Po(/-,^ItJ3) +'^^i(fAU.h) =-^Qo{fAh.h) +~<iiif,h,l,,\j
n s'ensuit, en raisonnant comme plus haut pour les formes cubiques, que ,
^ Po(A^J.,l3)=^Qo(/',^I,,l3),
fn ""' ' '' "" hy
i-P.(A/l,I„l3)=^Q,(/',A,ItJ3) .
De là il résulte, puisque feth sont indépendants, que Po et Pi , Qo et Q, sont divisibles par f^^ ^^, respectivement ; et qu'ainsi : tout covariant d'une forme hiquadratique est une fonction rationelle et entière de ses invariants et covariants fondamentaux, f, h, k, I4, I3 et qui peut être réduite au premier degré par rapport à k.
On retrouve ainsi par cette profonde analyse due à M. Hermite les mêmes résultats que M. Cayley avait déjà prévus et démontrés par sa formule [2] No 134.
Loi de réciprocité.
149. Théorème. A tout covariant cTune forme de degré n et de degré r dans les coefficients ^ correspond un covariant de degré n par rapport aux coefficients d'une forme de degré r (*).
DÉMONSTRATION. Soit d'abord
[1] f(x,y) = ax +7il)œ i/H — f;^^^ î/*4-... ,
ou, en mettant en évidence les racines,
[2] f(x,y) = a(x+a,y) (a?+a,î/) (a^+aj/) ,
[3] ou, f(x,y)=a norme (x-\-ay),
la forme de degré n ; et q) (a, &, c, , a?, j/) le covariant de
degré r dans les coefficients.
Posons
[4] F=a'' norme (X + aY + a*Z4-... + a''T) ,
a désignant une quelconque des racines aj,a„ ... de la préposée. D'après les théorèmes connus sur les fonctions symétriques,
(*) Tout ce qui suit sur cette loi, sauf les explications nécessaires, est tiré du magnifique mémoire de M"^ Hermitb Sur la théoHe^ les fonctions homogènes à deux indéterminées inséré dans le Cambridge and Du62tn Mathematical Journal, 185-4.
les coefficients de F seront des fonctions entières de degré r des coefficients de la forme /*, puisque les racines n'y figurent qu'au degré r . A l'aide de cette simple remarque, on peut établir que toute fonction entière et de degré r des coefficients de f s'exprimera linéairement par ceiiœ de la forme F.
En effet, cette fonction pourra se décomposer en une somme linéaire de fonctions symétriques d'ordre r au plus. Or toutes les fonctions symétriques possibles des racines a jusqu'à Tordre r sont comprises dans la norme de F et en constituent les coefficients. Par conséquent, par simple substitution, cette fonction pourra s'exprimer linéairement par les coefficients de F .
D'ailleurs il n'y a qu'une seule manière d'exprimer les premiers coefficients par les seconds, c'est à dire qu'une fonction de degré r des coefficients de f n'est susceptible que d'une seule expression linéaire par ceux de F .
En effet, les coefficients de F ne sauraient être liés par aucune relation linéaire dont les coefficients seraient numériques, c'est-à-dire indépendants des coefficients. S'il en était autrement, c'est-à-dire, s'il existait deux expressions linéaires des coefficients de la forme F pour représenter la même fonction de degré r des coefficients de f^ il s'ensuivrait qu'une fonction symétrique serait fonction d'un certain nombre d'autres, et par conséquent les coefficients de f ne seraient pas absolument quelconques.
Maintenant supposons qu'on ait mis la fonction binaire f sous la forme symbolique
[5] r=(^^o + Wor.
