Remplaçons maintenant T et' U par leurs ▼aieun
en X, Y ; il viendra
= (X , M , V , v', ^', X' i X , Y)» par hypothèse (•). Or réquatioD [5] nous donne
ld'^+md^d^+nd«^=-i/ï:d^d^ .
En appliquant deux fois de suite cette opération à la forme quintique proposée, on aura
(LD«4+MD,D^ + NV)«(a,^c,rf,^/)(iF,y)^=l4D«xD\(X,M,v,v\M\V|X,Y)»
= 120l4(vX + VY);
le second membre, étant un covariant linéaire de degré 5, ne pourra différer de Pa? + Ql/ que par un facteur numérique. Il est aisé de vérifier qu'il est = 120 (Pa? + Qy) (••). Mais
P^ + Qy =: Y^ (X + Y) ; par conséquent I^ v = i^v' == I^ , d'où l'on déduit v = v'=: ;--" .
Si d'après Hermite Ton pose ft = -pL:, d'où v = v' = VJfe,
y 1*4 l'équation [7] deviendra
[81 (a,2;,c,c/,e,na7,î/)* = X,M,l/ft,l//i,M',Vj[X,Y)»,
(*) Il est aise de le vérifier en tenant compte des degi*é8 des coefficient! de la substitution que ces nouveaux coefficients X, m, etc., sont de degré 1.
(**) En effet, si Ton pose fr =i (2 =: e = 0, le premier membre se n&doit à (3 c* D»y — a/^Dy D,)* [ax^ + lOcarV + {}r) , et le seul terme contenant «, par exemple, sera a*/**D'y D*jp . 10c«?y = 120a»c/'*aj . Mais dans es même cas les Tables donnent Vx = c^cf^x ; donc le coefficient est 120.
et en môme temps le covariant quadratique La:? + Mœy + Ny* se transforme en l/T^ X Y ; d'ailleurs ces coefficients sont des invariants d'après ce qui précède. C'est là la forme type à laquelle nous voulions arriver. Il ne reste qu'à déterminer les quantités X, v, ]//î, v', ^'. A. cet effet, observons, puisque le covariant quadratique se réduit à un monôme, que, ayant égard à la forme du covariant (N* 1 des Tables), on aura entre les coefficients x,m, etc., les relations suivantes
XM' — 4Ml/ft + 3ft = 0,
[9| XV'-4M't/ft + 3ft = 0,
XV — 3MM'+2fe = l/ï;.
On va voir, d'après M. Hermite, qu'à l'aide de ces relations les coefficients de la forme type peuvent s'exprimer en fonction des trois quantités \\' = g^ \i\i' = h et h. On tire, en effet, des deux premières les deux équations suivantes du second degré en X et M:
12 j/^» M»— (9/i«+ \6hk—gh) m + 12/1 1/^=0 .
En posant A = (9A» + 16/ift — flr/i)«— 24*/i&\ on en déduira, en les résolvant ,
riOl '^2|/fe"*X = 4(^-16;l)»-9/c^^+16/^) + (i7-16;l)^/Â,
Le double signe de i/a fournira le deux systèmes de solutions cherchées pour X et ^ . Mais comme le produit des racines est d'après les équations susdites =g^ = hj il s'ensuit que les autres racines seront précisément x' et \x'; de sorte qu'on aura, par le changement du signe de iXa ,
24:l/k^\i' = gk'^+l6hh — gn^[/'^, n ne reste plus qu'à trouver les valeurs de g^hjk en fonction des invariants, si l'on veut exprimer les coefficients en fonction
des invariants fondamentaux. Or par oe qui précède et par la troisième des équations [9], nous avons déjà
Pour déterminer encore une autre relation entre les quantités g jhyk et les invariants, appliquons Topération |/l ^vjsi
C'est à dire le covariant 1/I4XT transformé en intermutant à la forme quintique type, et Ton aura
Prenons maintenant les Jacobiens des covariants [14] j ^^^^^' j ^^*^Y,
on obtiendra les covariants suivants de 5* et ?• degré dans les coefficients
[15] I,(h,j/Â,-1/^,-h'ïX,yK
[16] l,[/T, {]/hX--l/hY) . (•••)
Les covariants cubiques [14] et [15] étant respectivement de degrés 3 et 5 dans les coefficients, on obtiendra par Tintermutant un invariant de 8« degré, et ce sera I4 l/l^ {h — |ym') = l/ï»^ (h— h) . On aura donc
En vertu des équations [12] et [17], il viendra
et partant, à Taide des relations [10] et [11], on déterminer X, X', ^, ^', ce qui achèvera la solution du problème.
(*) Ce serait le covariant €3,3 de la forme quintique. •
(**) C*e8t le covariant Px + kp, en ajant égard aux relations [I] tt i la valeur de k-
(ff«) C'est le covariant €1,7, qu'on aurait pu directemeot tirer des relations [1].
Rn résumant ce que nous Tenons de dire, on conclut ce théorème :
Par Ui substitution
.r = -31--[(Q' + QVî;)x + (Q'-QVr)Y],
i/ = — ^-[-(f+pi/iJx + C-p+pi/Oy],
2 l/li, VU la fonction quintique (a, b, c, d, e, f ï x, y)* se transforme en (X, ^i, Vt, k, ^', ' kï X, Y)S où k, X, V, II, \i' seront des invariants déterminés par les relations [11] et [14], et Jouira de la propriété que son covariant quadratique se réduit à Vl^XY . C^est là la forme invariantive canonique dont M. Hermite a déduit un corollaire important pour la théorie des équations de 5* degré, savoir, qu'à Taide de cette forme canonique on peut atnener toute équation de 5* degré à ne dépendre que de deux paramètres.
Posons en eflTet H — ^ , H' = .4 ^ 1<^^ quantités A, g, h deviendront
[20] /i = VT? H' , f^ = l/r,(l+3H + H'), A =1/1"; (H + H').
Alors, le radical I/I4 disparaissant comme fi&cteur commun à cause de Thomogénéité des relation^ [10] et [11], Téquation (X, /t, l/Â^, y/i,i4, /t' JX,Y)* = ne contiendra plus que deux paramètres H, W. Ainsi Tétude de la réalité des racines de
la forme quintique est ramenée à celle des fonctions, ou in-
L I variants absolus fî 9 ri •
I4 le
Cette réduction, qui par cette méthode serait inabordable, se fait toute seule, si nous avons recours à notre forme cano* nique de la forme quintique (N* 101, 102). En effet, on aura
.V(H'^H), I4, = V»[36HH'MH-H') + 6.12*H'* — (H— HT],
Par conséquent, en divisant par I\ la 3* équation, page 177, il viendra
[21] 12(^]M = H — H'+PV^K-hP^l/L,
K, L ayant les valeurs suivantes :
K,L-36HH''(H-H')+6.12«H'*-(H-H')»±216H'«l^{H'.H)«+8H'H».72HH"43!
(TJ»5\ — — I ^ sera diviseur commun aux trois coefS-
cients l^ m, n, il s'ensuit que Téquation (N* -101) ne contiendra plus que deux paramètres H, H'.
On a donc ce théorème:
Étant donnée la forme quintique (a, b, c, d, e, f jf x, y)*, et en appelant a, P, T les racines de la canonisante
1 X ce* a?
c d e f on pourra^ par une substitution linéaire à déterminant = 1.
yp(fl"T)-ht?( p — T)a « (a — t) + t>0 — t) n.
la transformer dans^la forme canonique
[221 l il'' -f 7n v)'' — u(u + v)^=--0,
ne dépendant plus que de deux invariants absolus, H et E\
\,m,n étant proportionnels aux seconds membres [21], lorsque
on y remplace successivement p par P®, P*, p*.
Ce résultat confirme d'une autre façon ce que nous disions page 177, savoir, que Téquation [22] est caractéristique pour une forme quintique donnée, de sorte que pour nMmporte quelle transformation linéaire on retombera sur la même équation [221 ^ invariants absolus.
(*) Le déuominateur est l ï,î .
Transformation de Tsohimhaasen.
Équations earactéristiqaes des résultants.
15B. D'après cette transformation, qui a été publiée pour la première fois par Tschimhausen en 1683 dans les Actes de Leipsig^ on peut faire disparaître autant de termes que Ton veut dans une équation donnée.
Soit x'*-\-a^x*^ -j-^»^**~ + "i"^n^^^
réquation donnée ; et posons
&„ &,, ..., b^ désignant des indéterminées, et m un nombre entier <n. En éliminant y entre les deux équations on aura une équation de degré n en |/, comme on le déduit de la théorie des résultants. On peut ensuite disposer des indéterminées b pour faire disparaître autant des termes que Ton veut , sauf ensuite à résoudre les équations de condition auxquelles on assujettit les b. Cette résolution est possible pour n= 3, n=4. Alors, en posant dans le premier cas y = i>, + &| a? -f- ^*» dans le second y=zb\-\'b\x-\-x'^j on obtiendra des équations finales en y , de la forme
et Ton déterminera {>„ b^ par des équations de premier et second degré ; b'\ , b\ par des équations de premier et de troisième degré.
