépendante de x et y, ce qui est impossible. Il suffit pour s'en convaincre d'observer que, dans le cas de la forme canonique f=a}^-\-y* ^ on a h = — 2xy. Cela étant, les égalités [32] [33] démontrent que Pq et P^ , Qo et A, sont divisibles respectivement par f^et h^. Alors on coticlut enfin que tout covariant 8 d'une forme cubique es tune fonction entière des invariants et covariants fondamentaux f, h, k, A.
Une analyse toute semblable conduit M. Hermitb à une conclusion semblable pour les formes biquadratiques.