en posant a = (xj*) , & = (a?o**''*i/o) i c = (xq*^ y\)'" -
Alors on pourrait aussi écrire
Faisons de même pour la fonction F, puisqu'elle est de degré n, par rapport aux variables X, Y, Z, ..., T, et posoDs
[7]^ F = (XXo+YYo+ + TTor'
en convenant toutefois d'écrire
(Xo")x", (x,*-'y,)x"-'y ,
au lieu de
les quantités entre parenthèses désignant les coefficients. Cherchons maintenant la transformée de F par la substitution
[8] Âlor^ a se change en
et par conséquent l'expression
X + aY + o»Z + +a'"T,
en multipliant tout par (i>+p'a) et en 'observant que le nouveau a deviendra a norme {p-^p'a) (ce qui détroit le dénominateur en (p + p'a^ (p -|- p'ot,)''..,) , devient
X {p+P'a)'+ Y (p+p-a)^' (g+g'o) + Z (p+l>'«)''~*te-H'o)'+ -
[10] =Xp''+Yp'-'^ + Zp'-*«» +
+«[rp'*"Vx+Y(p'-'«'+(r-l)p''-V'«)+Z(2p'^3î'+{r— 2)p''-'p'(,'H-.
+af-iî=llp'-Vx+ ] + Zp-V + ...]+
Alors, par ces valeur^ des nouveaux coefficients de et, le polynôme symbolique
XX0 + YY0+ +TTo
deviendra à son tour, en multipliant ces coefScients successivement par Xo , X, , X,, ,
X [Xo/+rp'-VYo + r(r-l)p''^VZo+ ]
[11] 4-Y[xy g + Yo(p'-V+(r-l)p^Vg) + ]
+z[XoP''-V+ ] + ,
ou bien, en posant
X'o = XoP'' + rp'^VYo+r(r-l)p'^VZo ,
[12] Y'o = ^,p"''q + Yo (/"V+ (r-Dp'-V^?) +
z^^Xop'^Vh-
il se transformera encore en XX'o+YY'o+ZZ'p +
Or, en observant que, par définition, 9 est un covariant, et que, par les remarques faites d'abord, les coefficients du covariant sont des fonctions linéaires de
symboles par lesquels sont représentés les coefficients de F, on aura
[13] 9 [(X'or, (X'^-^YV, (X'o"-Vv, ,a/,îr]
= b^*9[(X.r,(Xo*^'Yo), ,ar,y].
Mais X'p, Y'o, Z'o, ... (voir équation [11]) sont liés à Xp, Yp, Z,, ... comme s'ils étaient tirés réellement de la fonction
[14] Xoa; 4-rY,aj i/4-î^j=^Z,a? v'+....,
lorsque, par la substitution susdite [7], elle se chanere dans la transformée
[15] X', o/+rry~'yr+ T^ Z'^'^V* +
Par conséquent, puisque le second membre de Téquation [13] peut être censé une fonction des coefficients X^, Y©, etc. de la forme [14] de de^ré r , et le premier membre de cette même équation une fonction de ceux de la transformée [15] de cette même forme, Téquation [13] nous prouve que la fonction 9 sera un covariant de la forme [14], dont les coefficients seront de degré n, en considérant les quantités (X^**), (Xo**~ Y©), ..., non plus comme symboliques, mais comme réelles.
Par cette singulière métamorphose, que nous devons au génie et à la pénétration d'un des plus grands géomètres modernes, M. Hermite, il ressort que, à chaque covariant de degré r d'une forme de degré n , on peut faire correspondre un covariant de degré n d'une forme de degré r . Ce covariant serait dans notre cas la fonction [13], et la forme la fonction [14], et il se déduit par un singulier artifice de la forme primitive 9 (a, &, c, ..., œ^ y) du covariant. La forme F ne sert que de fonction auxiliaire pour opérer ce passage.
150. Exemple. Formation de V invariant quadratique d'une forme quelconque.
Soit
[16] f= ax^ + 2bocy -\-cy* = a (oo+o,y)(x-{-a'y)
une forme quadratique donnée. L'expression générale des invariants de cette forme est la fonction de degré 2|ui (V. N'96)
[17] A = (h^-acf=a*^{a-'ay^ .
Donc, d'après le théorème démontré tout-à-l'heure, les formes de degré pair 2\x ont un invariant quadratique, ce que nous avions déjà appris, N. (96). Pour le déterminer posons
expression qui pourra se représenter symboliquement par la notation
[19] F = (XX, + X'X'o + . . . + X^^^X^^^V •
On trouvera généralement
[21] 2 (X,"'X,<^') = a'»* (oV-f a4") .