Au dessus du 4">« degré, le calcul de réquation finale présente des difficultés insurmontables. Malgré elles, M. Jerraid, Géomètre anglais, a pu démontrer qu*on peut, par la résolution d'équations de 2^ et de 3"* degré seulement, faire disparaître le 2~, le 3"* et le 4"** terme d'une équation quelconque, et, par conséquent, en prenant Tinverse de x^ les trois termes qai précèdent le dernier. Ce résultat a prouvé en particulier que toute équation de 5"* degré pouvait se réduire à la forme trinôme .^ + Aâ? + B = 0.
Il restait à trouver une méthode par laquelle on pût déterminer plus aisément les coefficients de Téquation finale, et entr^autres les coefficients A et B de Téquation finale du 6-* decrré. Ce problème a été résolu par M. Hbrmitb , en donnant une autre forme à réquation en z (*) qui le relie avec la théorie des invariants.
Soit donc, d'après lui,
réquation donnée. Posons, en désignant tQ,t^,t^^...^n indéterminées,
[2] 2=<p(,r)=:ao^^i + a„.a7 ^^2+^o^*
+wa,
ce qui revient à écrire symboliquement
-i-na
Supposons qu'on ait éliminé x entre les équations [1] et [2]; nous obtiendrons une équation en- 2: de degré n, où nous pour-
{*) Pour la démonstration nous avons suivi la voie qui a été tracée par M. Cayley dans son Mémoire On Tschirnhausen's transformation — 1851.
rons disposer des quantités t^ , <i, ..., t^^^ pour &ire disparaître les termes qu'on voudra. En posant z=iXi j et en appelant X^ ce que devient X par la substitution de la racine œ^ de f(x) à la place de x , Téquation finale aura la forme
[4] (z^X,)(z-X^)...{z-XJ = {A, , A, , A, , ... AJz . ir=0 .
Le coefficient, de z par exemple, sera, au signe près, X, + X, + . . . -f X^> ou, en ayant égard aux relations [7] , N® 2,
disparaisse, il
Par conséquent, pour que le terme en z Caudra avoir
Alors au moyen de cette relation Téquation en z deviendra :
-\-na,x
15V. Sous cette forme Téquation finale résultante aura la propriété que tous ses coefficients sont des invariants des deux formes :
(ao , a, , ... a^ ïx.yf , {t^^ , t^^ , ... t^ ïoc,—yf^ ;
et, s'il en est ainsi, Téquatidn elle-même sera un invariant, en y considérant z comme une constante. Il suffira donc d'examiner si le premier membre de l'équation [4] satisfait aux conditions
en posapt
ddi
dOn'
*-2rf^n-3 ' **-3<^^n-4
di^'
Or cela revient à examiner si chaque facteur z — X y satisfiiit, ou si (b — • A') X == , (5' — A) X = . Notons en passant que les opérations doivent être appliquées à a;, car x est censé être ici une fonction des coefficients de la proposée. Or Topération b sur f(x^y) nous donne
(ao,a,,a„...a^^jïj?,ir~^ba?4-(ao,a,,a,...a^jïar,l)'^"=0,
d'où ba? = — 1. Cela posé, l'opération b sur X, pour ce qui se rapporte à x , donnera
— na.
3ao.ï?' — 2na^x
^^__^... — (n — l)ao.r
— (n — 2)na^x
et, pour ce qui se rapporte aux coefficients a, nous fournira
En réunissant les deux parties, b deviendra :
Mais TopératioD A' nous fournira également le même résultat; donc bX = A'X, ou (b — A')X = .
Quant à l'opération b' — A , examinons d'abord oe que devient b' par rapport à a?. Or Téquation fix^l) nous donne
vn-Kf
(ao,ana,,...,a^^,j[a?,l) b'o?— a?(a,,a,,...,a ïa?,l) =0,
d'où, à cause de Téquation a^x^ -{-naioT^ -{-...=0, Vx=x'^. A l'aide de cette valeur, l'opération b^ appliquée à X, fournira relativement à a; la partie
+na|a?'
t^+^a,ccf^
La partie due aux coefficients a sera
^ i + WfljO?*
' «+• •+wai^
