a^=ao
*i 2 Si Si 3
d'où il résulte que Sp est le coefficient de r dans le déve*
loppement de la fonction
an
suivant les puissances ascendantes de — . En posant — = y, la. série de Taylor nous fournira pour ce coefficient l'expression
Or, d'après un théorème que nous avons inséré dans les Annales de Tortolini, 1855, cette dérivée se calcule aisément O. Étant donnée, en effet, une fonction quelconque <p de la variable X liée avec une autre par une équation de la forme
la dérivée d'ordre quelconque w»*™« de la fonction cp exprimée en fonction de la nouvelle variable y sera fournie par l'équation [13]
y^""Zj(*i)(Wt>3)...(A-i)^«^U j V1.2J U.2.3] •••U.2.3..«ij
oii le signe z s'étend à toutes les valeurs entières et positives de g^ h^ h^ kji /tm , qui vérifient les équations
= K + ^t + K+' .. + ^, w» = ftj -|- 2/t, + 3^8 + . . . + mkmj
(l) désignant, en général, le produit 1.2. 3. . . Z.
(*] Voir à la fin dt Touvrage pour la démonstration de cette formule..
Dans le cas actuel, on a
9 = logo?, a? = v = ao + «iy + ^tV'+--»
'et en général
n n'y aura donc qu'à faire convenablement ces substitutions dans la formule [13J et à la multiplier par [ — 1 (p — 1)1 "" ^ pour retrouver la formule [4].
BB3iABQUB. De réquation [10] on déduit, en multipliant par ^x et en intégrant
équation qu'on aurait pu tirer immédiatement de ce que si
il vient
Bbmabqub. Observons en passant une propriété de ces fonctions Sj qui sera bien utile pour les calculs, à savoir que la somme de leurs coefficients est toujours égale à — 1.
En effet supposons dans la proposée Aq =ai= a«=a8=.. .=1,
auquel cas s se réduira précisément à cette somme ; la formule (12] se transformera dans celle-ci
',=- i.a.8..'.lp-ti '^'°g» + ''+'^+-U.
s. Deuxième propriété. La fonction quelconque cp peut s* exprimer en fonction des sommes Sp .
Pour cela, observons qu'on a évidemment
d'où
[14] <Pi = 2ai a.'= S, S, - s,^,.
Pareillement
d'où
et, au moyen de la première,
<p,=2a.'a,' 0,'= Sj, s^ s^ - s^^^ s^- s^^^ s, -s^^^ *,+2Sp*,«-
On a aussi
= *, Sa' «1* o»''— So'** «i' «/ — 2oi*'oj''^'<i,''— So,' a,' <h'^\ qui, par la précédente, deviendra
De même,
[17] <P5 = 2 Oi** a*'' a/ «4* 05*"
en admettant que le signe 2 s'étende à lous les produits que Ton peut obtenir en combinant ensemble, 2 à 2, 3 à 3, etc., les lettres p, q^ r, ^, v qui figurent dans les indices.
(*) Diaprés M. Cayley q>|, q)3, <P4,q>5, etc., pourraient 8*écrire encore simplement
En général, on obtiendra:
-2at'*c^-« + '^..a;i-^
d'où il suit qu*en supposant connue la fonction
9^1 — 2 Oi » oj » . . . a^j ,
le second membre de Téquation précédente sera déterminé ; car il n'y aura qu'à changer les indices irt,ir,,... irj-i , respectivement , en ir, + w« , «t + ''^ i • • • wi-i + «« , pour calculer tous les termes quMl contient. Par la même raison, la détermination de q>i— i dépendra de 9; -2; celle de 9<~s de 9«— 3, etc.
Il suffit donc de connaître les premières fonctions q>i , cpi , 93) <P49 <Ps9 Que nous avons données ci-dessus, pour en conclure toutes les autres.
De ces simples considérations et de Tinspection des cas particuliers donnés, on peut déduire une formule propre à fournir Texpression de 9 en fonction des sommes des puissances semblables des racines. Appelons Xy , X;^ , x^ , . . Xi , les sommes de g^ h, h , . .i exposants quelconques pris parmi les v^ , ir, , . . . iri sous la condition
et désignons par ^s^ ^x ^x • • • ^x
la somme de tous les produits que Ton aura en combinant dans les indices X^ , X;^ , x^ , . . x^ tous les g^ h^ h^ . . , i exposants choisis ^ à ^, h h h, hhJi, etc., parmi les exposants ir.