Développons maintenant la fonction
en joignant ensemble les termes équidistants des extrêmes et désignant par Mi, M), ... les coefficients binomiaux. Cela fait, remplaçons-y les parenthèses par leurs valeurs fournies par les relations [20] et [21] ; il viendra
où le dernier terme, qui provient du terme central du développement de A, est seulement
Or cette expression est précisément Tinvariant quadratique connu de la forme
[24] Xo^'>'+M,X'oa;'»'-VTM,XV*''-*y'+ ■i-X'^'V ■
151. EXEMPLE 2*. L'expression générale des covariants de la forme f est
[25]9=(&«-ac)^'(aa;*+2!^a:î/+c|/')''=a*^*+^(a-af**(û?+aî/r(a?+a'y)V^
de degré 2)1 -j-v par rapport aux coefficients de f. Donc, en posant
on voit qu'il y aura autant de covariants de second degré par rapport aux formes de degré m qu'il y a de solutions entières et positives de cette équation. Le degré de chacun des
covariants en a? et y est toujours 2v, comme celui de 9. Pour v = l, on aura un covariant en œ et y, que nous allons calculer.
Posons à cet effet
où 127] k=o^^-^\a-i£f^ , B=a'>'-'\a-a'Ma-a'), C=a*^*\a-<^)\
Il s'agira d'exprimer ces diverses quantités au moyen des coefficients de la forme
F=a**(X+aX'+a'X"+ . . . +a**X^'*0 (X+a'X'+a'«X''+ . . .-fa'*Xo^*>)*,
^^^ F=(XXo+X'X'o+X"X"o4- x^'^b^^'^O* .
A cet effet, observons qu'on aura, comme précédemment,
Quant au coefficient A, ce sera le même calcul que plus haut, et il viendra
C=2(X„<"'>X'o)-2m.(X.<"'-''x"o)+2m,(x,<"^*>X'",)-.. . . Quant h B, on a
=2(x,<'"x„)-2(M,-l)(x,'"-''X'o)+2(M,-u,)(Xo-?X",) -
le dernier terme étant 2(111^ — Mn i)(x<,''*'*"''x<,('»)) .
Ainsi, pour toute forme de degré impair n = 2|i + 1
on a ( en tenant compte de ces valeurs A , B , C ) le covariant
nrl(«i)(«2) (î^+i)
Dans le cas de n = 5, il viendra le covariant N* 1 des tables
(«0^4 — 4aia8+ 3a%) a?* [30] (a^a^ — 3 a^a^ + 2 a^a,) a?î/
(a.as— 4a,a4+3a%)y« .
Pour les formes cubiques
[31] f=ax' + 2 bx*y -f- 3axy* + dy\
on trouverait le covariant quadratique
[32] (ô*— ac) û?*+ (bc — o^) a?î/ + (c* — M) y« .
En le multipliant par l'invariant biquadratique, on aurait un covariant de degré 4)1 + 2 par rapport aux coefficients de f; donc toutes les formes de degré 4)yi-|-2 ont un covariant quadratique en or , y , et de troisième degré par rappoVt à leurs coefficients.
Ë<. La loi de réciprocité conduit à des conséquences importantes relativement au nombre des covariants appartenant à une forme donnée. Considérons, par exemple, les formes quintiques. A Taide des théorèmes exposés N. 99 et 102, on peut conclure que tout invariant de degré de la forme quintique pourra être réduit à Tune des deux formes
car les invariants de la quintique étant nécessairement pairs (N. 73), ne seront que de la forme 4|i, ou 4|li + 2. D^ailleurs par la formule (11) N. 102, toute fonction de I^^ peut être réduite à une fonction de I^, If, I^, et Ii^. Ainsi la première expression conviendra aux degrés 8 pairement pairs. Donc, par loi de réciprocité, il existera autant d'invariants de 5* degré relativement à une forme de degré 6, qnMl y a des solutions entières et positives des équations
Ainsi pour les formes de degré impairement pair, ce n'est qu'à partir du 18* degré qu'on trouvera un invariant de 5* ordre.
Nous nous bornerons à cet exemple, car on pourrait mnltiplier à l'infini les applications.
Forme oanonloae invariantive de la forme qnintlaae (*).
158. Soit la forme (a, &, c, d^ e ]fâ?, y)^ . Représentons par Poj + Qy î P'^ + Q'l/ les covariants linéaires de 5* et de 7* deerré dans les coefficients; par I4, I^, I^,, I^, les quatre invariants fondamentaux de la forme quintique ; et par
le covariant quadratique de 2* degré daps les coefficients (N* 1 des Tables). Nous savons (N* 130) que le déterminant FQf — FQ = 21 1„ et que I4 = M' — 4LN . Transformons maintenant les variables â?, y en X, T à Taide de la substitution
d'où
T=-^(Pa? + Qy), T==-i-(X + Y),
V=~(Px + (ïy), U = î^(-X + Y), x=--^(Q'T-QU), X = Tyi;--^,
I/ = -î^(-PT + PU), Y = T^17 + ^;
{*) NouB avons adopté pour la démonatration du théorème qui suit celle qui a été donnée par M. Cajley dans son Bighth Memoir on QtMnties^ 1867.
Vkk DB Bbuno — Théorie des formes hinaires. 18
et notons qa'on pourra passer du système {x , y) au système (X,Y) par une substitution à déterminant =1 ; car celui de (x,y) à (T,U) est =2 et celui de (T,U) à (X, Y) est =^ .
Cette substitution conduit à des résultats intéressants.
154. On a d'abord, en remplaçant œ^ y par leurs ¥»leurs [2] et en ayant égard aux relations N* 130,
[3] La?*4-Ma^ + Ny* = l4T* — U*.
Mais, en vertu des équations [1],
[4] I,T'-U*=i|/"l7[(X + Y)«-{X-Y)«] = ^17XY.
En comparant les deux expressions [3] et [4], on obtiendra
[5] La?* + Ma?ï/+Nî/» = l/'î7XY.
On aura ainsi transformé le covariant quadratique trinôme en un covariant monôme par une substitution à déterminant =1. Par la première substitution [2] la forme [1] devient :
[6] (rt,&,c,rf,e,rï^,î/)»=-^ (a,&,c,d,e/iQ'T— QO,— PT+PLT.
y Pli
que nous supposerons mise sous la forme —m (a,b,c,d,e,f JT^U)*'.
y Pli
Sous cette forme, la quintique jouit de cette propriété que ses coefficients sont des invariants. La démonstration qu'es donne M. CArLEY est très-simple. Posons en effet :
l/aD^ + 2&D^ + 3cD^ + 4dD^-f 5eD^=b,
x3bD^ + AcD^ + 3dD^ + 2eD^ + fD^ = h,/
et notons que, Pj? + Qy , Vx -f- QV étant des covariants, on doit avoir bP=:0 , bQ = P ; bF = , bQ' = P' . D'où il suit qu'en regardant T , U comme constantes, on aura :
b(QT — QU) = PT-PU , b(— PT + PU) = .
Or si, en assujettissant le second membre (6) à l'opération b, le résultat est , le théorème sera démontré. Inutile d'ajouter que dans cette opération les variables T , U doivent être considérées comme constantes, puisqu'elles n'entrent pas dans la formation des coefficients. On aura donc par les valeurs ci dessus :
6(a,ô,c,d,e,aQ'T-QU,-P'T-fPU)»
= 5(a,&,c,d,eïQ'T-QU, — P'T-|-PU)*.(— FT + PU) + 5(a,&,c,d,eiQ'T-QU,-P'T + PU)*.(FT — PU) + 5(&,c,d,e,aQ'T — QU, — FT + PU)*.0 =0 {•).
L'opération 6, fournirait un résultat identique ; donc les coefficients susdits sont bien des invariants.
Ck)mme toute fonction invariantive peut être réduite à une fonction des 4 invariants fondamentaux !« , Ig , I» 9 lis f ^^ est naturel de s'attendre à ce que les coefficients a, &, etc. puissent s'exprimer en fonction de ces invariants. D'après les calculs de M. Hbrmitb et de Catlbt on trouverait en effet :*
h IIM*
