FONCTIONS SYMÉTRIQUES DES RACINES
Détermination des fonctions symétriques
et leurs propriétés.
1. Soit réquation [1] a,a:**+a|a?**~^+a,a?**"^ + ... + a^ = 0,
dont nous désignerons par 01,0,, a les racines. On
y supposera quelquefois a,, = 1 .
Une fonction .donnée des racines est appelée symétrique^ lorsqu'elle reste la même, quelque échange que l'on opère entre les racines. On conçoit facilement que si cette fonction est entière, elle pourra généralement être décomposée en une somme d'autres fonctions symétriques plus simples, qui seront toutes de la forme:
[21 cp^ = Z a, Qj a, a^ . . . ,
le signe ^ s'étendant à toutes les combinaisons l k l des indices 1, 2, 3,... n, et l désignant le nombre des racines qui figurent dans chaque terme. Sip = g'=r=<... = l, on sait que
Za, = — - , Zaia4 = + --,... ZciO,. ..a. = (— 1) — . do do * (7o
Lorsque la fonction 9 ne contient qu'une seule racine dans chaque terme, c'est-à-dire lorsqu'on a 9 =2 a** , elle prend le nom de somme des puissances semblables des racines, et on la désigne par le symbole Sp .
Vax Db Bkuko ^ Théorie dêt formé» kit%air»$, 1
Comme nous allons voir, ces fonctions, qui jouent un grand rôle dans l'analyse algébrique, sont douées de propriétés remarquables.
9, Premièpe propriété. Les sommes des puissances semblables des racines s'expriment en fonction entière des coefficients.
On a en effet, pour une somme quelconque Sp , les deux formules suivantes, dont la seconde est due à Waring:
''=[ÏV
ac
(l? — 1) ap i ap^Jt *ap-3 ap-^...ao pap ap-~\ ap—2 ap^z..,ai
[4] sp-p^-^j 2,(xy(x^(x^jr:(xô ^« ^'' ^« • • • -^^
où (x) et {p — Xo - i) expriment , pour abréger , les produits 1.2.3. X et 1.2. 3. . . .jp — Xo- i; XjjXj, . . . . Xn étant d'ailleurs des nombres entiers assujettis à vérifier les deux équations de condition
Dans le cas de «o = 1 la formule [4] devient
et on trouvera par des calculs très-aisés,
La première formule s'obtient en tirant les valeurs de Sp des relations connues entre les sommes s et les coefficients, à savoir :
[7] ^ ao Ss + a^ s, + a, «^ +3a,=0 (•),
a^ Sp-\-ai 5j»— 1 -{- a, «p— t + • • • +l^^p= ^^
qu'on trouve en comparant les coefficients d'une même puissance de œ dans la dérivée de Téquation X = , considérée comme fonction des coefficients, ou comme fonction des racines.
Car dans le premier cas, on a [8] X' = nao a?»-i + (n — 1) a^ a^-^ + • • . + «n-i ; dans le second
Pour démontrer la formule de Waring, nous remarquerons que réquation [9] donne
(*) De ces mâmes équations on tire la valeur d*uD coefficient exprimé ta fonction des sommes s. On aura en efiPet :