II est clair que <p sera le résultat de Taddition de pareilles sommes multipliées chacune par certains coefficients numériques.
D'ailleurs, on aura pour chaque terme
pO] ^a + ^'* + ^» + • • • + ^» = ^1 + «i + . . . + w« ;
car si Ton change les racines a en Aa, il faudra que chaque terme du second membre gragne le facteur ;t*i + *• + ••• + *'' ^ dont se trouvera multiplié le premier, ce qui ne pourra pas arriver à moins de la condition posée ct-dessus.
Il nous reste seulement à trouver les coefficients. A cet effet j'observe que, d'après [18], si Ai-i est le coefficient de
5^, + ^, + . . . ^,i dans la fonction 9,^^ ,
celui du terme* semblable
. 5^,+^,+...+^,, daiis la fonction cp/,
sera — (i— 1) Az-i .
Ce terme est le seul qui ait gagné un exposant à Pindice ; les autres auront au plus le même nombre d'exposants à l'iur dice que les termes de la fonction qpt— i, et en auront conservé les mêmes coefficients numériques. Par la même raison tous les termes de qx—i, auront des coefficients identiques à ceux de 9«— 2, excepté le terme en
dont l'indice contiendra un exposant de plus que les autres, et dont le coefficient sera — (l — 2) fois celui de
"«rj + *i + «^s +• ••«•!— 2
dans la fonction 9{~f.
En suivant ainsi bien de près la formation des coefficients, on arrivera aux conclusions que voici :
Ire Les coefficients varient seulement lors de la variation du nombre des exposants dans un indice, et, au contraire, ils restent les mêmes tant que ce nombre demeure inaltérable ;
2^^ Le gain d'un exposant dans un indice qui affecte la lettre 5 et se compose de p — 1 exposants, ne commence à se faire que lors du passage de la fonction <P|). i à la fonction 9p- Mais comme, dans ce passage, le coefficient acquiert le facteur — 1 (p — 1), on peut dire que chaque fois que l'indice gagne un j^'^^ expos^pt de plus, le coefficient gagne aussi un facteur (—1) (p — 1) de plus.
n suit de là infmédiatement que la lettre $^ affectée d'un indice composé de p exposants, aura pour coefficient
(— l)i»-ip — 1. p — 2.p — 3. ...3.2.1 = (— 1)i>-Mp — 1) fois celui de <^^=s^, qui est 1.
Donc le terme en s. s. s. . . . s^
aura pour coefficient (— l)a-ii;^i+...<-i(^--l) (h^l) . . . (i—i) et il viendra enfin
pi] q>= 2 (- 1)'-' 07-1; (h-^l) ... (i-l) S^x, s,^ s^^ ...5,. ^
a étant le nombre de groupes g^h^h^ . . . i dans lesquels { a été partagé, et (p) désignant comme avant la factorielle ]. 2. 3. ... p. On n'oubliera pas que plusieurs des nombres g^h, . . .î peuvent être égaux. Dans ce cas, si i exposants deviennent égaux entre eux, chaque terme exprimé en fonction des racines dans le second membre de la formule sera répété 1.2.3. ..i fois de trop. Ainsi, pour avoir la juste valeur de 9, il faudra diviser le second membre par 1. 2. 3. . .i.
Une fois qu'à l'aide de cette formule on aura exprimé 9 en fonction des sommes s. on calculera ces diverses sommes au moyen de la formule [4] en fonction des coefficients, et alors la fonction <p se trouvera en dernier lieu exprimée par les
coefficients de l'équation proposée. Comme les seconds membres des formules [3] et [4] sont entiers à une puissance près
de —, il s'ensuit que, en supposant ao = 1:
do
Une foiiction quelconque entière et symétrique des racines s'* exprime par une fonction entière des coefficients,
4. Remarque l^. La fonction <p peut se mettre sous la forme d'un déterminant
en admettant qu'après avoir effectué les opérations on change les produits symboliques ^/p)^(q)^(rr'®^^|)+«+r+...'^'^^* à dire, en des facteurs simples 5 ^ ^^ , dont l'indice soit égal à la somme des indices. Ainsi on aura:
On vérifiera 9^ aisément ainsi qu'il suit:
C) N0D8 avons déjà donné ce tbeorème Tannée 1856 dans une thèse soutenue à Paris.
s SI « (9) (»)
d'où Ton voit que le 3« produit se déduit du second par réchange des indices q et r, et le 4^ du 3« par rechange des indices r et t.
Ainsi on aura:
